鄭文兵

（湛江師范學(xué)院 法政學(xué)院，廣東 湛江 524048）

0 引言

正態(tài)分布，又名高斯分布，是概率論中最重要的一種分布，一種最常見(jiàn)的連續(xù)性隨機(jī)變量的概率分布，也是自然界最常見(jiàn)的一種分布。在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要，在統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多方面有著重大的影響力。正態(tài)分布的概念是由德國(guó)的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Moivre于1733年首次提出的，但由于德國(guó)數(shù)學(xué)家Gauss率先將其應(yīng)用于天文學(xué)家研究并對(duì)后世的影響極大，所以使正態(tài)分布同時(shí)就有了“高斯分布”的名稱[1]。該分布由兩個(gè)參數(shù)——平均值μ和方差σ2決定。概率密度函數(shù)曲線以均值為對(duì)稱中線，方差越小，分布越集中在均值附近。

如果一個(gè)隨機(jī)變量X的概念密度函數(shù)為：則表明該隨機(jī)變量X服從一個(gè)數(shù)學(xué)期望為μ、方差為σ2的正態(tài)（高斯）分布，其期望值μ決定了分布的位置、其標(biāo)準(zhǔn)差σ決定了分布的幅度。因其曲線呈鐘形狀態(tài)，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。我們通常所說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是μ=0，σ=1的正態(tài)分布。

1 自然界中廣泛存在著正態(tài)分布

正態(tài)分布理論具有廣泛的應(yīng)用。大量實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和理論分析表明，許多自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象都可以看作服從或近似服從正態(tài)分布[2]。生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述。例如，在生產(chǎn)條件不變的情況下，產(chǎn)品的強(qiáng)力、抗壓強(qiáng)度、口徑、長(zhǎng)度等物理指標(biāo)；同一種生物體的身長(zhǎng)、體重等指標(biāo)；同一種種子的重量；測(cè)量同一物體的誤差；彈著點(diǎn)沿某一方向的偏差；某個(gè)地區(qū)的年降水量；理想氣體分子的速度分量；醫(yī)學(xué)現(xiàn)象諸如同質(zhì)群體中的紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量；一個(gè)人口群體的智商；一組人的某科目考試成績(jī)；實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)誤差，等等，均呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布。有些指標(biāo)（變量）雖服從偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后的新變量可服從正態(tài)或近似正態(tài)分布。其中，經(jīng)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)，被稱為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。同時(shí)，正態(tài)分布曲線還描述了許多心理檢驗(yàn)得分；這個(gè)曲線還成為了不同種族的智力測(cè)驗(yàn)的得分分布的爭(zhēng)論焦點(diǎn)[1]。

一般來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)現(xiàn)象是由許多微小的獨(dú)立隨機(jī)因素共同影響的結(jié)果，那么就可以認(rèn)為這個(gè)現(xiàn)象具有正態(tài)分布。從理論上看，正態(tài)分布具有很多良好的性質(zhì)，許多概率分布可以用它來(lái)近似；還有一些常用的概率分布是由它直接導(dǎo)出的，例如對(duì)數(shù)正態(tài)分布、t分布、F分布等[3]。

2 正態(tài)分布所體現(xiàn)的哲學(xué)意義

2.1 正態(tài)分布從數(shù)學(xué)上證明了世界事物分布不（非）均勻的特征

在聯(lián)系自然、社會(huì)和人類思維的實(shí)踐背景下，我們以正態(tài)分布的本質(zhì)為基礎(chǔ)，以正態(tài)分布曲線及其面積分布圖為表征，進(jìn)行抽象與提升，可以抓住正態(tài)分布論的主要內(nèi)涵歸納為正態(tài)哲學(xué)。這種哲學(xué)的主旨就是世界是不（非）均勻，也就是事物是不平均、不等分地分布著的，世界上的任何事物和結(jié)構(gòu)都普遍存在著中心和外圍兩類狀態(tài)，并與辯證唯物主義哲學(xué)的重點(diǎn)論理論相印證著。正態(tài)分布曲線及面積分布圖非常清晰的展示了事物的重心，那就是占事物整體68.27%的基區(qū)，是主體、是重點(diǎn)、是中心，所以要重點(diǎn)抓。一倍標(biāo)準(zhǔn)差以外到正、負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)的面積才占了31.73%，這恰好又展示了事物的外圍。

圖1 常用的正態(tài)概率值（在一般正態(tài)分布及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中比較）

