義德日胡,蘇雅拉圖

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特 010022)

Banach空間范數(shù)的k-點(diǎn)態(tài)粗性和k-粗性

義德日胡,蘇雅拉圖

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特 010022)

對(duì)Banach空間范數(shù)引入了k-點(diǎn)態(tài)粗和k-粗的概念,利用Banach空間理論的方法,給出了x∈S(X)為范數(shù)的k-粗糙點(diǎn)和X的范數(shù)是k-粗的一些充分必要條件,證明了(k+1)-粗糙點(diǎn)是k-粗糙點(diǎn)以及k-粗糙點(diǎn)與Frˊechet可微性的一些結(jié)果.特別地,在k=1的情形下蘊(yùn)含了關(guān)于范數(shù)的粗糙點(diǎn)、點(diǎn)態(tài)粗范數(shù)和粗范數(shù)的相應(yīng)結(jié)果.

k-粗糙點(diǎn)；k-點(diǎn)態(tài)粗；k-粗；k-粗指數(shù)；Banach空間

1 引言

Banach空間范數(shù)的可微性一直是Banach空間幾何學(xué)的主要研究對(duì)象之一.經(jīng)過(guò)多年來(lái)的研究,人們對(duì)Banach空間范數(shù)的Frechet可微和Gateuax可微等性質(zhì)已比較清楚.為了研究光滑性較差的Banach空間范數(shù)的性質(zhì),1972年文獻(xiàn)[1]中定義了Banach空間的粗范數(shù),文獻(xiàn)[2]中引進(jìn)了強(qiáng)粗范數(shù)的概念,文獻(xiàn)[3]中進(jìn)一步研究了粗范數(shù)和強(qiáng)粗范數(shù),而且這兩個(gè)概念對(duì)刻畫(huà)光滑性較差的Banach空間的性質(zhì)起了很大的作用.文獻(xiàn)[4]引進(jìn)了范數(shù)的粗糙點(diǎn)與點(diǎn)態(tài)粗的定義,并給出了范數(shù)的點(diǎn)態(tài)粗和粗范數(shù)的等價(jià)刻畫(huà).此后,數(shù)學(xué)工作者對(duì)這幾種粗性進(jìn)行了研究,得到了一些研究結(jié)果,如文獻(xiàn)[5-7]等.總而言之,粗性是Banach空間的重要幾何性質(zhì),它與范數(shù)的各種可微性質(zhì)有密切的聯(lián)系,因此也得到了深入的研究,并對(duì)Banach空間幾何理論的發(fā)展起到了促進(jìn)作用,但之后的相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)并未出現(xiàn)光滑性更差的Banach空間的研究.本文在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上作為粗糙點(diǎn)、點(diǎn)態(tài)粗和粗的相應(yīng)推廣引進(jìn)了k-粗糙點(diǎn)、k-點(diǎn)態(tài)粗和k-粗的概念,并給出了x∈S(X)為范數(shù)的k-粗糙點(diǎn)和X的范數(shù)是k-粗的若干充要條件；證明了(k+1)-粗糙點(diǎn)是k-粗糙點(diǎn)；引進(jìn)了k-粗指數(shù)的概念,并給出了它與k-粗糙點(diǎn)和k-點(diǎn)態(tài)粗的關(guān)系.

2 主要結(jié)論及其證明

證明證明類(lèi)似于定理2.2的證明.

定理2.6Banach空間X的范數(shù)是(k+1)-粗的,則X的范數(shù)是k-粗的.

證明證明類(lèi)似于定理2.3的證明.

定義2.6設(shè)X是Banach空間,命滿(mǎn)足定義2.3條件的非負(fù)數(shù)ε的上確界為x∈S(X)的k-粗指數(shù),記為εk(x).

定理2.7設(shè)X是Banach空間,x∈S(X)為范數(shù)的k-粗糙點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)εk(x)＞0.

證明必要性.因x∈S(X)是范數(shù)的k-粗糙點(diǎn),故存在滿(mǎn)足定義2.3條件的非負(fù)數(shù)ε,從而εk(x)＞0.

充分性.因εk(x)＞0,故存在滿(mǎn)足定義2.3條件的非負(fù)數(shù)ε,即x∈S(X)是范數(shù)的k-粗糙點(diǎn).

同理利用k-點(diǎn)態(tài)粗的定義得到如下定理.

定理2.8Banach空間X的范數(shù)為k-點(diǎn)態(tài)粗當(dāng)且僅當(dāng)?x∈S(X),有εk(x)＞0.

[1]Leach E B,Whitfield J H M.Differentiable functions and rough norms on Banach spaces[J].Proc.of the Amer.Math.Soc.,1972,33(1):120-126.

[2]John K,Zizler V.On rough norms on Banach spaces[J].Comment.Math.Univ.Carolinae,1978,19:335-349.

[3]Godini G.Rough and strongly rough norms on Banach spaces[J].Proc.of the Amer.Math.Soc.,1983,87:239-245.

[4]李小建.Banach空間范數(shù)的粗性與不可微性[J].數(shù)學(xué)年刊:A輯,1987,8A(5):621-625.

[5]黎永錦.Banach空間凸性和光滑性的若干問(wèn)題[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)圖書(shū)館,1992.

[6]丘京輝.關(guān)于粗范數(shù)的注記[J].蘇州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué),1994,10(1):8-15.

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k-pointwise roughness and k-roughness on Banach spaces

Yiderihu,Suyalatu

(Mathematics Science college,Inner Mongolia Normal University,Huhhot010022,China)

In this paper,the k-pointwise rough and k-rough norm on Banach space are introduced.By the method of Banach space theory,the some necessary and sufficient conditions of k-rough point of norm and krough norm of X are given respectively.We proved that(k+1)-rough point is k-rough point and obtained some results related with k-rough point and Frˊechet differentiability.In particular,when k=1 our results contains the results of about rough point of norm,pointwise rough norm and rough norm.

k-rough point,k-pointwise rough,k-rough,k-rough index,Banach space

O177.2

A

1008-5513(2012)04-0553-06

2012-02-16.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11061022).

義德日胡(1987-),碩士生,研究方向：Banach空間理論.

2010 MSC:46B25