游賢強 陳偉海 崔 翔 于守謙

(北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

常規(guī)的串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機器人將驅(qū)動電機安裝于手臂上，增加了機器人的重量和轉(zhuǎn)動慣量［1］，從而限制了機器人的承載能力，以及高速運動和快速響應(yīng)能力.為了克服電機和連桿的重量所帶來的不利影響，近年來繩驅(qū)動技術(shù)越來越引起人們的關(guān)注［2－3］.繩驅(qū)動3-3R球面并聯(lián)機構(gòu)利用繩索代替連桿來傳遞運動和力，具有結(jié)構(gòu)簡單、慣性小和運動速度快等優(yōu)點［4－6］.將它作為擬人臂機器人的肩和腕關(guān)節(jié)，可將驅(qū)動電動機全部安放在機座，有效地減輕了手臂的自重，提高了快速響應(yīng)能力［7］.

并聯(lián)式繩驅(qū)動慣性小，精度高，在微操作方面很有應(yīng)用優(yōu)勢，但并聯(lián)式繩驅(qū)動建模困難、控制復(fù)雜，特別是由于外界擾動、載荷變化，系統(tǒng)參數(shù)難以正確估計和確定.這些問題導(dǎo)致繩驅(qū)動機器人在實際應(yīng)用中是無法回避動力學(xué)和張力控制問題的，不能夠像剛性機器人那樣僅靠運動學(xué)控制就可以滿足一般作業(yè)任務(wù)的要求.因此，動力學(xué)的研究對并聯(lián)機器人高精度控制具有重要意義.

國內(nèi)外對動力學(xué)的研究大多數(shù)都是針對傳統(tǒng)的剛性機器人，以及少量在牽引式繩驅(qū)動上的應(yīng)用，在繩驅(qū)動擬人臂上的分析目前還沒有.利用拉格朗日方法建立的動力學(xué)模型具有標(biāo)準(zhǔn)的顯式表達(dá)式，易于控制器的設(shè)計.文獻［8－9］對并聯(lián)機器人的幾何形狀和慣性擾動作了簡化假設(shè)，利用拉格朗日方法建立了并聯(lián)機器人的動力學(xué)方程.文獻［10］利用拉格朗日方程建立了完整的并聯(lián)機器人動力學(xué)方程.但這些學(xué)者的分析對象都是剛性機器人，針對并聯(lián)式繩驅(qū)動，本文在滿足要求的條件下，簡化分析并建立繩驅(qū)動擬人肩關(guān)節(jié)動力學(xué)模型.

本文采用RPY(Roll-Pitch-Yaw)角描述繩驅(qū)動擬人肩關(guān)節(jié)的姿態(tài)，建立拉格朗日動力學(xué)方程，針對繩索驅(qū)動冗余的特點，且考慮到繩索的單方向受力性，提出基于最小預(yù)緊力的張力分配算法，推導(dǎo)出繩索的驅(qū)動力.針對機器人軌跡跟蹤控制問題，設(shè)計基于Backstepping方法的系統(tǒng)模型控制律，并與傳統(tǒng)的計算力矩法進行比較，在Matlab/Simulink環(huán)境下進行仿真驗證.

1 機構(gòu)描述

擬人肩關(guān)節(jié)是由4繩驅(qū)動的三自由度并聯(lián)機器人，其樣機如圖1所示.

圖1 繩驅(qū)動擬人肩關(guān)節(jié)樣機

該機構(gòu)主要由5個部件組成:運動平臺、被動三自由度關(guān)節(jié)、固定平臺、張力檢測機構(gòu)和繩索驅(qū)動機構(gòu).運動平臺通過被動關(guān)節(jié)與固定平臺的支柱相連接，4根驅(qū)動繩索對稱分布在運動平臺周圍，一端固定于運動平臺，另一端通過固定平臺上的滑動輪和張力檢測機構(gòu)與基座上的繩索驅(qū)動機構(gòu)相連，由驅(qū)動電機轉(zhuǎn)動來帶動繩長變化，控制運動平臺的轉(zhuǎn)動.

機構(gòu)受力如圖2所示，Bi，Pi(i=1～4)分別為第i根繩索與固定平臺和運動平臺的連接點，坐標(biāo)系OBXBYBZB為基坐標(biāo)系，坐標(biāo)系OPXPYPZP為固定在動平臺上的動坐標(biāo)系，隨平臺的轉(zhuǎn)動而變化.機構(gòu)主要的結(jié)構(gòu)參數(shù)包括:旋轉(zhuǎn)中心到底座的高度lh，底座的長度2lb，運動平臺的邊長2ls和底座固定點B1B2間的距離t.

