周 婷 吳宗成 陳澤民 朱自強(qiáng)

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

目前，隨著計(jì)算機(jī)性能的飛速發(fā)展以及CFD(Computational Fluid Dynamics)理論的不斷完善，氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)在許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用.優(yōu)化設(shè)計(jì)中，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的形式往往很復(fù)雜，要想利用可信度比較高的方法對(duì)其進(jìn)行分析，可能會(huì)使設(shè)計(jì)時(shí)間延長(zhǎng).因此，優(yōu)化問題常常需要在結(jié)果精度和計(jì)算時(shí)間上做出權(quán)衡［1］.

變可信度優(yōu)化設(shè)計(jì)的啟發(fā)式算法已被應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)問題之中［2］，其優(yōu)化結(jié)果能否保證收斂到高可信度模型優(yōu)化的最優(yōu)點(diǎn)是該算法的關(guān)鍵技術(shù)，變可信度模型管理有兩種方法:①由Dennis等提出的基于一種“模式尋找”方法，這種方法不需要進(jìn)行梯度計(jì)算;②由Alexandrov等提出的近似管理框架 (AMF，Approximation Management Framework)方法，基于一種信賴域思想［3］.這兩種方法都可以保證優(yōu)化結(jié)果收斂到高可信度模型優(yōu)化的最優(yōu)點(diǎn).

AMF方法的主要思想是結(jié)合高、低可信度模型的優(yōu)勢(shì)，優(yōu)化計(jì)算主要在低可信度模型上進(jìn)行，利用低可信度模型分析得到的結(jié)果通常需要重新進(jìn)行縮放以保證該優(yōu)化方法得到的結(jié)果收斂到高可信度問題的最優(yōu)點(diǎn);高可信度模型僅僅起到了修正優(yōu)化模型的作用，這一方法得益于低可信度模型計(jì)算成本低，能夠給出好的搜索方向.

在不同網(wǎng)格密度上的同一分析計(jì)算模型或是不同分析模型都可以構(gòu)成變可信度模型.文獻(xiàn)［4］采用同一模型對(duì)變網(wǎng)格密度時(shí)構(gòu)成的變可信度模型進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，同時(shí)還進(jìn)行了不同分析模型組成的變可信度模型的優(yōu)化設(shè)計(jì);文獻(xiàn)［5］利用變可信度方法對(duì)翼型進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，并作了變可信度方法的魯棒性分析;文獻(xiàn) ［6］利用變可信度方法對(duì)多段翼型進(jìn)行了氣動(dòng)設(shè)計(jì).

1 研究方法

1.1 信賴域方法

信賴域方法的提出是基于對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行擬合的概念.對(duì)任意非線性函數(shù)，在某一確定點(diǎn)的鄰域內(nèi)，可以利用局部線化的概念，用一線性函數(shù)對(duì)其進(jìn)行近似描述.將“信賴域”的概念應(yīng)用到優(yōu)化問題中的信賴域方法，基本思想是首先在設(shè)計(jì)點(diǎn)上構(gòu)建優(yōu)化問題高可信度分析的近似模型，然后根據(jù)近似模型與高可信度模型的近似程度確定一個(gè)有限的區(qū)域，使得利用近似模型對(duì)設(shè)計(jì)變量在給定區(qū)域進(jìn)行優(yōu)化搜索時(shí)，可以得到與高可信度模型相近似的解，該有限區(qū)域即為“信賴域”.

對(duì)于無約束優(yōu)化問題

其中，X=(x1，x2，…，xn)T為設(shè)計(jì)變量，n為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù).對(duì)于一般的優(yōu)化問題，都可以構(gòu)造信賴域法.

其中，fai是第i次優(yōu)化分析時(shí)用到的近似模型;si為搜索步長(zhǎng);‖‖是Rn中的某一范數(shù);Δi為信賴域半徑.信賴域方法的基本過程如下:

1)初始化，給定初始值X0∈Rn，Δ0＞0，i=0.

2)子問題求解，求解信賴域子問題式 (2)得到步長(zhǎng)si.

3)如果由步驟2)計(jì)算得到的步長(zhǎng)si使得f(Xk+sk) ＜ f(Xk)，則接受 si，Xi+1=Xi+si，否則 Xi+1=Xi.

其中，0＜r1＜r2＜1，0＜c1＜c2.通常取 r1=0.2，r2=0.75，c1=0.5，c2=2.

