張 洋， 李云鵬， 隋添翼， 于歡歡， 許紅巖

（長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130012）

0 引 言

分子蒸餾技術(shù)的原理不同于常規(guī)的蒸餾，它突破了常規(guī)蒸餾依靠沸點(diǎn)差分離的原理，而是依靠不同物質(zhì)分子運(yùn)動(dòng)平均自由行程的差別實(shí)現(xiàn)物質(zhì)的分離［1］。

分子平均自由程是指氣體分子在連續(xù)兩次碰撞中所走路程的平均值。Langmuir根據(jù)熱力學(xué)原理推導(dǎo)出frenzied平均自由程的定義式為：

式中：D——分子有效直徑，m；

K——波爾茲曼常數(shù)；

N——阿伏伽德羅常數(shù)；

P——壓力，Pa；

R——通用氣體常數(shù)；

T——溫度。

由此可見(jiàn)，分子平均自由程的大小與分子有效直徑、壓力和溫度有關(guān)［2］。當(dāng)壓力不變時(shí)，物質(zhì)的分子平均自由程隨溫度的增加而增加；當(dāng)溫度不變時(shí)，物質(zhì)的分子平均自由程隨著壓力的降低而增加。其基本原理如圖1所示。

圖1 分子蒸餾原理

待分離的液體混合物料沿加熱板自上而下流動(dòng)，在加熱板上形成均勻液膜，被加熱后能量足夠的分子逸出液面，輕分子的分子運(yùn)動(dòng)自由程大，重分子的分子運(yùn)動(dòng)平均自由程小，在離液面距離小于輕分子的分子運(yùn)動(dòng)平均自由程而大于重分子的分子運(yùn)動(dòng)平均自由程處設(shè)置一冷凝面，這樣大部分的輕分子就能到達(dá)冷凝面形成液體流出，重分子則返回到加熱面，從而實(shí)現(xiàn)了分離［3］。當(dāng)進(jìn)行不同物料及不同成分分離時(shí)可以調(diào)節(jié)冷凝板位置，或者采用多級(jí)分離的方法，本系統(tǒng)把多級(jí)及調(diào)整冷凝板位置結(jié)合到一起［4］，使每級(jí)系統(tǒng)的冷凝板都可以自動(dòng)調(diào)節(jié)，能夠?qū)崿F(xiàn)同一物料進(jìn)行多組分的分離。

1 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的建立方法

建立動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型是依據(jù)能量平衡、傳質(zhì)、傳熱化學(xué)反映速率的關(guān)系。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型與靜態(tài)數(shù)學(xué)模型的差別是在列寫(xiě)機(jī)理方程時(shí)，須考慮蓄存量的變化率，一般采用下式表示：

單位時(shí)間內(nèi)流入能量－單位時(shí)間內(nèi)流出能量＝能量的蓄積速率

單位時(shí)間內(nèi)流入物料量－單位時(shí)間內(nèi)流出物料量＝系統(tǒng)內(nèi)物料蓄存量的變化率

在建立動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型過(guò)程中，可以通過(guò)4種不同形式來(lái)表示輸出變量與輸入變量之間的關(guān)系，即：用增量y＝ΔY和u＝ΔU表示；絕對(duì)值Y和U表示；絕對(duì)值與正常狀態(tài)下穩(wěn)態(tài)值（Y00和U00）的差值來(lái)表示；用無(wú)因次形式的y和u表示，即用增量與某一基準(zhǔn)值的比值來(lái)表示［5］。列寫(xiě)線性系統(tǒng)增量方程式是很方便的，一般只要用其增減量來(lái)代替方程中的變量就可以了，建立對(duì)它的數(shù)學(xué)模型也比較容易。但是對(duì)于非線性的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，因?yàn)槠涓鱾€(gè)變量之間是線性的，不能滿(mǎn)足疊加原理，所以，需要對(duì)它的變量進(jìn)行線性化處理，就是在系統(tǒng)輸入和輸出的工作范圍內(nèi)，用線性的關(guān)系來(lái)代替非線性的關(guān)系，切線法是最常使用的方法之一，在靜態(tài)特性曲線上，通過(guò)采用經(jīng)過(guò)工作點(diǎn)的切線代替原來(lái)的曲線。在列寫(xiě)動(dòng)態(tài)方程后，一般來(lái)講，輸入輸出變量的非線性函數(shù)在工作點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)，保留一階項(xiàng)，省略高階項(xiàng)，可以得到相近的線性模型，相同的對(duì)于多變量系統(tǒng)的線性化，也是在工作點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去高階項(xiàng)后得到近似的線性方程。