圖2 機構(gòu)受力示意圖

2 動力學(xué)建模

2.1 機構(gòu)姿態(tài)的RPY角描述

姿態(tài)矩陣是三階的方向余弦矩陣，可用3個獨立變量來表示，而這3個變量可取為繞3個軸的旋轉(zhuǎn)角.采用RPY角來描述姿態(tài)矩陣，如圖3所示.OPXPYPZP的初始方位與 OBXBYBZB重合(見圖2).

圖3 RPY角示意圖

首先，繞XB軸旋轉(zhuǎn)γ角，再繞YB軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞ZB軸旋轉(zhuǎn)α角.由于3次旋轉(zhuǎn)都是相對于OBXBYBZB而言，按照“從右向左”的合成變換原則，可得到姿態(tài)變換矩陣為

其中，R(ZB，α)，R(YB，β)，R(XB，γ)分別表示繞ZB，YB，XB軸的基本旋轉(zhuǎn)變換矩陣.

2.2 動力學(xué)模型分析

由于繩索不可避免地具有一定的彈性，為了獲得較好的控制效果，應(yīng)當(dāng)考慮繩索的彈性效應(yīng)，但為了簡化理論分析，不失一般性，作如下假設(shè):①繩索變形很小，可忽略;②相對于機構(gòu)平臺，繩索質(zhì)量很小，可忽略;③不考慮驅(qū)動器的動力學(xué)問題，假定可對關(guān)節(jié)施加任意的力矩.

在坐標(biāo)系OBXBYBZB下，動平臺的位置始終不變，其姿態(tài)采用RPY角描述如下:

以q為廣義坐標(biāo)，采用拉格朗日動力學(xué)法可建立標(biāo)準(zhǔn)形式的動力學(xué)方程如下:

其中，M(q)為慣性矩陣;Vm(q，)為哥氏力和離心力;G(q)為勢能的偏導(dǎo)數(shù);τ為驅(qū)動力矩，各參數(shù)推導(dǎo)如下.

動平臺只轉(zhuǎn)動，故其動能僅包括轉(zhuǎn)動動能:

其中，R為姿態(tài)變換矩陣;Ic為繞動坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動慣量;ω為動平臺的角速度，可表示為

將式(2)展開，整理可得

其中，M(q)為三階方陣，M23=M32=0，M11=IXsin2β +IYsin2γcos2β +IZcos2γcos2β，M12=M21=(IY－IZ)cosγsin γcosβ，M13=M31=－IXsin β，M33=IX，M22=IYcos2γ+IZsin2γ.

根據(jù)文獻［11］，哥氏力和離心力項為

將式(5)～式(7)代入式(4)，即可推導(dǎo)得到Vm(q，)，亦為三階方陣，各元素這里不再贅述.由于動平臺的勢能 Ep=0，因此勢能偏導(dǎo)數(shù)項G(q)=0.

2.3 繩索張力分配

式(1)是以笛卡爾坐標(biāo)q為廣義坐標(biāo)建立的，τ不是真正意義上的驅(qū)動力矩，是作用在(α，β，γ)方向上的廣義力矩.它由支撐桿和繩索共同作用產(chǎn)生，可轉(zhuǎn)換為繩索驅(qū)動力.

運動平臺的受力如圖2所示，4根繩索產(chǎn)生的力矩應(yīng)與τ平衡.令Ms=τ，則

其中，ti為標(biāo)量，表示繩索張力大小;Li/li為沿繩索方向的單位矢量，Li=Bi－Pi為繩長矢量.

式(9)的最小范數(shù)二乘解為

其中，(Ss)+=(Ss)T(Ss(Ss)T)－1為Ss的廣義逆.

引入方程解的齊次項(λ·N∈R4×1)以調(diào)節(jié)繩索之間的張力分配，而不產(chǎn)生對外的作用力.

其中，N= [n1n2n3n4]T為 Ss的零空間向量，各元素可根據(jù)Cramer’s法則求得

由于繩索只能承受拉力，繩驅(qū)動擬人臂機器人在運動過程中必須保持每根繩索均處于張緊狀態(tài)，即繩索的張力大于零.假設(shè)繩索保持張緊所需的最小張力(即最小預(yù)緊力)為tmin，則可通過下式調(diào)節(jié)λ以使繩索張力大于tmin.