這就從數(shù)學(xué)上證明了世界是普遍的存在著中心和外圍的特征的，世界上的事物是不均勻的。人類在認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過(guò)程中一定要抓住重點(diǎn)、中心，因?yàn)橹攸c(diǎn)、中心就是事物的主要矛盾，它對(duì)事物的發(fā)展起主要的、支配性的作用。抓住了重點(diǎn)、中心才能一舉其綱，萬(wàn)目皆張。事物和現(xiàn)象紛繁復(fù)雜，在千頭萬(wàn)緒中不抓住主要矛盾，就會(huì)陷入無(wú)限瑣碎之中。由于我們時(shí)間和精力的相對(duì)有限性，出于效率的追求，我們更應(yīng)該抓住重點(diǎn)、中心。正態(tài)分布中基區(qū)所表現(xiàn)出的主體和重心意義，也正好和人類生活中的經(jīng)驗(yàn)智慧，比如“馬太效應(yīng)”和20/80的“二八法則”不約而同的吻合著。

2.2 正態(tài)分布從數(shù)學(xué)上證明了概率分布的不（非）均勻性

統(tǒng)計(jì)學(xué)上有古典概率、統(tǒng)計(jì)概率和主觀概率三種概率分類。古典概率的定義就是某種事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)M與其樣本空間中基本事件總數(shù)N的比值。古典概型（又叫等可能概型）認(rèn)為有等概率的事件和現(xiàn)象發(fā)生，比如拋擲一枚均勻硬幣的現(xiàn)象，當(dāng)硬幣落下來(lái)的時(shí)候，正面朝上和反面朝上的概率是一樣的；還比如投擲一顆均勻骰子的時(shí)候，當(dāng)骰子落定以后，骰子的6個(gè)面中每一面朝上的概率也是一樣的[4]?？墒沁@種事件和現(xiàn)象概率相等的條件必須具有以下兩種基本特點(diǎn)：

其一，事件的每次試驗(yàn)的可能結(jié)果有限，即樣本空間中基本事件的總數(shù)是有限的；

其二，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果即每個(gè)基本事件（樣本點(diǎn)）出現(xiàn)的可能性相同。

于是，從這里我們就可以清晰地看到，這種概型就是已經(jīng)假設(shè)了事物是均勻分布的，也就是先事先假定事件是等概率的，然后再用它判斷事件是等概率的，用主觀代替客觀。所以，這種概率理論其實(shí)就是首先做出了一個(gè)事物出現(xiàn)、分布是相等概率的假設(shè)，然后又根本不加以檢驗(yàn)或者無(wú)法加以檢驗(yàn)后就直接地判定這個(gè)假定是成立的、不能被拒絕的，也就是用假設(shè)來(lái)證明假設(shè)是成立的，在理論上陷入了錯(cuò)誤和混亂，在邏輯上也是前后循環(huán)和自相矛盾。事實(shí)上，筆者認(rèn)為這是一種典型的人為假想的、孤立的、靜止的、唯心的概率觀。一旦聯(lián)系到客觀世界以后，并用普通聯(lián)系和永恒發(fā)展的辯證觀點(diǎn)來(lái)考察事物的概率以后，我們馬上就可以發(fā)現(xiàn)這種概率理論是需要修正的。比如，對(duì)于一個(gè)懷孕的女性，我們說(shuō)她將來(lái)生育女孩和生育男孩的概率是相等的，都是0.5的概率?？墒?，一個(gè)人口群體中，男孩和女孩的出生性別比一般是103～105:100，或者為103～107:100[5]，這里就不再是0.5的概率了。再比如說(shuō)，兩點(diǎn)分布即貝努利實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能，可是每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率P卻不一定相等了，因?yàn)榇藭r(shí)我們沒(méi)有確定事物是均勻分布的。某種結(jié)果即事件A出現(xiàn)的概率為P(A)=p，而另一種結(jié)果即事件A的對(duì)立事件Aˉ出現(xiàn)的概率則為P(Aˉ)=(1-p)，很顯然p不一定等于(1-p)了。再比如，在N重貝努利實(shí)驗(yàn)中的某種結(jié)果B出現(xiàn)的次數(shù)X的概率分布就為P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k，也很清晰，這里每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率也是不相等的。同理，超幾何分布、泊松分布等概率類型的分布中也是這種結(jié)果。

而統(tǒng)計(jì)概率則是歷史上同類事物發(fā)生的穩(wěn)定的頻率，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