2 建立動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的步驟

2.1 模型準(zhǔn)備

首先要了解問(wèn)題體現(xiàn)的實(shí)際背景和明確建模的目的，然后再搜集各種需要的信息，弄清楚需要建模對(duì)象的特征，對(duì)原始的問(wèn)題進(jìn)行分析與了解，抽象出語(yǔ)言敘述的模型以及相應(yīng)的條件，即成為原始模型。

2.2 模型假設(shè)

根據(jù)需要建模對(duì)象的特征對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，盡量用精確的語(yǔ)言來(lái)假設(shè)，這是建模很重要的一步。一般來(lái)講，一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題不經(jīng)過(guò)合理的簡(jiǎn)化就很難轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于不同的假設(shè)將導(dǎo)致不同的模型。如果假設(shè)的過(guò)于詳細(xì)，把復(fù)雜對(duì)象的因素都考慮進(jìn)去，就有可能導(dǎo)致一個(gè)無(wú)法求解的或者十分復(fù)雜的模型。同理，要是簡(jiǎn)化的過(guò)分簡(jiǎn)單或不合理，將導(dǎo)致模型失敗。所以，簡(jiǎn)化是建模的重要一點(diǎn)，需要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際性能和建立模型中的具體要求結(jié)合起來(lái)考慮。

2.3 模型構(gòu)成

依據(jù)假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象內(nèi)在規(guī)律和數(shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量之間的不等或等的關(guān)系，列出表格，畫(huà)圖確定其它結(jié)構(gòu)。這里需要一些相關(guān)的專(zhuān)門(mén)知識(shí)，事實(shí)上，建模應(yīng)該盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，讓更多的人了解和方便使用。

2.4 模型求解

根據(jù)不同的模型要使用不同的數(shù)學(xué)工具求解，通過(guò)方程、圖形和數(shù)值的計(jì)算、分析統(tǒng)計(jì)、證明等數(shù)學(xué)方法，必要時(shí)還需要借助計(jì)算機(jī)。

2.5 模型分析

根據(jù)所得模型進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，需要時(shí)給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)控制或決策，有時(shí)候要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)分析量變間的依賴(lài)關(guān)系和穩(wěn)定情況，但是，不論用哪種情況分析，最后還是要進(jìn)行誤差分析，模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或者靈敏性分析。

2.6 模型校驗(yàn)

把建立的模型結(jié)果分匯到實(shí)際問(wèn)題中，將實(shí)際現(xiàn)象與數(shù)據(jù)做對(duì)比，校驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院蛯?shí)用性。一般情況下，一個(gè)成功的模型不只能夠解釋已知的現(xiàn)象，還能夠預(yù)測(cè)未知的現(xiàn)象，并且能夠被實(shí)踐證明。如果校驗(yàn)的結(jié)果不符合實(shí)際，應(yīng)該補(bǔ)充假設(shè)，重新建模，直到能夠反映現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為止。