其中，N0=min|N(·)|為向量N的元素絕對值最小項;D=(Ss)+·Ms為方程的非齊次特解.

3 基于后推技術(shù)的控制律設(shè)計

基于后推(Backstepping)技術(shù)的控制律設(shè)計方法［12］的基本思路是將復(fù)雜的系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后為每個子系統(tǒng)設(shè)計部分Lyapunov(李雅普諾夫)函數(shù)和中間虛擬控制量，直至完成整個控制器的設(shè)計.

令 x1=q，x2=，跟蹤誤差 e1=qd－q，e2=－，qd為期望值，則可得到跟蹤誤差狀態(tài)方程為

引入輔助變量 z1=e1，z2=e2－α.

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，由式(12)和式(13)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)在平衡點(e1，e2)=(0，0)處是漸近穩(wěn)定的.再根據(jù)張力分配算法，可將τ轉(zhuǎn)換為繩索的驅(qū)動力.

4 仿真結(jié)果及分析

虛擬樣機分析軟件ADAMS/View具有較為強大的建模和仿真功能，模型建好后，ADAMS可以自動計算出各部分零件的質(zhì)量、質(zhì)心位置及各個軸的慣性矩陣、慣性積.

在ADAMS中建立虛擬樣機模型，測得繩驅(qū)動擬人肩并聯(lián)機器人的相關(guān)參數(shù)如表1所示.

表1 機器人相關(guān)參數(shù)

在MATLAB/SIMULINK環(huán)境下，搭建機器人仿真控制系統(tǒng)，利用S函數(shù)編寫控制器及系統(tǒng)模型.分別采用本文提出的控制方法和傳統(tǒng)的計算力矩法進行軌跡跟蹤仿真實驗，并對比分析.

繪制位置和速度跟蹤誤差曲線:圖4和圖5分別為計算力矩法和基于Backstepping方法的位置跟蹤誤差曲線，圖6和圖7分別是兩種方法的速度跟蹤誤差曲線.

圖4 計算力矩法的位置跟蹤誤差曲線

圖5 基于Backstepping方法的位置跟蹤誤差曲線

由圖4、圖5可以看出，在穩(wěn)態(tài)誤差方面，兩種方法最終都能趨于穩(wěn)態(tài);而在收斂速度方面，計算力矩法在1 s之后才趨于穩(wěn)定，而基于Backstepping的方法在0.1 s就已經(jīng)基本達(dá)到穩(wěn)定，速度明顯優(yōu)于計算力矩法.本文所提出的基于Backstepping的控制方法具有較好的跟蹤效果.

4根繩索的驅(qū)動力曲線如圖8所示，可以看出，由于忽略了驅(qū)動器的動力學(xué)問題，在運行初始階段，為使系統(tǒng)盡快到達(dá)穩(wěn)態(tài)，2根繩索的驅(qū)動力較大;圖中繩索驅(qū)動力的最小值為30N，實現(xiàn)了張力分配的預(yù)期，滿足了繩索張緊的條件，說明所提出的張力分配算法切實可行;給定的整個曲線較平滑，對電動機也沒有力矩的沖擊.

圖6 計算力矩法的速度跟蹤誤差曲線

圖7 基于Backstepping方法的速度跟蹤誤差曲線

圖8 繩索驅(qū)動力

5 結(jié)論

建立了擬人肩關(guān)節(jié)的拉格朗日動力學(xué)方程，提出基于最小預(yù)緊力的張力分配算法，設(shè)計了基于后推技術(shù)的軌跡跟蹤控制律，并與傳統(tǒng)的計算力矩控制方法進行對比驗證，得出以下結(jié)論:①基于后推技術(shù)的控制方法在收斂速度方面明顯優(yōu)于計算力矩法，具有較好的跟蹤效果;②由繩索驅(qū)動力曲線可知，各繩索驅(qū)動力皆能滿足其張緊所需的最小張力(即最小預(yù)緊力)，表明了所提出的張力分配算法的可行性.該研究為繩驅(qū)動并聯(lián)機器人的進一步有效控制和性能改進以及擬人臂整機的研究奠定了理論基礎(chǔ).

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