李亦楠 楊凌宇 申功璋

(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

操縱面故障(例如失效、卡死、松浮等)是引起飛機(jī)事故的主要原因之一.故障的出現(xiàn)將改變飛機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性，縮小飛行包線.為了確保飛行安全、防止事故發(fā)生，需要規(guī)劃安全飛行軌跡.如何分析故障飛機(jī)退化后的飛行性能，建立故障飛機(jī)模型，重新規(guī)劃設(shè)計(jì)飛行軌跡以保證安全飛行/著陸，成為了當(dāng)前國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者的研究熱點(diǎn)之一.

針對(duì)上述問題，文獻(xiàn)［1－2］將故障飛機(jī)模型抽象成平衡飛行狀態(tài)點(diǎn)集合，認(rèn)為飛行軌跡由配平軌跡序列組成.這種方式能夠保證在每一軌跡片斷內(nèi)飛行滿足包線范圍和動(dòng)力學(xué)約束，但還需要考慮相鄰片斷的連接問題，且一般適用于長(zhǎng)距離軌跡規(guī)劃.

文獻(xiàn)［3－4］針對(duì)可重復(fù)使用運(yùn)載器縱向質(zhì)點(diǎn)模型，估計(jì)故障后的氣動(dòng)力以合理描述升降舵故障情況下的飛機(jī)運(yùn)動(dòng)情況，并采用最優(yōu)控制的方法設(shè)計(jì)符合質(zhì)點(diǎn)模型的安全著陸軌跡.這種方法在規(guī)劃過程中考慮了故障飛機(jī)動(dòng)力學(xué)約束、各狀態(tài)量和控制量約束，能夠同時(shí)計(jì)算得到符合故障模型的最優(yōu)飛行軌跡和與該軌跡對(duì)應(yīng)的速度及各控制量、狀態(tài)量隨時(shí)間的變化規(guī)律，以作為內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制器的控制指令.

基于文獻(xiàn)［4］，本文估計(jì)橫側(cè)向操縱面故障對(duì)飛機(jī)的影響，以控制量變化率最小為優(yōu)化指標(biāo)，給出軌跡優(yōu)化問題的描述，并采用高斯偽譜法求解該最優(yōu)控制問題，將安全飛行軌跡優(yōu)化推廣到三維空間.

在眾多數(shù)值優(yōu)化方法［5］中，高斯偽譜法由于其以全局插值多項(xiàng)式為基函數(shù)，具有較高的精度而被認(rèn)為最具工程應(yīng)用價(jià)值［6］，并且它在優(yōu)化效果和收斂性方面優(yōu)于現(xiàn)有其他偽譜法.最后的數(shù)值仿真給出了在副翼和方向舵故障兩種情況下的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果.

1 操縱面故障時(shí)安全軌跡優(yōu)化問題

1.1 操縱面故障飛機(jī)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)文獻(xiàn)［7］推導(dǎo)，可得航跡坐標(biāo)系下完整的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程:

式中，x，y，z分別為飛機(jī)在慣性坐標(biāo)系下的3個(gè)坐標(biāo)分量;V，χ，γ分別為飛行速度、航向角和航跡傾角;m和g分別為飛機(jī)質(zhì)量和重力加速度;α為迎角;β為側(cè)滑角;φv為速度滾轉(zhuǎn)角;T為沿機(jī)體x軸的發(fā)動(dòng)機(jī)推力;Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為氣動(dòng)力在機(jī)體軸3個(gè)方向上的分量;f1，f2，f3分別為推力和氣動(dòng)力的合力在氣流系下的分量.忽略角加速度相關(guān)項(xiàng)，可得

式中，ρ為空氣密度;0.5ρV2為動(dòng)壓;s為機(jī)翼參考面積;δe，δa，δr分別為升降舵、副翼和方向舵偏轉(zhuǎn)角;p，q，r分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航角速度;Cx，Cy，Cz分別為沿機(jī)體軸 x，y，z方向的氣動(dòng)力系數(shù).

