李 楊

(1.福建工程學(xué)院 土木工程系福建 福州350014;2.吉林大學(xué)建設(shè)工程學(xué)院吉林長春130026)

土體是一種多孔介質(zhì)，土體中水分的遷移流動屬于多孔介質(zhì)流體流動[1－2]。1957 年，Philip和de Vries基于多孔介質(zhì)中液態(tài)水粘性流動及熱平衡原理，提出了水熱耦合遷移模型，開創(chuàng)了土中水熱耦合研究的先河[3]。作為一種特殊的土體，非飽和凍土的固相由固體顆粒和冰共同組成，Aboustit[4]，Gatmiri等[5]相繼對凍土中水熱遷移耦合模型進行了研究。國內(nèi)對凍土水熱耦合遷移問題的研究起步較晚，當(dāng)前主要集中在研究正凍土尤其是飽和正凍土中水熱遷移問題等方面[6]，而對非飽和季節(jié)凍土的水熱遷移耦合問題的研究目前仍存在一些不足，如不能很好的模擬自然界邊界條件、水分遷移的機制不確定及水分遷移過程的數(shù)值模擬與模型計算過于簡單等。本文利用質(zhì)量平衡原理、能量平衡原理、熱工原理，考慮溫度變化過程中凍土中水分相變和溫度、質(zhì)量變化之間的相互影響，同時考慮擴散和對流，建立了非飽和凍土系統(tǒng)水分遷移和熱量遷移的耦合數(shù)學(xué)模型。

1 建?；炯僭O(shè)和基礎(chǔ)理論

1.1 建模基本假設(shè)

(1)土體為非飽和土，凍融過程中土體孔隙中水分遷移存在多種狀態(tài)。凍前:液態(tài)水、氣態(tài)水;凍結(jié)或融化過程:液態(tài)水、氣態(tài)水、固態(tài)冰;融化后:液態(tài)水、氣態(tài)水。

(2)假設(shè)孔隙中水的相變在一次溫度變化過程中存在單向非可逆性。

(3)假設(shè)水分遷移過程中無溶質(zhì)遷移。

(4)假設(shè)水分遷移符合非線性達(dá)西定律。(5)假設(shè)土體各向同性。

1.2 基礎(chǔ)理論

非飽和土體由固相、液相和氣相三相組成，凍結(jié)過程中存在水、汽、冰共存的狀態(tài)。為了更好地模擬土體凍結(jié)過程，本模型同時考慮了水的相變以及體系中液態(tài)水、氣態(tài)水、固態(tài)水(冰)、土體密度、溫度及變形速度之間的耦合情況。土體凍結(jié)過程中將發(fā)生水分的遷移，水分遷移存在兩種方式:擴散遷移和對流遷移。擴散遷移包括擴散傳質(zhì)和擴散傳熱，其動力是溫度差ΔΤ、濃度差Δu;對流遷移包括對流傳質(zhì)和對流傳熱，其動力是土水勢差Δψ。部分土體凍結(jié)過程中將發(fā)生凍脹，使土顆粒發(fā)生位移，孔隙體積發(fā)生變化，從而導(dǎo)致土體密度發(fā)生變化。

2 水分遷移方程

2.1 達(dá)西流動方程

水分遷移的最基本方程即為達(dá)西流動方程。本文即以最基本的達(dá)西流動方程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出無相變的水分遷移方程以及考慮相變的水分遷移方程。

從土中取出微小土體單元Δn，設(shè)單元體的邊長分別為Δx，Δy，Δz(圖 1)，則達(dá)西流動方程可表示如下:

式中:ωjx，ωjy，ωjz(j=l，g)－ 液態(tài)水、氣態(tài)水在x，y，z三個方向的遷移速度;Kωjx，KωjY，KωjZ(j=l，g)－土體中液態(tài)水、氣態(tài)水在x，y，z三個方向滲透系數(shù);μj(j=l，g)－土體中液態(tài)水、氣態(tài)水遷移時所受的粘阻力。

由于冰質(zhì)量的變化僅是來于相變，并沒有外界的流入，所以冰流動速度ωjx=ωiy－ωiz=0。

2.2 無相變的水分遷移方程

如前所述，在Δt時間內(nèi)經(jīng)各方向流入單元體的液態(tài)水的速度為ω，單位時間流入單元體積的液態(tài)水質(zhì)量通量相等，假設(shè)不考慮相變和土顆粒的位移，則各界面的面孔隙比相等且不變，根據(jù)一級近似，可有:

式中:θj－土中各水分相的質(zhì)量百分含量;e－孔隙比;ρd－土粒干密度;Dj－各水分相擴散系數(shù);Lsj－各水分相soret效應(yīng)系數(shù);ρs－土粒密度;ρj－土中各水分相的質(zhì)量密度，ρj=ρsθj;Tj－各水分相溫度。

則結(jié)合式(1)、式(2)可得無相變時的液態(tài)水、氣態(tài)水遷移方程

2.3 考慮相變的水分遷移方程

相變本身由溫度產(chǎn)生，但質(zhì)量的傳遞也會影響溫度傳遞，所以綜合來看相變是由質(zhì)量梯度和溫度梯度共同決定[7]。平衡狀態(tài)下有 Γg，l= －Γl，g，Γl，g為液態(tài)水蒸發(fā)變化量，Γg，l為水汽凝結(jié)變化量;Γl，i= － Γi，l，Γi，l為冰融解變化量，Γl，i為液態(tài)水凍結(jié)變化量;Γg，i= － Γi，g，Γi，g為冰升華變化量，Γg，i為水汽凝華變化量。

