張 斌 劉 幸

（1.陜西省地方電力（集團(tuán)）有限公司延安分公司，陜西 延安 716000；2.華北電力大學(xué)，北京 102206）

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化主要是指在不同的條件下，充分使用各種控制手段，來有效達(dá)到降低系統(tǒng)功耗，提升電壓水平的方法。在數(shù)學(xué)上，必須使用多目標(biāo)、多約束、非線性、非連續(xù)、混合整數(shù)組合，才能達(dá)到優(yōu)化的目的。因?yàn)?，在?jì)算過程中，需運(yùn)用到多個(gè)連續(xù)變量，也需要運(yùn)用到多個(gè)離散變量，使得優(yōu)化過程十分復(fù)雜。

一般而言，常用的優(yōu)化方法有如下幾種：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、混合整數(shù)法等，每種方法都有其各自的特點(diǎn)和優(yōu)越性，但缺點(diǎn)也是非常明顯的，它們只能對與初始點(diǎn)有關(guān)的局部最優(yōu)解進(jìn)行搜索，同時(shí)，對目標(biāo)函數(shù)和約束條件有連續(xù)、可微的要求，耗費(fèi)時(shí)間長，并且時(shí)常有“維數(shù)災(zāi)”的情況發(fā)生。與此同時(shí)，科技的不斷發(fā)展和進(jìn)步，各種先進(jìn)算法已經(jīng)成功應(yīng)用到電力系統(tǒng)的無功優(yōu)化問題上來，通過多年的實(shí)踐，已經(jīng)取得了不錯(cuò)的效果。如粒子群算法、量子算法等。

粒子群優(yōu)化算法（PSO）[1]是在 1995年由Eberhard和Kennedy等人首先提出，它是一種基于種群搜索的自適應(yīng)進(jìn)化計(jì)算技術(shù)，由于其概念和參數(shù)調(diào)整簡單并容易編程實(shí)現(xiàn)，得到了廣泛應(yīng)用，但是PSO算法的早熟收斂問題一直無法破解，因此其應(yīng)用性受到了一定的限制。

量子計(jì)算[2-3]在20世紀(jì)90年代中期得到廣泛應(yīng)用，它的最大的優(yōu)點(diǎn)在于其具有強(qiáng)大計(jì)算能力，不少研究者將經(jīng)典算法和量子算法結(jié)合起來進(jìn)行研究，實(shí)現(xiàn)了性能上的突破，如Han提出的量子遺傳算法，Sun提出的基于量子行為的粒子群優(yōu)化算法等。疊加態(tài)特性和概率表達(dá)特性是量子進(jìn)化算法的兩大特點(diǎn)，疊加態(tài)特性最大的特點(diǎn)在于讓單個(gè)粒子呈現(xiàn)出多種不同的狀態(tài)，具有種群多樣性；概率表達(dá)特性幫助粒子以一定概率跳出局部最優(yōu)解。但是，量子進(jìn)化算法的編碼采用二進(jìn)制編碼，對于數(shù)值優(yōu)化問題由于需要頻繁編碼解碼，加大了計(jì)算量；更新策略一般通過既定的查詢表實(shí)現(xiàn)，沒有充分利用進(jìn)化過程中粒子的協(xié)同性。

本文應(yīng)用的量子粒子群算法[4]基于實(shí)數(shù)編碼，并且融入PSO的更新策略，不僅保持了種群多樣性而且大大增加了搜索效率。而且，本文的算法提供了一種量子包容機(jī)制，可以包容各種改進(jìn)的PSO算法。IEEE-30電力系統(tǒng)無功優(yōu)化測試算例證明了算法的高效性和魯棒性。