正常飛機(jī)模型一般忽略側(cè)滑角β和側(cè)力Fy，但當(dāng)橫側(cè)向操縱面發(fā)生故障時(shí)，為平衡由故障引起的干擾力/力矩，β和Fy將不再保持為0.由于操縱面卡死引入的干擾往往為常值，且不同平衡飛行狀態(tài)下的側(cè)滑角也基本相同，為縮短優(yōu)化時(shí)間，認(rèn)為在軌跡優(yōu)化過程中β保持為固定值β*，F(xiàn)y通過β*計(jì)算得到，即

因此，為描述操縱面故障情況下的飛機(jī)運(yùn)動(dòng)模型，除由式(1)～式(3)表示的質(zhì)點(diǎn)模型外，還需要估計(jì)操縱面故障的影響，即分析計(jì)算由故障產(chǎn)生的配平值β*和對(duì)應(yīng)的Fy(β*).

1.2 優(yōu)化問題描述

一般地，初始和終止飛行狀態(tài)均為平衡飛行狀態(tài)，相應(yīng)的推力、氣流角和姿態(tài)角需滿足配平飛行條件.為方便設(shè)置兩端狀態(tài)條件，在前述質(zhì)點(diǎn)模型基礎(chǔ)上增廣方程［8］:

式中，RT，Rα，Rφv分別為推力、迎角和速度滾轉(zhuǎn)角的變化率，并將其作為增廣系統(tǒng)的控制量U=［RTRαRφv］T，同時(shí)擴(kuò)展形成新狀態(tài)量 X=［x y z V χ γ T α φv］T.

操縱面故障將直接影響飛機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致氣流角和姿態(tài)角變化減慢，U受較大限制.本文取U的二次型表達(dá)式為代價(jià)函數(shù)進(jìn)行懲罰.則操縱面故障飛機(jī)的軌跡優(yōu)化問題可描述如下.

尋找控制量U(t)和相應(yīng)的狀態(tài)量X(t)，使在時(shí)間［t0，tf］內(nèi)，有

s.t.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型約束:

兩端狀態(tài)約束:

控制和狀態(tài)量約束:

式中，矩陣Q為加權(quán)矩陣;φ0(·)和φf(·)分別為初、末狀態(tài)約束函數(shù);下標(biāo)low和upp分別表示下限和上限.

2 操縱面故障影響估計(jì)

2.1 計(jì)算方法

飛機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)總是遠(yuǎn)遠(yuǎn)先于平動(dòng)運(yùn)動(dòng)達(dá)到平衡.根據(jù)文獻(xiàn)［3］，以轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)平衡或轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度最小為目的進(jìn)行操縱面故障后的氣動(dòng)力系數(shù)計(jì)算.當(dāng)某一操縱面發(fā)生故障而對(duì)模型產(chǎn)生干擾時(shí)，其余操縱面需要偏轉(zhuǎn)特定的角度以產(chǎn)生平衡力矩，這將改變飛機(jī)的平衡狀態(tài)和氣動(dòng)力系數(shù).為盡可能平衡轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，需要在允許范圍內(nèi)尋找最佳操縱面配置使合外力矩最小，即

式中，Cm，Cl，Cn分別為俯仰、滾轉(zhuǎn)和偏航力矩系數(shù)為故障操縱面;δ 為其余操縱面向量;δ－k和分別為第k個(gè)可用操縱面偏角的下限和上限;m為操縱面總個(gè)數(shù).

求解上述優(yōu)化問題，得到其余操縱面最佳配置δ*，并重新計(jì)算受操縱面故障影響的氣動(dòng)力系數(shù):

式中，上標(biāo)f表示操縱面故障后的結(jié)果;上標(biāo)*表示最佳配置結(jié)果.

2.2 操縱面故障影響分析算例

現(xiàn)分析某型飛機(jī)橫側(cè)向操縱面卡死的情況.δa是產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩的關(guān)鍵操縱面，10°以內(nèi)非零位置的卡死足以影響飛機(jī)的配值，10°以上的卡死將導(dǎo)致飛機(jī)無法穩(wěn)定飛行;δr雖然對(duì)配平影響較小，但卻是產(chǎn)生側(cè)滑和側(cè)力的關(guān)鍵因素.由氣動(dòng)系數(shù)表達(dá)式［9］可知，δa和 δr只影響 Cy.令 3 個(gè)氣動(dòng)力系數(shù)的角速度分量為0，忽略δr對(duì)縱向氣動(dòng)力的影響并簡(jiǎn)化擬合階數(shù)，可得

式中，cx0～cz1分別為擬合系數(shù).