記總含水率為

式中:θl，θg，θi－ 液態(tài)含水率，氣態(tài)含水率以及含冰率。

2.4 土體傳熱過程

土體凍結(jié)過程中土體中熱量亦產(chǎn)生傳遞變化[8]，因此根據(jù)能量守恒定律，系統(tǒng)熱量的變化是由密度梯度和溫度梯度引起的導(dǎo)熱量的變化、滲透作用引起的熱量對流產(chǎn)生的熱量變化和相變引起的熱量變化共同決定。土體傳熱方程見式(5)。

2.5 骨架質(zhì)量密度變化方程

1骨架質(zhì)量密度變化方程

根據(jù)孔隙比定義可得

式中:ωs－骨架變形速度。

2骨架傳熱方程

式中:Cs－骨架熱容;λs－骨架導(dǎo)熱系數(shù)。

3骨架變形速度方程

在水分遷移過程中，部分孔隙被外界水補充，部分液態(tài)水會相變成冰，使孔隙體積發(fā)生變化。假設(shè)Δt時間內(nèi)，流進骨架孔隙的水分別變成為液態(tài)水、氣態(tài)水和冰，則骨架變形速度為

式中:ε補水－面孔隙率(比);e－體孔隙比;V－土柱體積;A－土柱截面面積。

2.6 水熱遷移耦合模型

式(4 －8)中，未知變量為θl，θg，θi，ρg，ρs，ωs，合計6個。引入未凍含水率與溫度的關(guān)系

至此方程達(dá)到6個，模型可解。該模型方程屬于非線性偏微分方程，無法得出解析解，必須采用數(shù)值解法。

3 其他模型參數(shù)的確定

3.1 分子質(zhì)量擴散系數(shù)

(1)液態(tài)水的擴散系數(shù) Dl，根據(jù)實驗結(jié)果擬合。

式中:Dg－土中空氣質(zhì)量傳導(dǎo)常數(shù);Mg－空氣分子質(zhì)量;R－氣體常數(shù);T－絕對溫度;Sr－土的飽和度。

3.2 Soret效應(yīng)系數(shù)(Lsl，Lsg)和 Dufour效應(yīng)系數(shù)(LDl，LDg)

由于溫度梯度ΔT存在，打破了Fick系統(tǒng)質(zhì)量分布平衡，稱之為Soret效應(yīng)，則Soret效應(yīng)系數(shù)

由于密度梯度ΔCm的存在，打破了傅立葉系統(tǒng)熱量分布平衡，即 Dufour效應(yīng)，則 Dufour效應(yīng)系數(shù)

3.3 質(zhì)量滲透系數(shù)

(1)液態(tài)水的質(zhì)量滲透系數(shù)Kpl。

式中:e－土的孔隙比;μ－水的動力粘滯系數(shù)，Pa·s;ρl－水的密度，g/cm3;C－與土的顆粒形狀等有關(guān)的系數(shù);Ss－土顆粒的比表面積，cm－1。

(2)水汽的質(zhì)量滲透系數(shù)Kpg。

3.4 運動粘度系數(shù)

液態(tài)水和氣體的運動粘度系數(shù)μl與溫度有關(guān)，經(jīng)過擬合得

3.5 導(dǎo)熱系數(shù)

土體的導(dǎo)熱系數(shù)λs根據(jù)實測的數(shù)據(jù)由擬合得出。

3.6 比熱

水的比熱cl(15℃)=1.002 J/(kg·℃);水汽定壓比熱cg=0.445 J/(kg·℃);冰的比熱 ci=0.505J/(kg·℃);土的比熱根據(jù)實際土樣測量得到。

3.7 相變比焓

水的蒸發(fā)(或水汽凝結(jié))潛熱 Lg=597.4×4.186×1 000 J/kg;水的凍結(jié)(或冰融解)潛熱Lf=79.72 ×4.186 ×1 000 J/kg;冰升華(或水汽凝華)潛熱 Ls=677.12×4.186 ×1 000 J/kg。

3.8 各相體積比

3.9 密度

4 結(jié)語

本文以多孔介質(zhì)理論為基礎(chǔ)，建立了非飽和土凍土系統(tǒng)水分遷移和熱量遷移的耦合數(shù)學(xué)模型，同時給出了模型參數(shù)的確定方法，通過對模型求解(數(shù)值法)，即可求得非飽和土體凍結(jié)過程中溫度、含水率(包括未動含水率，總含水率)的遷移變化過程。模型中不僅考慮了凍土溫度變化過程中水分相變和溫度、質(zhì)量變化之間的相互影響，同時亦考慮了擴散和對流，因此模型可以較好地模擬自然邊界條件，使模型的計算結(jié)果更加接近實際情況。其結(jié)果可為研究實際土體的水分遷移過程提供理論參考，并可為季凍區(qū)防治凍脹提供理論指導(dǎo)。

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