1 數(shù)學(xué)模型

本文選用網(wǎng)絡(luò)損耗最小為目標(biāo)函數(shù)[5]，控制變量分別為發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓、變壓器分接頭位置、并聯(lián)電容器的投切組數(shù)。等式約束包括有功功率以及無功功率的平衡，不等式約束包括節(jié)點(diǎn)電壓約束，發(fā)電機(jī)無功約束，電容器無功容量約束等。通過功率流動(dòng)計(jì)算可以自動(dòng)滿足等式約束，同時(shí)采用罰函數(shù)的方法處理控制變量的上下界，滿足不等式約束。

1.1 原始目標(biāo)函數(shù)

無功優(yōu)化問題描述如下：

1.2 約束條件

潮流約束

電壓約束

發(fā)電機(jī)無功約束

電容器無功約束

變壓器分接頭設(shè)定約束

線路容量約束

其中，Ploss為系統(tǒng)有功損耗；Pi，Qi分別表示節(jié)點(diǎn)i的注入有功功率和無功功率；Gij，Bij分別表示節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的電導(dǎo)和電納；Qgi表示節(jié)點(diǎn)i接入的無功發(fā)電機(jī)；Qci表示節(jié)點(diǎn)i出補(bǔ)償電容器的出力；tk表示支路k上變壓器分接頭的位置；Vi，Vj分別表示節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j的電壓水平；θij表示節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j的電壓相量角；Sl表示通過第l條支路的視在功率；gk表示支路 k的電導(dǎo)；NB表示節(jié)點(diǎn)總數(shù)；NB-1表示除平衡節(jié)點(diǎn)以外的節(jié)點(diǎn)總數(shù)；NPQ表示 PQ節(jié)點(diǎn)總數(shù)；Ng表示發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)總數(shù)；Nc表示補(bǔ)償電容器投切組數(shù)；Nb表示系統(tǒng)支路數(shù)；Nt表示包含有載調(diào)壓變壓器的支路總數(shù)。

1.3 綜合目標(biāo)函數(shù)

綜合考慮目標(biāo)函數(shù)和約束條件，引入罰函數(shù)處理方法構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，如下式所示：

在上面的函數(shù)中，Vimax、Vimin為節(jié)點(diǎn)電壓Vi的上限和下限；Vilim、Qilim為i節(jié)點(diǎn)電壓和無功的限值；Qimax、Qimin為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)無功出力 Qi的上限和下限；α、β分別為違反節(jié)點(diǎn)電壓約束和違反發(fā)電機(jī)無功出力約束的節(jié)點(diǎn)集合；λ1，λ2為違反電壓約束和發(fā)電機(jī)無功出力約束的懲罰因子。

2 量子粒子群算法

2.1 粒子編碼

粒子中的每一位采用量子比特的方式表示，就叫量子位。量子位的狀態(tài)除了|0＞和|1＞外，還可以是|0＞、|1＞的線性組合，通常稱其為疊加態(tài)，表示為|φ＞=α|0＞+β|1＞。其中，α 和 β是一對復(fù)數(shù)，稱為量子態(tài)的概率幅。量子態(tài)|φ＞因測量或者以|α|^2的概率坍縮到 0，或者以|β|^2的概率坍縮到 1，且滿足歸一化條件：|α|^2+|β|^2=1。因此，一個(gè)量子位可由其概率幅定義為[α, β]T，同理，m個(gè)量子位可定義成[αm, βm]T。

本文基于實(shí)數(shù)編碼，直接采用量子位的概率幅作為問題解，采用雙鏈編碼方案，如下所示

式中，θij=2π×rand；rand為（0,1）之間隨機(jī)數(shù)；i=1,2,…, m, j=1, 2, …, n；n是種群規(guī)模，m是空間維數(shù)。由此可見，種群中每個(gè)粒子占據(jù)解空間中兩個(gè)位置，分別稱為正弦位置和余弦位置。

2.2 解空間變換

不同于傳統(tǒng)的量子進(jìn)化算法，本文直接使用粒子坍塌成某一基本態(tài)的概率參與適應(yīng)度評價(jià)。由于粒子的每一維位置向量取值范圍不同，因此在計(jì)算適應(yīng)度之前需要對粒子的位置向量進(jìn)行解空間變換，如式（11）所示。