1.2 AMF方法

信賴域方法為如何利用近似計(jì)算模型代替高可信度模型提供了基礎(chǔ)，如何將這一概念應(yīng)用到優(yōu)化過程中，以提高優(yōu)化質(zhì)量、降低優(yōu)化成本的關(guān)鍵在于對(duì)高低可信度模型進(jìn)行管理.Alexandrov等人首先在優(yōu)化設(shè)計(jì)中提出了一種基于信賴域方法的AMF方法，這種方法可以對(duì)不同可信度的模型進(jìn)行有效的管理和組織.

傳統(tǒng)的優(yōu)化過程中，分析軟件把優(yōu)化目標(biāo)及其導(dǎo)數(shù)信息f，Δf傳遞給優(yōu)化分析器，優(yōu)化分析器根據(jù)接受到的信息搜索到新的設(shè)計(jì)變量X，傳遞給分析軟件再次進(jìn)行分析，如此反復(fù)直至收斂.如果對(duì)該優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)、約束及其導(dǎo)數(shù)的分析采用的是高可信度模型，優(yōu)化所需的計(jì)算成本將是巨大的.在AMF方法中，對(duì)高可信度模型利用低可信度模型建立一個(gè)近似，用fa來表示.在優(yōu)化搜索中，通過低可信度模型分析，優(yōu)化器獲得近似模型給出的優(yōu)化目標(biāo)及其導(dǎo)數(shù)，優(yōu)化器據(jù)此搜索到新的設(shè)計(jì)變量，傳遞給分析軟件進(jìn)行再次分析，如此反復(fù)直至收斂，高可信度模型只是起到修正目標(biāo)函數(shù)近似模型的作用.

AMF方法在構(gòu)建不同可信度模型結(jié)構(gòu)時(shí)會(huì)遇到如下問題:①如何給出近似模型相對(duì)高可信度模型近似程度的定量表達(dá)式;②如何根據(jù)該表達(dá)式的值來指導(dǎo)下一步優(yōu)化，即如何調(diào)整信賴域的范圍，確定下一步優(yōu)化的起始點(diǎn)Xi+1.

設(shè)低可信度模型對(duì)物理問題描述準(zhǔn)確性的量度值定為r，當(dāng)r→1時(shí)表示低可信度模型與高可信度模型當(dāng)前的近似程度較好，信賴域可以相應(yīng)地?cái)U(kuò)大或者不變，優(yōu)化結(jié)果可以作為下一輪優(yōu)化的起點(diǎn)Xi+1=Xi+si;當(dāng)r?1甚至r＜0時(shí)，表示低可信度模型當(dāng)前近似程度較差，信賴域需要相應(yīng)地縮小，而且優(yōu)化結(jié)果Xi+si不能被接受，優(yōu)化起點(diǎn)為原起點(diǎn)Xi.

1.3 零階近似

根據(jù)構(gòu)造近似模型的原則不同，AMF主要有兩種形式，一階近似和零階近似.本文采用零階近似，低可信度模型對(duì)高可信度模型零階近似的構(gòu)造原則，要求在當(dāng)前點(diǎn)Xi上，有fa(Xi)=fhi(Xi)成立，其中，fhi和fa分別代表采用高可信度模型和近似模型計(jì)算得到的目標(biāo)函數(shù)值.

2 數(shù)值方法

本文將多重網(wǎng)格N-S(Navier-Stokes)方程方法作為高可信度模型，它可以較準(zhǔn)確地描述流場(chǎng)，對(duì)流場(chǎng)參數(shù)變化相對(duì)比較敏感;低可信度模型采用全位勢(shì)邊界層迭代方法，該方法描述流場(chǎng)的準(zhǔn)確度低于N-S方程方法，對(duì)于流場(chǎng)參數(shù)變化不是很敏感.

2.1 高可信度模型

高可信度模型采用的是多重網(wǎng)格N-S方程方法.采用有限體積法求解翼身組合體繞流的流場(chǎng)，湍流模型為Baldwin-Lomax，控制方程的空間離散采用有限體積方法，無粘通量項(xiàng)和有粘通量項(xiàng)均采用中心差分格式，為了抑制激波及駐點(diǎn)附近的振蕩和不穩(wěn)定性，需要加上人工粘性項(xiàng).時(shí)間推進(jìn)采用顯式五步Runge-Kutta法，采用多重網(wǎng)格技術(shù)加速流場(chǎng)解的收斂.

2.2 低可信度模型

低可信度模型采用的是全位勢(shì)有粘無粘迭代方法［7］，將流動(dòng)分為兩個(gè)區(qū)域，外部無粘流動(dòng)區(qū)和內(nèi)部粘性邊界層，內(nèi)層主控方程為邊界層方程，外部區(qū)域的求解采用繞物體的無粘理論，并考慮物體表面的邊界條件和尾跡影響的修正.

