吳 強(qiáng)， M.A.烏拉赫

（1.上海大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200444；2.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009；3.吉大港大學(xué) 數(shù)學(xué)系，吉大港 4331，孟加拉國(guó)）

一個(gè)多介質(zhì)流體的Baer－Nunziato修正模型及其Lax－Wendroff格式

吳 強(qiáng)1，2， M.A.烏拉赫3

（1.上海大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200444；2.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009；3.吉大港大學(xué) 數(shù)學(xué)系，吉大港 4331，孟加拉國(guó)）

文章在BN模型基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)描述可壓縮多介質(zhì)流體的介質(zhì)界面的修正模型，并且給出了該模型的具有二階精度的Lax－Wendroff格式。無(wú)論模型和格式，都保證了總質(zhì)量和分質(zhì)量守恒、總動(dòng)量和總能量守恒。更重要的是它消除了速度和壓力在介質(zhì)界面處的偽振蕩，數(shù)值算例表明這一算法是有效的。

守恒律；多介質(zhì)流；偽振蕩；Lax－Wendroff格式

可壓縮多介質(zhì)流體流動(dòng)的模擬及其數(shù)值方法是近年來(lái)計(jì)算流體力學(xué)中的一個(gè)研究熱點(diǎn)［1－2］。該問(wèn)題在流體力學(xué)、材料科學(xué)、天體力學(xué)以及武器物理、慣性約束聚變（ICF）、載人航天與探月工程等前沿科學(xué)領(lǐng)域和國(guó)家重大工程中有著廣泛而重要的應(yīng)用背景和實(shí)際意義。

多介質(zhì)流體流動(dòng)的模擬存在許多困難，其中最主要的困難是如何建立數(shù)學(xué)模型，以及由該模型所建立的數(shù)值方法可能造成速度和壓力在介質(zhì)界面附近的偽振蕩［1，3－4］。

文獻(xiàn)［2］提出了一個(gè)雙密度、雙速度和雙壓力的模型，然而該模型過(guò)于復(fù)雜難以用于實(shí)際計(jì)算。人們提出了許多簡(jiǎn)化或修正模型［5－7］，但這些模型依然無(wú)法消除多介質(zhì)流體，特別是強(qiáng)激波情況下，速度和壓力在介質(zhì)界面附近的偽振蕩。本文同樣對(duì)BN模型［2］進(jìn)行簡(jiǎn)化和修正，提出了多介質(zhì)流體模型。

1 數(shù)學(xué)模型

本文以2種流體為例，提出多介質(zhì)流體的數(shù)學(xué)模型，即在整個(gè)一維空間x軸方向上流動(dòng)著2種流體，其形式為：

其中，ρ1、ρ2分別表示2種流體的密度；ρ為總密度；u為流體的速度；p為流體的壓力；ρ1E1、ρ2E2分別為2種流體的能量。

此外，本文也采用了組份模型方程來(lái)描述物質(zhì)界面的演化過(guò)程，即

其中，0≤α≤1。然而，和BN模型不同的是這里的組份α是用來(lái)計(jì)算總壓力的，即

其中，p1、p2分別表示2種流體的壓力，且分別具有狀態(tài)方程，即

且滿足：

這樣，（1）～（7）式構(gòu)成了多介質(zhì)流體流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，可以把（1）～（6）式寫成矢量形式，即

其中

定理1 數(shù)學(xué)模型（1）～（7）式滿足流體的分質(zhì)量守恒、總質(zhì)量守恒、總動(dòng)量守恒和總能量守恒。

證明 （1）式、（2）式分別表明2種流體的分質(zhì)量守恒；將（1）式和（2）式相加，可以得到流體總質(zhì)量守恒；（3）式表明流體的總動(dòng)量守恒；將（4）式和（5）式相加，可以得到流體總能量守恒。證畢。

定理2 數(shù)學(xué)模型（1）～（7）式是雙曲型的。

證明 可以將方程組（9）式改寫成非守恒量W＝（ρ1，ρ2，u，p1，p2，α）的擬線性形式，即

很容易得到A（W）的特征值為：

其中（14）式為流體聲速，即

這樣，由ρ1、ρ2、p和α的非負(fù)性和（8）式可得c為實(shí)數(shù)，即數(shù)學(xué)模型是雙曲型的。

針對(duì)多流或多相流的數(shù)值模擬中速度和壓力會(huì)出現(xiàn)偽振蕩，文獻(xiàn)［9］提出了關(guān)于模型及其離散形式有效性的一個(gè)準(zhǔn)則，即“一個(gè)兩相流體，其速度和壓力如果在初始時(shí)刻是一致的，那么隨著時(shí)間發(fā)展，它們依然是一致的”，稱之為UPV（uniform in pressure and velocity）準(zhǔn)則；同時(shí)指出，產(chǎn)生速度和壓力的偽振蕩的原因，就是這些模型及其數(shù)值方法破壞了UPV準(zhǔn)則。下文給出的模型能夠消除速度和壓力在介質(zhì)界面處的偽振蕩的原因，就是模型滿足該準(zhǔn)則。