很顯然，這是一種不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的客觀概率，毫無(wú)人類主觀的成分在內(nèi)。同時(shí)，我們也可以很清晰地看出，統(tǒng)計(jì)概率的分布是不均勻的。

主觀概率則是合理的信念的測(cè)度，是某人對(duì)特定事件會(huì)發(fā)生的可能的度量，即他相信（認(rèn)為）事件將會(huì)發(fā)生的可能性大小的程度。這種相信的程度是一種信念，是主觀的，但又是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、各方面的知識(shí)，對(duì)客觀情況的了解進(jìn)行分析、推理、綜合判斷而設(shè)定的，與主觀臆測(cè)不同。主觀概率不認(rèn)為事物的概率分布是均勻的。

總之，結(jié)合各門學(xué)科和各方面的情況后，我們認(rèn)為世界上概率的分布是不均勻的。

這種概率不均勻、不平均的特性可以在正態(tài)分布中得到清晰的說(shuō)明。正態(tài)分布的概率密度曲線的坐標(biāo)系通常是這樣確定的：橫軸為變量軸，表示事物數(shù)量方面取值的變化；而縱軸是概率軸，表示事物數(shù)量某種取值概率的大小。從正態(tài)分布函數(shù)的概率密度曲線來(lái)看，很明顯地可以看出事物取不同變量值的概率是不一樣的，靠近中心的地方取值概率大，往兩邊延伸的地方取值概率小，離開(kāi)均值越遠(yuǎn)的地方取值的概率越小。

所以，正態(tài)分布的概率密度曲線告訴我們，我們所處的這個(gè)世界上不但存在著各種事實(shí)上的不均勻、不平均，而且還是概率上的不均勻、不平均，也即機(jī)會(huì)上的不平均，或者說(shuō)各種事實(shí)上的不平均本身就是概率不平均、不均勻的具體表現(xiàn)和客觀化。所以，筆者認(rèn)為追求事實(shí)平均和機(jī)會(huì)平均都是不可能的，這直接與自然法則相背道而馳。這就是正態(tài)分布的哲學(xué)本質(zhì)和世界觀意義。

3 正態(tài)分布能夠廣泛地適用于人類社會(huì)現(xiàn)象、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的研究

客觀世界作用于事物各個(gè)個(gè)體的因素分為基本因素和次要因素兩類，基本因素決定事物的必然規(guī)律，次要因素使事物呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律。人們所能認(rèn)識(shí)而且能夠控制的因素是基本因素，而大量的次要因素未能為人們所認(rèn)識(shí)或未能被人們所控制，但只要存在次要因素的影響，就必然會(huì)有所表現(xiàn)。人類社會(huì)的社會(huì)生活和經(jīng)濟(jì)生活中，也大量的存在著各種影響人們社會(huì)生活和經(jīng)濟(jì)生活的主要因素和次要因素。迄今為止，暫時(shí)還沒(méi)有相關(guān)的文獻(xiàn)表明社會(huì)、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象不是隨機(jī)現(xiàn)象。

大量的文獻(xiàn)認(rèn)為社會(huì)、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象的，許多學(xué)者進(jìn)行了類似的嘗試。例如，黃良文就認(rèn)為一些社會(huì)和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象是隨機(jī)事件，像農(nóng)作物的每畝產(chǎn)量、人口的出生數(shù)和死亡數(shù)、生產(chǎn)的廢品數(shù)和合格品數(shù)、市場(chǎng)交易額、經(jīng)營(yíng)中的盈與虧等等現(xiàn)象，都是典型的經(jīng)濟(jì)隨機(jī)事件[6]。同時(shí)，他還認(rèn)為水產(chǎn)養(yǎng)殖中魚的體重、棉花纖維長(zhǎng)度、機(jī)械零件尺寸、廁量誤差等等，都服從正態(tài)分布[7]。

袁衛(wèi)、龐浩、曾五一等也認(rèn)為一些社會(huì)和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象屬于隨機(jī)事件，例如他們認(rèn)為消費(fèi)者對(duì)于飲料的不同偏好、某座寫字樓每平方米的出租價(jià)格、產(chǎn)品質(zhì)量中的合格率和次品率、某餐廳的日營(yíng)業(yè)額、某電話用戶每一次通話時(shí)間長(zhǎng)度等等，都是隨機(jī)現(xiàn)象。[4]