式中，popuValue為某基本態(tài)的概率；a，b分別為第j個(gè)粒子第d維的下界與上界；Xjd為第j個(gè)粒子第 d維由單位空間[-1,1]n映射到優(yōu)化問題解空間的值。

2.3 粒子更新

本文為了突出量子概念的優(yōu)越性，使用基本粒子群算法更新方式。更新策略如式（12）所示。

式中，w為慣性權(quán)重，Δθjd（t）為在第t次迭代中第j個(gè)粒子第d維的相移量，c1，c2是加速常數(shù)，r1，r2是均勻分布的隨機(jī)數(shù)，arctan（pjd）是第j個(gè)粒子歷史最優(yōu)值第d維的相位，arctan（yjd）是第j個(gè)粒子當(dāng)前第 d維的相位，arctan（pgd）是全局最優(yōu)粒子第d維的相位。

根據(jù)得到的相移量，計(jì)算出量子旋轉(zhuǎn)門，然后更新粒子

式中，Δθjdt+1為在第 t+1次迭代中第 j個(gè)粒子第 d維的相移量，αjdt, βjdt為在第 t次迭代中第 j個(gè)粒子第 d維的概率幅，αjdt， βjdt為第 t+1次迭代中第 j個(gè)粒子第d維的概率幅。

2.4 算法流程圖

量子粒子群算法的流程圖如圖1所示。

圖1 算法流程圖

3 基于量子粒子群算法的無功優(yōu)化

用量子粒子群算法求解無功優(yōu)化問題時(shí)，先對決策變量（發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓、變壓器分接頭和無功補(bǔ)償量）進(jìn)行量子染色體的編碼及種群的初始化，再通過解空間變換，實(shí)現(xiàn)量子染色體與決策變量的對應(yīng)，然后調(diào)用潮流計(jì)算程序進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算及適應(yīng)度的評價(jià)，保存?zhèn)€體最優(yōu)信息和全局最優(yōu)信息，更新量子門，實(shí)現(xiàn)種群的進(jìn)化。

3.1 初始種群的產(chǎn)生

在電力系統(tǒng)無功優(yōu)化中，各種變量的取值需非常謹(jǐn)慎，萬一出現(xiàn)差錯(cuò)，對系統(tǒng)的影響是非常大的。這一點(diǎn)在控制變量上顯得尤為突出，在尋找最優(yōu)解的實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，很多控制變量取值代表的運(yùn)行方式對無功優(yōu)化是毫無用處的。因此，本文采用傾斜分布方式產(chǎn)生初始解群[6]。

第一步，需根據(jù)下列三種類型判斷初始點(diǎn)的取值范圍，本文使用初始粒子種群進(jìn)行潮流計(jì)算。

1）較多節(jié)點(diǎn)電壓越上限，系統(tǒng)是無功大量過剩狀態(tài)，需投入感性無功補(bǔ)償設(shè)備、降低發(fā)電機(jī)的機(jī)端電壓或切除容性無功補(bǔ)償設(shè)備。

2）較多節(jié)點(diǎn)電壓越下限，系統(tǒng)是嚴(yán)重缺無功狀態(tài)，需提高發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓或投入容性無功補(bǔ)償設(shè)備。

3）少量節(jié)點(diǎn)電壓越下限或越上限，其余各節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定，此時(shí)處于無功基本平衡。