3 分子蒸餾的系統(tǒng)建模

分子蒸餾的過(guò)程特別復(fù)雜，在蒸餾水的產(chǎn)生過(guò)程中，溫度和薄膜厚度是系統(tǒng)需要控制的兩個(gè)重要參數(shù)，并且同時(shí)受到原料水流量、真空度和刮膜電機(jī)轉(zhuǎn)速的影響，在熱交換回路中，原料水的流量、壓力與蒸汽壓力、溫度成非線性關(guān)系，并且有較強(qiáng)的耦合特性。當(dāng)調(diào)節(jié)溫度和轉(zhuǎn)速時(shí)，蒸餾水的提取率也將同時(shí)變化。同時(shí)，純汽輸出回路和冷卻水回路都是熱交換回路的強(qiáng)烈干擾源，因此，要建立一個(gè)精確的數(shù)學(xué)模型十分困難。根據(jù)熱交換原理，首先建立了單效蒸發(fā)器的動(dòng)態(tài)方程，并且以此導(dǎo)出雙效蒸發(fā)器的動(dòng)態(tài)方程［6］。在能夠?qū)崿F(xiàn)工程的前提下，經(jīng)過(guò)特定的假設(shè)，對(duì)蒸發(fā)器的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬優(yōu)化，數(shù)學(xué)模型從5階化為3階，3階再化為2階，最后導(dǎo)出六效蒸發(fā)器的數(shù)學(xué)模型。

4 單效蒸發(fā)器動(dòng)態(tài)方程的建立

蒸發(fā)是指將含有非揮發(fā)性質(zhì)的溶劑與揮發(fā)溶劑組成的溶液進(jìn)行蒸發(fā)濃縮的過(guò)程。在單效操作中，只用了一個(gè)蒸發(fā)器，它的特點(diǎn)是產(chǎn)生的二次蒸汽不用來(lái)使物料進(jìn)一步蒸發(fā)，在開(kāi)始操作的時(shí)候進(jìn)料應(yīng)該加熱至操作壓力下的沸點(diǎn)溫度，溶劑通常是水，被加熱蒸發(fā)并成為蒸汽而排走。而對(duì)于一個(gè)蒸發(fā)系統(tǒng)一般都是用幾個(gè)蒸發(fā)器，能提高經(jīng)濟(jì)效益，稱(chēng)為多效操作。

在處理非穩(wěn)態(tài)的蒸發(fā)器系統(tǒng)的入手點(diǎn)是小蒸發(fā)器動(dòng)態(tài)的模型和公式，在非穩(wěn)態(tài)操作下的蒸發(fā)器系統(tǒng)的方程建立一般包括若干積分——差分方程［7］。在作出以下4項(xiàng)假設(shè)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出小蒸發(fā)器動(dòng)態(tài)模型的方程：