定理3 模型（1）～（7）式滿足UPV準(zhǔn)則。

證明 假設(shè)一多介質(zhì)流體的初始速度和壓力分別為常數(shù)，u（x，0）≡u(píng)0和p（x，0）≡p0。

（1）將（1）式、（2）式代入（3）式，可得：

（2）由（11）式可得p1和p2的發(fā)展方程，將2個(gè)方程相加，可得：

（3）由u和p的初值，可得（15）式、（16）式的唯一解，分別為u（x，t）≡u(píng)0和p（x，t）≡p0。證畢。

2 數(shù)值方法

采用文獻(xiàn)［4］的方法，給出模型（1）～（6）式二階精度的Lax－Wendroff格式，即

其中，j為空間網(wǎng)格；n為時(shí)間網(wǎng)格；λ＝τ／h；h為空間步長(zhǎng)；τ為時(shí)間步長(zhǎng)，并且滿足如下CFL條件：

其中，c為流體聲速。網(wǎng)格上總壓力計(jì)算為：

分壓力為：

如果將（17）式、（18）式寫成分量形式，并且和定理1的證明類似，則很容易得到如下定理。

定理4 當(dāng)CFL條件（19）式成立時(shí)，（17）式、（18）式滿足分質(zhì)量守恒、總質(zhì)量守恒、總動(dòng)量守恒和總能量守恒。

配電網(wǎng)N-1安全性準(zhǔn)則是配電網(wǎng)規(guī)劃和運(yùn)行的重要準(zhǔn)則，它規(guī)定了在配電網(wǎng)中主變壓器或線路發(fā)生故障時(shí)，線路或主變壓器所帶負(fù)荷可通過(guò)與之聯(lián)絡(luò)的線路進(jìn)行轉(zhuǎn)供，即不對(duì)外停電。

定理5 （17）式、（18）式滿足 UPV準(zhǔn)則。

3 數(shù)值算例

通過(guò)2個(gè)算例來(lái)驗(yàn)證（17）式、（18）式在數(shù)值模擬多介質(zhì)流體流動(dòng)的有效性，其中實(shí)線代表通過(guò)求解Riemann問(wèn)題的精確解，點(diǎn)代表Lax－Wendroff格式的數(shù)值解。

算命1 考慮不同理想氣體的激波管問(wèn)題，初始間斷在x＝0.5位置，初值如下：

當(dāng)0＜x＜0.5時(shí)，ρ1＝1.0，u1＝0，p1＝1.0，γ1＝1.6，α＝1.0；當(dāng)0.5＜x＜1.0時(shí)，ρ2＝0.125，u2＝0，p2＝0.1，γ2＝1.2，α＝0。

本算例選自文獻(xiàn)［1］，這是著名的Sod激波管問(wèn)題，很多流體力學(xué)計(jì)算的論文都用它來(lái)驗(yàn)證自己的計(jì)算格式，理想氣體的狀態(tài)方程為p＝（γ－1）ρε。

算例2 考慮stiff氣體和van der Waals氣體的激波管問(wèn)題，初始間斷在x＝1位置，初值如下：

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，ρ1＝103，u1＝0，p1＝109，γ1＝4.4，π＝6×108，α＝1；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，ρ2＝50，u2＝0，p2＝105，γ2＝1.4，a＝5，b＝10－3，α＝0。

圖1 算例1的計(jì)算結(jié)果

在區(qū)間［0，2］上，網(wǎng)格區(qū)間數(shù)為1 000，時(shí)間為0.000 24時(shí)的總密度、速度、總壓力和總能量的計(jì)算結(jié)果［11］，如圖2 所示。

本算例中左邊stiff氣體的π＝6×108，a＝5，b＝10－3，表明是剛性氣體，相當(dāng)于液體，而且兩邊壓力很大，為強(qiáng)激波。計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于此數(shù)值算例，速度和壓力的數(shù)值解和精確解也是非常吻合的。

圖2 算例2的計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了BN模型的一個(gè)簡(jiǎn)化和修正模型，并采用文獻(xiàn)［4］的方法給出了該模型的具有二階精度的Lax－Wendroff格式，該模型是雙曲型的，而且無(wú)論模型和格式都保證了總質(zhì)量和分質(zhì)量守恒、總動(dòng)量和總能量守恒。數(shù)值算例表明它有效地模擬可壓縮多介質(zhì)流體的介質(zhì)界面的運(yùn)動(dòng)，更重要的是它能有效地消除多介質(zhì)流體，特別是強(qiáng)激波情況下，速度和壓力在介質(zhì)界面處的偽振蕩。

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A modified Baer－Nunziato model of multifluid flow and its Lax－Wendroff scheme

WU Qiang1，2， M.A.Ullah3
（1.Dept.of Mathematics，Shanghai University，Shanghai 200444，China；2.School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China；3.Dept.of Mathematics，Chittagong University，Chittagong 4331，Banglandesh）

This paper proposes a modified Baer－Nunziato model and its Lax－Wendroff scheme with the second order accuracy for the simulation of material interface of different compressible multifluid flow.Both the model and the scheme fully guarantee the total and individual mass conservation as well as the total momentum and total energy conservation.And the spurious oscillation of velocity and pressure across the material interface is eliminated.Numerical examples verify the effectiveness of the algorithm.

conservation law；multifluid flow；spurious oscillation；Lax－Wendroff scheme

O241.82

A

1003－5060（2012）03－0417－04

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.03.029

2011－06－25；

2011－08－12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10971132）；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11040606M06）

吳 強(qiáng)（1973－），男，安徽蕪湖人，上海大學(xué)博士生，合肥工業(yè)大學(xué)講師.

（責(zé)任編輯 呂 杰）