原則是，分布節(jié)點(diǎn)時(shí)需在略高于當(dāng)前值的范圍內(nèi)。

3.2 狀態(tài)變量的處理

發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓：按連續(xù)量處理，初始運(yùn)行值在電壓指定的上下邊界的范圍內(nèi)隨機(jī)初始化。優(yōu)化過程中，其值在邊界范圍內(nèi)更新；有載變壓器和電容器：按離散變量處理，初始運(yùn)行值在規(guī)定的上下限中隨機(jī)產(chǎn)生。在優(yōu)化過程中，通過映射編碼和取整的方法對離散變量進(jìn)行處理。對于一個(gè)變比調(diào)節(jié)范圍在[Tjmin，Tjmax]之間，共有l(wèi)個(gè)單位分接頭的變壓器，調(diào)節(jié)步長為Tstep=（Tjmax-Tjmin）/（l-1），假設(shè)第j維控制變量X[j]，則令X[j]的取值范圍等于分接頭的檔數(shù)，即1≤X[j]≤l。按照Tj=Tjmin+[X[j]-1]Tstep將 X[j]轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變比值代入目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，其中[.]表示取整。電容器投切組數(shù)也按此方法處理。

3.3 電力系統(tǒng)無功優(yōu)化步驟

本系統(tǒng)優(yōu)化算法采用基于量子粒子群算法，其主要步驟如下：

1）首先對控制變量的維數(shù)及其范圍進(jìn)行設(shè)置。設(shè)置量子粒子群算法的種群數(shù)量 popScale、最大迭代代數(shù)iterMax、慣性權(quán)重w、自身因子c1、全局因子c2。

2）進(jìn)行初始潮流計(jì)算，根據(jù)無功優(yōu)化的本質(zhì)按照傾斜分布方式產(chǎn)生原始粒子種群，并設(shè)定當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)iter=1。

3）概率幅的初始化。

4）根據(jù)式（11）進(jìn)行解空間變換，然后計(jì)算種群適應(yīng)度。若粒子目前位置優(yōu)于自身記憶的最優(yōu)位置，則用目前位置替換；若目前全局最優(yōu)位置優(yōu)于已記錄的全局最優(yōu)位置，則用目前全局最優(yōu)位置替換。

5）根據(jù)式（12）對粒子狀態(tài)更新。

6）判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)。若是，程序結(jié)束。若否，返回第4步。

4 算例

本文采用IEEE-30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)測試量子粒子群算法的優(yōu)化結(jié)果。首先判斷算法是否能執(zhí)行，分別與傳統(tǒng)量子進(jìn)化算法（QEA）、標(biāo)準(zhǔn)粒子群（PSO）分別比較，編程使用Matlab7.0。

IEEE-30節(jié)點(diǎn)具有11個(gè)控制變量，包含兩個(gè)并聯(lián)電容器節(jié)點(diǎn)、6臺發(fā)電機(jī)和4臺有載調(diào)壓變壓器。其中變壓器上下界分別取1.1和0.9，電容器上下界分別取 0.4和 0。系統(tǒng)負(fù)荷 Sload=284.3+j126.2，初始網(wǎng)損為8.324MW。節(jié)點(diǎn)和支路數(shù)據(jù)參見文獻(xiàn)[7]。

算法初始參數(shù)的設(shè)置[8]：種群大小為10；最大迭代次數(shù)100代；根據(jù)經(jīng)驗(yàn)加速常數(shù)c1和c2取2；慣性權(quán)重系數(shù)w采用根據(jù)迭代次數(shù)依次遞減的自適應(yīng)調(diào)整法，公式如下：

本文采用傾斜分布式啟發(fā)初始種群產(chǎn)生，因此需要在優(yōu)化之前了解初始電壓情況。

表1 IEEE-30節(jié)點(diǎn)初始潮流電壓情況

表1為初始潮流的電壓情況，優(yōu)化前有功損失為8.324MW。由表1可以看出，所有節(jié)點(diǎn)的電壓合格，系統(tǒng)無功基本平衡。如果發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓初始值為 1.00，將電壓劃分為 a-e五個(gè)區(qū)域：a為[1.06,1.10]，b 為[1.02,1.06]，c 為[0.98,1.02]，d 為[0.94,0.98]，e為[0.90，0.94]。機(jī)端電壓初始化為:a區(qū)域0%，b區(qū)域30%，c區(qū)域40%，d區(qū)域30%，e區(qū)域0%；并聯(lián)電容器容量設(shè)置為0；變壓器分接頭位置在控制范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生。