由于δa或δr故障對(duì)縱向影響很小，可省去Cm一項(xiàng)，則式(5)的優(yōu)化指標(biāo)部分可改寫為

圖1 δa卡死在5°和 δr卡死在30°時(shí)的

由圖1可知，故障使側(cè)力系數(shù)非零.尤其當(dāng)δr卡死在30°時(shí)，為保證轉(zhuǎn)動(dòng)平衡，為較大的正值，影響大于δa卡死在5°的情況.另外，根據(jù)隨α和β的變化情況，β是影響系數(shù)值的主要因素，且存在近似的線性關(guān)系，如圖2所示.

圖2 兩種故障情況下固定α，隨β的變化情況

除此之外，表1給出了δr卡死在其他不同角度時(shí)的擬合結(jié)果.而δa對(duì)側(cè)力的影響相對(duì)較小，不同卡死角度下的側(cè)力相差并不大.

表1 不同卡死情況下的側(cè)力系數(shù)

綜上，結(jié)合式(1)～式(4)和式(9)，即可得到完整的操縱面故障飛機(jī)模型.

3 高斯偽譜法的計(jì)算過程

本文針對(duì)上述分析得到的操縱面故障飛機(jī)質(zhì)點(diǎn)模型，采用高斯偽譜法［10］設(shè)計(jì)飛行軌跡.

用Lagrange多項(xiàng)式離散化連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)量X(t)和控制量 U(t)為 X(tk)和 U(tk).采用Gauss型求積法計(jì)算動(dòng)力學(xué)積分項(xiàng).將時(shí)間區(qū)間［t0，tf］投影到區(qū)間(－1，1)內(nèi)，并用 N 階 Legendre多項(xiàng)式零點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)tk(k=0～N)，則可將原最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，即

然后，用數(shù)值優(yōu)化方法求解該非線性規(guī)劃問題，這里采用序列二次規(guī)劃方法.

4 數(shù)值仿真

針對(duì)2.2節(jié)中飛機(jī)模型，分別在操縱面正常、δa卡死在5°和δr卡死在30°3種情況下優(yōu)化安全飛行軌跡.給定初始狀態(tài)為

圖3 3種故障情況下三維空間最優(yōu)軌跡

圖4 3種故障情況下最優(yōu)軌跡的橫向和縱向剖面

3種情況下，優(yōu)化結(jié)果均滿足了兩端位置和端點(diǎn)平衡狀態(tài)的約束，實(shí)現(xiàn)了三維空間位置的轉(zhuǎn)移和初、末狀態(tài)的過渡.3條軌跡對(duì)應(yīng)的控制量隨時(shí)間的變化如圖5所示，α變化率均在10－2(°)/s以內(nèi)，φv變化率不超過 0.6(°)/s.各量隨時(shí)間變化均較為緩慢，從而保證平滑飛行.

圖5 3種情況下的速度和控制量時(shí)間曲線

分析圖4和圖5的優(yōu)化結(jié)果，整個(gè)飛行過程中，α和φv變化緩慢，而推力相對(duì)頻繁地調(diào)節(jié)以實(shí)現(xiàn)飛行狀態(tài)過渡，這也因此直接影響了飛行速度時(shí)間曲線的變化和空間軌跡高度的變化.

5 結(jié)論

本文的研究目的是在操縱面發(fā)生故障時(shí)，優(yōu)化設(shè)計(jì)三維安全飛行軌跡.建立了操縱面故障情況下的飛機(jī)模型，在正常飛機(jī)模型的基礎(chǔ)上引入側(cè)滑和側(cè)力項(xiàng)并計(jì)算了受故障影響的氣動(dòng)力系數(shù)，更精確地反映了故障飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn).結(jié)合安全飛行的需求，考慮下降的機(jī)動(dòng)性能和控制能力，擴(kuò)展了原動(dòng)力學(xué)模型并以控制量變化率最小作為優(yōu)化指標(biāo)，采用高斯偽譜法進(jìn)行設(shè)計(jì).仿真結(jié)果表明，所得的三維飛行軌跡符合動(dòng)力學(xué)方程約束，滿足了飛行狀態(tài)量和空間位置的平緩過渡，能夠保證飛機(jī)在故障情況下安全飛行.

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