賈俊平、何曉群、金勇進(jìn)等也認(rèn)為，在社會(huì)和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中有許多隨機(jī)變量的概率分布都服從正態(tài)分布，如同齡組兒童的發(fā)育特征，如身高、體重、肺活量；某一公司的年銷售量；同一條件下產(chǎn)品的質(zhì)量分布等等[8]。

王長(zhǎng)江、郝華榮等也認(rèn)為許多的自然現(xiàn)象和社會(huì)、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，大量的隨機(jī)變量都服從或者近似服從正態(tài)分布[3]。

Gudmund R.Iversen and Mary Gergen等認(rèn)為國(guó)民的政治傾向和投票行為、人們的慈善行為、人們的旅游行為、人們的汽車消費(fèi)等都是隨機(jī)事件的，都服從或近似服從正態(tài)分布[1]。

朱建平、孫小素等認(rèn)為保險(xiǎn)公司的盈虧服從或者近似服從正態(tài)分布[2]。

張德存等認(rèn)為農(nóng)作物的產(chǎn)量、人們出行路線的選擇、產(chǎn)品的規(guī)范等現(xiàn)象服從或者近似服從正態(tài)分布[9]。

一種商品的需求數(shù)量是由許多因素共同決定的。其中，主要的因素有：該商品的價(jià)格、消費(fèi)者的收入水平、相關(guān)商品的價(jià)格、消費(fèi)者的偏好以及消費(fèi)者對(duì)該商品的價(jià)格預(yù)期等等。

同樣的，一種商品的供給數(shù)量也取決于多種因素的影響。商品價(jià)格的高低、生產(chǎn)成本的大小、生產(chǎn)的技術(shù)水平、相關(guān)商品的價(jià)格、生產(chǎn)者對(duì)未來(lái)的預(yù)期等因素都會(huì)對(duì)商品的價(jià)格產(chǎn)生隨機(jī)影響。

商品的價(jià)格不僅由需求和供給決定，還有其它的很多因素也在隨機(jī)的影響著。例如，成本、消費(fèi)者的偏好、邊際效用、相關(guān)商品的價(jià)格、最高限價(jià)和最低限價(jià)、財(cái)政和貨幣政策、信貸投資、消費(fèi)者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度等等因素都共同影響商品的價(jià)格。

消費(fèi)者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度和風(fēng)險(xiǎn)能力等，也是隨機(jī)現(xiàn)象。對(duì)任何一個(gè)消費(fèi)者，不能完全確定其風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度到底屬于何種，也不能完全確定其抵抗風(fēng)險(xiǎn)的能力。消費(fèi)者的收入不僅由本身所提供的勞動(dòng)來(lái)決定，還受到諸如能力、學(xué)識(shí)、行業(yè)、國(guó)家、地區(qū)、時(shí)期、文化等多因素的影響。

寡頭廠商之間的博弈中，也屬于隨機(jī)現(xiàn)象。因?yàn)槿魏我粋€(gè)博弈都有3個(gè)基本要素：參與者、策略和支付。在每一個(gè)博弈中其參與者、每一個(gè)參與者可供選擇的策略、每一個(gè)參與者所獲得的各自的報(bào)酬等等，事先都不能確定，都是隨機(jī)的。

所以我們可以觀察到許多的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象都是由許多微小的獨(dú)立隨機(jī)因素共同影響的結(jié)果?；诖?，筆者認(rèn)為，大量的社會(huì)現(xiàn)象、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象都是隨機(jī)現(xiàn)象，正態(tài)分布的理論和方法廣泛地適應(yīng)于社會(huì)現(xiàn)象和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的研究。

4 有關(guān)偏態(tài)和峰態(tài)的一種經(jīng)濟(jì)學(xué)分析和識(shí)別

“偏態(tài)”，也稱偏度，是對(duì)數(shù)據(jù)分布對(duì)稱性的測(cè)度。測(cè)量偏態(tài)的統(tǒng)計(jì)量是偏態(tài)系數(shù)，記作SK。如果一組數(shù)據(jù)的分布是對(duì)稱的，則偏態(tài)系數(shù)等于0；如果偏態(tài)系數(shù)明顯不等于0，則表明數(shù)據(jù)的分布是不對(duì)稱的。若偏態(tài)系數(shù)大于1或者小于-1，則被稱為高度偏態(tài)分布；若偏態(tài)系數(shù)在0.5～1或者-1～-0.5之間嗎，則被認(rèn)為是中等偏態(tài)分布；若偏態(tài)系數(shù)在-0.5～0.5之間的話，則稱低度偏態(tài)分布；偏態(tài)系數(shù)越接近0，偏斜程度就越低[8]。