優(yōu)化前后電壓曲線的對比圖如圖2所示。

圖2 優(yōu)化前后電壓曲線對比圖

優(yōu)化前各節(jié)點(diǎn)電壓在取值范圍內(nèi)，但是優(yōu)化以后的電壓更加平穩(wěn)。

分別采用 QPSO、PSO、QEA對電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的結(jié)果如表2所示。

表2 QPSO，PSO，QEA結(jié)果對比表

由表2分析得知：①采用QPSO進(jìn)行無功優(yōu)化后，系統(tǒng)的有功損失為6.732MW，比優(yōu)化前降低了18.55%，降損效果最為明顯。對算法各自測試 100次，其中QPSO和QEA的搜索成功率達(dá)到了98%，而PSO成功率只有90%，容易陷入局部最優(yōu)解；②另外，從表中可以清楚看出，QPSO和QEA的尋優(yōu)結(jié)果明顯優(yōu)于PSO，證明了復(fù)雜問題中引入量子概念可以大大改善進(jìn)化算法，其并行性和概率性既保證了搜索的效率又保證了種群多樣性。

圖3為QPSO、PSO、QEA在優(yōu)化過程中粒子分布對比圖。

圖3 QPSO、PSO、QEA粒子分布對比圖

該圖是在100次測試中隨機(jī)選取的一次，對結(jié)果分析如下：

1）QPSO既能實(shí)現(xiàn)量子算法的并行性搜索，又能考慮到迭代過程中種群全局最優(yōu)解和自身最優(yōu)解對尋優(yōu)的引導(dǎo)性以及粒子之間的協(xié)同性，因此尋優(yōu)速度很快，由圖 3（a）可以看出算法在 50代附近已經(jīng)找到了最優(yōu)解6.732MW。量子理論還有一個(gè)特點(diǎn)是概率性，能保證搜索中種群的多樣性，即使搜索后期，仍有粒子分布在離最優(yōu)解較遠(yuǎn)位置，防止陷入局部最優(yōu)。

2）PSO的更新策略是通過記錄每次更新后的全局最優(yōu)值和粒子自身最優(yōu)值，依賴粒子間信息互動(dòng)尋求最優(yōu)解，收斂速度與種群規(guī)模相關(guān)，一般解決復(fù)雜問題需要30～200粒子共同尋優(yōu)。另外，從圖3（b）可以看出，粒子在尋優(yōu)后期聚集在一起，容易陷入局部最優(yōu)。

3）圖3（c）是傳統(tǒng)QEA尋優(yōu)的粒子分布圖。由圖可以看出進(jìn)化過程中粒子分布隨機(jī)，但是收斂速度很快，在50代附近尋到了最優(yōu)值。QEA的更新策略是采用查詢表的方式[9]，比較呆板且無法利用環(huán)境信息導(dǎo)致尋優(yōu)的盲目性。

5 結(jié)論

本文采用一種量子粒子群算法解決無功優(yōu)化問題，結(jié)合量子進(jìn)化算法的疊加態(tài)特性和概率表達(dá)特性，以及粒子群算法的粒子協(xié)同性等優(yōu)點(diǎn)，算法尋優(yōu)速度快，魯棒性強(qiáng)。采用傾斜式啟發(fā)種群初始化，減少了不可行解的數(shù)目，提高了算法效率。通過對IEEE-30典型測試系統(tǒng)的計(jì)算分析表明，本文提出的量子粒子群算法在求解大規(guī)模電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題上具有快速、高效、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，可以嘗試用于其他的復(fù)雜電力系統(tǒng)優(yōu)化。

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