邊界層外部流場(chǎng)利用全位勢(shì)方法求解，為消除激波附近解的振蕩，引入了人工粘性.采用多重網(wǎng)格方法、殘值光順等技術(shù)加速收斂速度.邊界層求解利用的是半反方法，整個(gè)流場(chǎng)求解時(shí)采用準(zhǔn)同步有粘無粘迭代.

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

根據(jù)設(shè)計(jì)需求不同，機(jī)翼的優(yōu)化設(shè)計(jì)考慮了兩種外型設(shè)計(jì)參數(shù)策略:①保證機(jī)翼平面形狀不變，通過改變控制剖面的厚度和扭轉(zhuǎn)角來改變機(jī)翼的外形;②保持機(jī)翼各個(gè)剖面的翼型不變，改變機(jī)翼的平面形狀，對(duì)于一般的梯形翼，展弦比、根梢比、前緣后掠角，再加上展長(zhǎng) (半展長(zhǎng))或根弦長(zhǎng)，4個(gè)量可以唯一地確定一個(gè)機(jī)翼的平面形狀.文獻(xiàn)［8］進(jìn)行過這方面的機(jī)翼優(yōu)化設(shè)計(jì)研究.采用Powell優(yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).

優(yōu)化外形選擇的是LOCKHEED Wing A梯形翼，其展弦比為7.9，梢根比為0.3998，1/4弦線后掠角為25.0°，半展長(zhǎng)為45.7 cm.另外，機(jī)翼沿著展向任意橫截面最大相對(duì)厚度均為0.12，機(jī)翼的扭角為 6.5°，安裝角為2.5°.機(jī)身半徑與半展長(zhǎng)之比為0.122.

3.1 機(jī)翼的厚度扭角優(yōu)化設(shè)計(jì)

優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)外形是LOCKHEED Wing A機(jī)翼，沿著機(jī)翼的展向選擇5個(gè)控制剖面，z/b(其中z為展向位置，b為半展長(zhǎng))分別為0.1，0.3，0.5，0.85，1.0.每個(gè)控制剖面可以獨(dú)立地改變厚度和扭轉(zhuǎn)角，此為設(shè)計(jì)變量，共10個(gè).

優(yōu)化條件是 Ma=0.818 4，迎角 α=2.940°，Re=0.598×107.目標(biāo)函數(shù)為升阻比CL/CD，優(yōu)化過程中保持升力系數(shù)不變.

選擇多重網(wǎng)格N-S方程作為高可信度模型，網(wǎng)格數(shù)1378 661，全位勢(shì)邊界層有粘/無粘迭代作為低可信度模型，網(wǎng)格數(shù)177174.

調(diào)用一次低可信度模型進(jìn)行流場(chǎng)分析大概需要30 s，調(diào)用一次高可信度模型進(jìn)行流場(chǎng)分析大概需要2 h.高可信度優(yōu)化調(diào)用120次得到優(yōu)化結(jié)果，而變可信度優(yōu)化只調(diào)用N-S方程4次就得到了最終優(yōu)化結(jié)果，大大提高了優(yōu)化效率.

圖1給出了利用3種優(yōu)化方法得到的翼型最大厚度分布曲線，圖2給出了利用3種優(yōu)化方法得到的扭轉(zhuǎn)角分布曲線，圖3給出了利用變可信度優(yōu)化方法得到的典型截面壓強(qiáng)系數(shù)曲線的變化情況.表1分別列出了完全利用低可信度模型進(jìn)行優(yōu)化、完全利用高可信度模型進(jìn)行優(yōu)化以及變可信度優(yōu)化的優(yōu)化結(jié)果，利用低可信度模型進(jìn)行優(yōu)化，目標(biāo)增益可以達(dá)到7.45%，優(yōu)化結(jié)果經(jīng)N-S方程校核，收益為6.0%，而高可信度優(yōu)化和變可信度優(yōu)化結(jié)果分別為7.47%，7.26%，可見，低可信度優(yōu)化結(jié)果明顯低于另外兩個(gè)優(yōu)化結(jié)果，而高可信度優(yōu)化結(jié)果和變可信度優(yōu)化結(jié)果幾乎類似，但后者計(jì)算時(shí)間大大減少.