1）金屬管壁上的滯留能量可以忽略；

2）對(duì)蒸發(fā)器的液存量中加工液是充分混合的；

3）對(duì)環(huán)境的熱損失可以忽略不計(jì)；

4）對(duì)系統(tǒng)加熱時(shí)有關(guān)能量衡量的其它項(xiàng)目時(shí)，蒸發(fā)室的整體重量可以忽略。

總之，單效蒸發(fā)器的非穩(wěn)態(tài)方程式如下：

組分物料衡算方程：

傳熱速率方程：

總能量衡算方程：

能量衡算方程：

考慮到沸點(diǎn)升高：

其中：

式中：c1——系數(shù)，與閥門(mén)的特性有關(guān)。

5 雙效蒸發(fā)器動(dòng)態(tài)方程的建立

對(duì)雙效蒸發(fā)器動(dòng)態(tài)模型可以在以下假設(shè)的基礎(chǔ)上得出［8］：

1）對(duì)環(huán)境的熱損失可以忽略；

2）熱損失系數(shù)和傳熱系數(shù)是常數(shù)；

3）可以忽略金屬管壁和連接管道的能量滯留量；

4）在蒸發(fā)器的液存量中，加工液是充分混合的；

5）在整個(gè)蒸發(fā)過(guò)程中，所有的氣相空間均為飽和蒸汽；

6）蒸發(fā)器和蒸汽室內(nèi)具有相同的條件；

7）忽略各效之間物料傳遞滯后；

8）相對(duì)于系統(tǒng)加熱室中有關(guān)能量的衡算的其它項(xiàng)目，可以忽略蒸發(fā)室的蒸汽重量；

9）相對(duì)于蒸發(fā)器中濃縮液存量的重量，可以忽略蒸發(fā)室中溶劑重量；

10）對(duì)于沸點(diǎn)上升，不再考慮與濃度的關(guān)系，只認(rèn)為與溫度有關(guān)系；

11）與蒸發(fā)器系統(tǒng)中金屬、進(jìn)料、冷凝液和過(guò)程液相比來(lái)說(shuō)，絕緣層的實(shí)際質(zhì)量通常較小，所以，可以忽略絕緣層的能量滯留量。

根據(jù)質(zhì)量守恒定律和熱力學(xué)原理，可以推導(dǎo)出以下的平衡方程、系統(tǒng)熱量核算方程、總物料衡算方程、傳熱率方程以及氣熱相溫度平衡方程。

雙效蒸發(fā)器動(dòng)態(tài)行為的微分方程如下：

6 蒸發(fā)器的數(shù)學(xué)模型模擬和優(yōu)化

因?yàn)樵趯?shí)際的工業(yè)對(duì)象中，涉及到的參數(shù)都很復(fù)雜而且也很多，所以產(chǎn)生了不少對(duì)象的數(shù)學(xué)模型有很高的維數(shù)［9］。因此，給模型工程的應(yīng)用帶來(lái)很大的困難，相對(duì)于高維數(shù)學(xué)模型來(lái)講，不論在過(guò)程控制計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，還是容量算法上都很難實(shí)現(xiàn)。因此，實(shí)現(xiàn)工業(yè)過(guò)程模型化的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題就是怎樣用一個(gè)低階模型來(lái)實(shí)現(xiàn)高階模型的作用。

在建立微分方程前，要先根據(jù)交換原理和現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)際運(yùn)行情況做某些特定的假設(shè)，再推導(dǎo)出雙效蒸發(fā)系統(tǒng)的5階數(shù)學(xué)模型。通過(guò)數(shù)字計(jì)算機(jī)處理起來(lái)雖然方便，但是模型階數(shù)如果能降低一些，那樣處理起來(lái)就會(huì)容易很多［10］。相對(duì)于5階線性數(shù)學(xué)模型，其系數(shù)矩陣特征值數(shù)量級(jí)一般都是相同的，為了使?fàn)顟B(tài)變量的物理意義保持一致，在工程允許的范圍下，可以通過(guò)一些假設(shè)來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)模型做降階處理，從5階到3階。從設(shè)計(jì)的蒸發(fā)器中還可以有些特殊的假定［11］，比如假設(shè)系統(tǒng)沒(méi)有熱損耗，就是L＝0；由于熱焓和濃度之間的關(guān)系特別小，可以將第一蒸發(fā)器溫度T1假定為常數(shù)［12］；假設(shè)第二蒸發(fā)器的儲(chǔ)液量W2在穩(wěn)態(tài)作用點(diǎn)±12%以?xún)?nèi)，故可以把W2當(dāng)成常數(shù)看待。