“峰態(tài)”，也稱峰度，是對(duì)數(shù)據(jù)分布平峰或尖峰程度的測(cè)度。測(cè)度峰態(tài)的統(tǒng)計(jì)量是峰態(tài)系數(shù)，記作K。峰態(tài)通常是與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比較而言的。如果一組數(shù)據(jù)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則峰態(tài)系數(shù)的值等于0；若峰態(tài)系數(shù)的數(shù)值明顯不等于0，則表明分布比正態(tài)分布更平或者更尖，通常稱為平峰分布或尖峰分布。如果標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的峰態(tài)系數(shù)為0，那么當(dāng)K＞0時(shí)為尖峰分布，數(shù)據(jù)的分布更加集中；當(dāng)K＜0時(shí)為扁平分布，數(shù)據(jù)的分布越分散。如果標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的峰態(tài)系數(shù)為3，那么當(dāng)K＞3時(shí)為尖峰分布，數(shù)據(jù)的分布更加集中；當(dāng)K＜3時(shí)為扁平分布，數(shù)據(jù)的分布越分散[9]。

有關(guān)我國(guó)農(nóng)村居民家庭某年度按純收入分組的資料匯總?cè)绫?所示。

表1 我國(guó)農(nóng)村居民家庭純收入分組資料

現(xiàn)利用該資料計(jì)算其純收入的偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)。為計(jì)算方便，將分組資料縮小100倍。計(jì)算過(guò)程如表2。

根據(jù)表2計(jì)算得到皮爾遜偏態(tài)系數(shù)為SK=0.571、動(dòng)差偏態(tài)系數(shù)為α=0.956，并如圖2所示。

所以，偏態(tài)系數(shù)為正值，而且數(shù)值較大。王長(zhǎng)江、郝華榮等學(xué)者認(rèn)為，這說(shuō)明農(nóng)村居民家庭純收入的分布為右偏分布，即收入較少的家庭占多數(shù)，而收入較高的家庭占少數(shù)，而且偏斜的程度較大。[3]而筆者還認(rèn)為，有一半多的家庭收入超過(guò)了平均收入，只有不到一半的家庭收入低于平均收入，這說(shuō)明農(nóng)村居民家庭的純收入還是比較偏向于較高的。那些平均收入較低的家庭需要更好地考慮增加家庭收入的方法和途徑，努力提高自己的家庭收入。

同理，根據(jù)上述資料計(jì)算出來(lái)的峰態(tài)系數(shù)為K=3.4，圖形如圖3所示。王長(zhǎng)江、郝華榮等學(xué)者認(rèn)為，這說(shuō)明我國(guó)農(nóng)村居民家庭純收入的分布為尖峰分布，低收入組占較大的比重[3]。而筆者還認(rèn)為，農(nóng)村居民家庭的純收入分布得比較集中，收入差距相差不大。社會(huì)和國(guó)家需要更好的收入分配機(jī)制來(lái)進(jìn)行適當(dāng)?shù)募骖櫺?，讓努力程度不同的家庭收入分配適當(dāng)拉開(kāi)差距。

表2 偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)計(jì)算過(guò)程

圖2 右偏分布

圖3 尖頂分布

[1] (美)Gudmund R.Iversen and Mary Gergen.統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].吳喜之等譯.北京:高等教育出版社,2000.

[2] 朱建平,孫小素.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2009.

[3] 王長(zhǎng)江,郝華榮.統(tǒng)計(jì)學(xué)原理[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2006.

[4] 袁衛(wèi),龐浩,曾五一,賈俊平.統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2009.

[5] 董銀蘭,周艷華,解鴻泉.人口學(xué)概論[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

[6] 黃良文.隨機(jī)變量的概率分布[J].中國(guó)統(tǒng)計(jì),1984,(02).

[7] 黃良文.二項(xiàng)分布和正態(tài)分布（上）[J].中國(guó)統(tǒng)計(jì),1984,(03).

[8] 賈俊平,何曉群,金勇進(jìn).統(tǒng)計(jì)學(xué)（第4版）[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2000.

[9] 張德存.統(tǒng)計(jì)學(xué)（第2版）[M].北京:科學(xué)出版社,2004.