圖1 3種優(yōu)化方法得到的沿展向翼型厚度分布

圖2 3種優(yōu)化方法得到的沿展向翼型扭轉(zhuǎn)角分布

圖3 優(yōu)化前后50%展向位置壓強(qiáng)系數(shù)Cp弦向分布曲線

表1 Wing A機(jī)翼的剖面優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

3.2 機(jī)翼平面形狀的優(yōu)化設(shè)計(jì)

對(duì)于改變機(jī)翼平面形狀的設(shè)計(jì)策略也作了研究，保持半展長(zhǎng)不變，選擇展弦比、根梢比和前緣后掠角為設(shè)計(jì)變量，改變機(jī)翼平面形狀.優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)外形仍是LOCKHEED Wing A.優(yōu)化條件是Ma=0.818 4，迎角 α=2.940°，Re=0.598×107.目標(biāo)函數(shù)為升阻比CL/CD，優(yōu)化過程中保持升力系數(shù)不變.高可信度優(yōu)化調(diào)用40次得到優(yōu)化結(jié)果，而變可信度優(yōu)化只調(diào)用N-S方程5次就得到了最終優(yōu)化結(jié)果，大大提高了優(yōu)化效率.

表2分別列出了完全利用低可信度模型進(jìn)行優(yōu)化、完全利用高可信度模型進(jìn)行優(yōu)化以及變可信度優(yōu)化的優(yōu)化結(jié)果.可以看到，3種優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果幾乎相同，而消耗時(shí)間差異很大，本算例低可信度優(yōu)化也可以獲得比較理想的結(jié)果.

表2 Wing A的平面形狀優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

圖4給出了利用變可信度優(yōu)化，優(yōu)化前后典型截面的壓強(qiáng)分布.圖5給出優(yōu)化前后機(jī)翼的平面形狀，優(yōu)化后機(jī)翼的展弦比變小，根梢比基本保持不變，前緣后掠角變大.

圖4 優(yōu)化前后50%展向位置壓強(qiáng)系數(shù)Cp弦向分布曲線

圖5 優(yōu)化前后機(jī)翼平面形狀

4 結(jié)論

優(yōu)化設(shè)計(jì)需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分析計(jì)算，如果分析方法比較費(fèi)時(shí)，就會(huì)降低優(yōu)化效率;采用氣動(dòng)力系數(shù)的高可信度模型優(yōu)化，其結(jié)果準(zhǔn)確性高，但優(yōu)化效率較低;低可信度模型優(yōu)化效率高，但優(yōu)化結(jié)果往往需要校核，可能達(dá)不到最優(yōu)解.

本文基于AMF方法發(fā)展了翼身組合體變可信度優(yōu)化方法，進(jìn)行了機(jī)翼厚度扭角優(yōu)化設(shè)計(jì)和機(jī)翼平面形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果表明，發(fā)展的變可信度優(yōu)化方法可以將優(yōu)化效率大大提高，同時(shí)保證優(yōu)化效果.

References)

［1］朱自強(qiáng)，王曉璐，吳宗成，等.民機(jī)設(shè)計(jì)中的多學(xué)科優(yōu)化和數(shù)值模擬［J］.航空學(xué)報(bào)，2007，28(1):1－13

Zhu Ziqiang，Wang Xiaolu，Wu Zongcheng，et al.Multi-disciplinary optimization and numerical simulation in civil aircraft design［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica ，2007，28(1):1－13(in Chinese)

［2］Egorov I N，Kretinin G V，Leschenko I A，et al.IOSO optimization toolkit-novel software to create better design［R］.AIAA-2002-5514，2002

［3］Alexandrov N M.Robustness properties of a trust region for managing approximations in engineering optimization［R］.AIAA-1996-4102，1996

［4］Alexandrov N M，Lewis R M，Gumbert C R，et al.Approximation and model management in aerodynamic optimization with variable-fidelity models ［J］.J Aircraft，2001;38(6):1093－1101

［5］Marduel X，Tribes C，Trépanie J Y.Variable-fidelity optimization:efficiency and robustness［J］.Optim Eng，2006，7(4):479－500

［6］Wang Jiangfeng，Wu Yizhao，Periaux J.Parallel hierarchical evolutionary algorithms for multi-criteria design optimization problems in aerospace engineering［R］.AIAA-2003-1697，2003

［7］van der Wees A J，van Muijden J，van der Vooren J.A fast and robust viscous-inviscid interaction solver for transonic flow about wing-body configurations on the basis of full potential theory［R］.AIAA-93-3026，1993

［8］王曉鵬，高正紅.跨音速翼型和機(jī)翼的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2001，18(2):90－94

Wang Xiaopeng， Gao Zhenghong.Aerodynamic optimization design of transonic airfoil and wing［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，2001，18(2):90－94(in Chinese)