安 勇

（山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院，山西太原 030031）

0 引 言

年金是指按相等時間間隔形成的系列收支。分期付款賒購、分期償還貸款、養(yǎng)老金給付、分期支付項目欠款等都屬于年金收付形式。按照收付的次數(shù)和給付的時間劃分，年金有標(biāo)準(zhǔn)年金、預(yù)付年金、延期年金、永續(xù)年金等幾類。

對于年金定價問題的探討，主要是在利率假設(shè)下確定它的各階矩，尤其是一、二階矩。為了便于討論，傳統(tǒng)的精算理論通常假定利率在整個研究期間內(nèi)為常值。但實際經(jīng)濟(jì)生活中，作為資金價值的表現(xiàn)形式，影響利率的因素相當(dāng)多，比如平均利潤率、幣資金的供求關(guān)系、物價上漲率、宏觀政策、國際金融市場利率等，利率水平是各種因素綜合作用的結(jié)果，鑒于此，利率往往具有不確定性。因此，在隨機(jī)利率下對年金的時間價值進(jìn)行探討將更具有實際價值。近年來，學(xué)術(shù)界在假設(shè)利率為時間的連續(xù)函數(shù)以及離散函數(shù)兩種情況下，對各種年金的定價問題進(jìn)行了研究：

1）文獻(xiàn)［1－4］假定利率是連續(xù)變化的，并分別采用維納過程、維納過程和O－U過程、反射布朗運(yùn)動刻畫利率期限結(jié)構(gòu)，進(jìn)而研究了各類年金或生存年金的定價問題，推導(dǎo)出了各階矩的簡潔形式；

2）文獻(xiàn)［5－8］假設(shè)利率是時間的離散函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，給出了各類年金的一、二階矩的表達(dá)式。上述文獻(xiàn)的共同點都是假設(shè)各年利率之間是相互獨立的。但實際上，作為時間序列數(shù)據(jù)，前期的利率對后期利率的變化將產(chǎn)生一定的影響，而且時間間隔越小，影響越大。因此，在假設(shè)各年利率相關(guān)的條件下對年金或生存年金的定價問題進(jìn)行研究更符合實際情況。

文中假設(shè)當(dāng)期利率只與過去兩期的利率有關(guān)，進(jìn)而利用MA（2）模型對利息力進(jìn)行建模。然后，在利息力基本假設(shè)條件下，探討了期末付虹式年金的定價問題，給出了此種年金現(xiàn)值的一、二階矩的簡潔計算公式。隨后，通過數(shù)值例子研究了相關(guān)參數(shù)對一階矩的影響，其結(jié)論對年金定價及其敏感性分析具有一定的參考價值。

1 固定利率下標(biāo)準(zhǔn)年金的現(xiàn)值

假設(shè)固定利率為j（j≠－1），利息力為δ，則折現(xiàn)因子，在n年內(nèi)每年年末支付額為1的期末付年金的現(xiàn)值為

n年內(nèi)每年年初支付額為1的期初付年金的現(xiàn)值為：

2 隨機(jī)利息力下期末付虹式年金現(xiàn)值的一、二階矩

2.1 利息力基本假設(shè)

假設(shè)當(dāng)期利率只與過去兩期的利率有關(guān)，進(jìn)而利用MA（2）模型對利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述：