通過(guò)以上假設(shè)，可以將5階模型簡(jiǎn)化成3階：

如果再假設(shè)第一效的儲(chǔ)液量也為常數(shù)，即W1＝0，就可以導(dǎo)出以下公式：

通過(guò)對(duì)上面的式子進(jìn)行仿真，就能發(fā)現(xiàn)其可近似相當(dāng)于一階滯后特性。于是有：

同理，經(jīng)過(guò)這樣的方式，可以得到以下公式：

式中：F——入口蒸汽的流量；

S——入口原料水的流量；

T2——第二效蒸發(fā)器蒸餾水的溫度；

C2——第二效蒸發(fā)器蒸餾水的濃度。

所以有：

7 仿真分析

7．1 雙效蒸發(fā)器的數(shù)學(xué)模型仿真

在沒(méi)做某些假設(shè)之前，對(duì)于雙效蒸發(fā)器的模型可以導(dǎo)出一個(gè)10階的非線性微分方程，而在經(jīng)過(guò)假設(shè)后，就能得到一個(gè)5階的非線性模型。在工程允許的前提下，可以再經(jīng)過(guò)幾次特定的假設(shè)［13］，對(duì)其數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化，從5階簡(jiǎn)化為3階，再將3階降為2階。通過(guò)MATLAB進(jìn)行仿真，可以得到不同模型的開(kāi)環(huán)響應(yīng)曲線，如圖2和圖3所示。

圖2 出口濃度相對(duì)原料水流量，2階、3階、5階模型及實(shí)際運(yùn)行的階躍輸入響應(yīng)曲線

圖3 出口溫度相對(duì)蒸汽流量，2階、3階、5階模型及實(shí)際運(yùn)行的階躍輸入響應(yīng)曲線

7．2 六效蒸發(fā)器的數(shù)學(xué)模型以及仿真

對(duì)于六效蒸發(fā)器的數(shù)學(xué)模型，如果按照推導(dǎo)雙效蒸發(fā)器數(shù)學(xué)模型的方法需要列很多個(gè)數(shù)學(xué)方程，最終會(huì)得到一個(gè)30維的狀態(tài)方程，對(duì)于維數(shù)比較高的運(yùn)算起來(lái)很難，并且得到的模型在實(shí)際中很難起到有效的應(yīng)用［14］，所以在工程允許的前提下進(jìn)行熱交換的時(shí)候，可以對(duì)六效蒸發(fā)器近似等效，將3個(gè)雙效蒸發(fā)器的串聯(lián)近似等效為六效蒸發(fā)器。有雙效蒸發(fā)器的數(shù)學(xué)模型：

可以導(dǎo)出六效蒸發(fā)器的數(shù)學(xué)模型：

式中：F——入口蒸汽的流量；

S——入口原料水的流量；

T6（s）——末效蒸發(fā)器蒸餾水的溫度；

C6（s）——末效蒸發(fā)器蒸餾水的溫度。

對(duì)其仿真研究如圖4～圖7所示。

圖4 原料水的流量一定時(shí)，末效蒸發(fā)器蒸餾水的濃度的響應(yīng)曲線

圖5 蒸汽的流量一定時(shí)，末效蒸發(fā)器蒸餾水的濃度的響應(yīng)曲線

圖6 原料水的流量一定時(shí)，末效蒸發(fā)器蒸餾水的溫度的響應(yīng)曲線

圖7 蒸汽的流量一定時(shí)，末效蒸發(fā)器蒸餾水的溫度的響應(yīng)曲線

8 結(jié) 語(yǔ)

介紹了建立分子蒸餾的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，并且對(duì)其進(jìn)行仿真分析。由于蒸餾水的數(shù)學(xué)模型特別復(fù)雜，涉及到的輸入變量與輸出變量之間耦合緊密，而且呈非線性關(guān)系，兩者之間還有一些熱交換回路的復(fù)雜聯(lián)系，所以，采用傳統(tǒng)的方法很難建立出精確的模型。

文中主要是采用熱交換的原理，首先建立單效蒸發(fā)器的動(dòng)態(tài)方程，再推導(dǎo)出雙效蒸發(fā)器的動(dòng)態(tài)方程。在滿(mǎn)足工程要求的前提下，做了一些特定的假設(shè)，對(duì)蒸發(fā)器的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬優(yōu)化，數(shù)學(xué)模型從高階降到低階，在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出六效蒸發(fā)器的數(shù)學(xué)模型。

［1］ 馮武文，楊村，于宏奇．分子蒸餾技術(shù)與應(yīng)用化工（I）：分子蒸餾技術(shù)的原理及特點(diǎn)［J］．應(yīng)用化學(xué)工業(yè)，2002，32（5）：74－76．

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