式中：δk——第k期的利息力；

并且假設(shè)M（t）＝E（etη）為變量η的矩母函數(shù)。

為了便于研究，我們給出一些記號：

2.2 支付額逐年遞增的年金現(xiàn)值的期望

用（Ia）n表示n年內(nèi)每年年末分別支付1，2，…，n的遞增形式年金的現(xiàn)值，即

定理1 在利息力基本假設(shè)下，有

證明：

由第k年的折現(xiàn)因子

得

因此

式（6）乘以e－ζ，得

式（7）－式（6）并整理，得

2.3 延期n年，支付額逐年遞減的年金現(xiàn)值的期望

用n｜（Da）n－1表示延期n年支付，第n＋1年末支付額為n－1，而后逐年遞減，至2n－1年末時，支付額為1的年金現(xiàn)值，即

定理2 在利息力基本假設(shè)下，有

2.4 期末付虹式年金現(xiàn)值的期望與方差

用（PV）2n－1表示每年年末分別支付1，2，…，n－1，n，n－1，n－2，…，2，1，共2n－1個付款期的年金現(xiàn)值，此年金稱為期末付虹式年金，則

定理3 設(shè)（PV）2n－1為期末付虹式年金的現(xiàn)值，在利息力基本假設(shè)下，有

并且

其中B＝（1，2，…，n，n－1，n－2，…，2，1）表示2n－1維行向量，x＝（e－Δ1，e－Δ2，…，e－Δ2n－1）T表示2n－1維列向量

為協(xié)方差矩陣，滿足

且

證明：先證

由定理1和定理2可知

因此

下證

當(dāng)r＜k時

記

則

同理可得

由此

3 數(shù)值模擬

某分期付款采取期末付虹式年金的形式，假設(shè)隨機(jī)干擾項服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布ηk∈N（0，σ2），則ηk的矩母函數(shù)為M（t）＝e0．5σ2t2，在利息力基本假設(shè)下，由定理3可知，期末付虹式年金現(xiàn)值的期望值為

其中，ζ＝μ－0．5（1＋φ1＋φ2）2σ2為年金an，中相應(yīng)的利息力。

不失一般性，基礎(chǔ)數(shù)據(jù)假設(shè)為：常數(shù)利息力μ＝0．06，φ1＝0．5，φ2＝0．2，n＝30a，隨機(jī)干擾項的方差為σ2＝0．072。

由基礎(chǔ)數(shù)據(jù)可得，E［（PV）2n－1］＝224．853 1，而在常數(shù)利息力μ＝0．06的條件下，期末付虹式年金的現(xiàn)值為（PV）2n－1＝193．476 9。因此，為消除利息力不確定性帶來的風(fēng)險，各期付款的現(xiàn)值之和應(yīng)增加16．2%。固定μ＝0．06，期限為n＝30a，σ2＝0．072。

不同的｛φ1，φ2｝組合對期末付虹式年金現(xiàn)值的期望值的影響如圖1所示。

由圖1可知，若未來利率受經(jīng)濟(jì)因素和投資結(jié)構(gòu)影響，導(dǎo)致波動幅度增大，即｜φ1｜，｜φ2｜逐步增大時，期末付虹式年金現(xiàn)值的期望值將逐步增大，而且變化速率隨｜φ1｜，｜φ2｜的增大而逐步加快。此結(jié)論從側(cè)面說明，利率頻繁波動將對經(jīng)濟(jì)，尤其是金融活動產(chǎn)生巨大的影響。因此，追求利率穩(wěn)定是非常有必要的。

圖1 相關(guān)參數(shù)對期末付虹式年金現(xiàn)值的期望值的影響

［1］ Beckman，F(xiàn)uelling C P．Extra randomness in certain annuity models［J］．Insurance：Mathematics and Economics，1991，10（2）：275－287．

［2］ 謝小良．未來現(xiàn)金流的矩研究［J］．系統(tǒng)工程，2004，22（4）：36－38．

［3］ David Perry，Wolfgang Stadje．Function space integration for annuities［J］．Insurance：Mathematics and Economics，2001，29（1）：73－82．

［4］ 郭春增，王秀瑜．隨機(jī)利率下的壽險精算模型［J］．統(tǒng)計與決策，2008，9（2）：53－55．

［5］ Zaks A．Annuities under random rates of interest［J］．Insurance：Mathematics and Economics，2001，28（1）：1－11．

［6］ 王麗燕，楊德禮．一類隨機(jī)利率下的確定年金［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2005，35（12）：7－12．

［7］ 劉凌晨．隨機(jī)貼現(xiàn)率下的年金分析［J］．長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，31（2）：231－234．

［8］ 潘紅宇．金融時間序列模型［M］．北京：對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社，2008．