江四喜

（武漢市第二中學，湖北 武漢 430010）

在中學物理中，作為規(guī)律性的核心內(nèi)容，如定理、定律之類并不是很多，而且表述也都比較簡潔、明了.但物理卻又是中學階段讓很多學生感覺是最難學的學科，而其難學也是很多學生最終棄理學文的主要因素.究其原因，主要是因為要學好物理，學習者必須具備較強的綜合處理物理問題的能力.近年來，在各校自主招生的物理考試中，越來越多地使用競賽試題，其主要原因就是解答物理競賽試題的過程，能較好地展現(xiàn)學生處理綜合問題的能力.

中學物理競賽大綱中對物理競賽試題的命題原則作了明確的說明，即不要求答題者使用較為復雜的高等數(shù)學知識，便能處理相關(guān)的物理問題.多年的競賽試題表明，競賽的命題包含了一個基本特征，就是對大學普通物理學的內(nèi)容進行初等化處理，其難點大多體現(xiàn)在要求中學生在不使用復雜的高等數(shù)學知識的前提下，能用中學階段所掌握的知識對普通物理的問題進行處理，因此，學生們在解答這類試題的過程中，在認清模型結(jié)構(gòu)，作出過程分析，找準物理的臨界問題及隱含條件的同時，還必須綜合運用微元、對稱、等效、類比、聯(lián)想、守恒、疊加、圖像等物理思想方法，對問題進行分析與處理.而這一過程對學生的能力要求很高，也就產(chǎn)生了所謂的難題.

中學物理競賽中的難題，大體是從運算水平、思維角度、情景模型、過程識別及信息給予幾方面進行設(shè)置.這里僅對競賽中具有一定運算難度的習題特點，作簡要闡述.

運用數(shù)學知識解決物理問題的能力，是中學物理教學對高中學生的能力要求之一.由于在全國高中物理競賽中允許學生攜帶計算功能強大的計算器，即便是高次方程，利用計算器進行迭代計算，也會很快得到結(jié)果，所以，常規(guī)教學中比較突出的計算問題，已不再是競賽物理中的問題.這樣，在物理競賽中，學生的數(shù)學運算與推理能力也就顯得特別重要，這也就構(gòu)成了一類難題.

事實上，很多參加物理競賽的學生對數(shù)學的學習進度，就走在物理的前面.因為只有這樣，才能保證在解答物理問題時，不至于遇到數(shù)學上的障礙.

對于學生的運算能力，著重于學生的幾何、數(shù)列、三角函數(shù)、二次函數(shù)以及微元問題的處理能力.

例1.質(zhì)量分布均勻的剛性桿AB、CD如圖1放置，A點與水平地面接觸，與地面間的靜摩擦因數(shù)為μA，B、D兩點與光滑豎直墻面接觸，桿AB和CD接觸處的靜摩擦因數(shù)為μC，兩桿的質(zhì)量均為m，長度均為l.

（1）已知系統(tǒng)平衡時AB桿與墻面夾角為θ，求CD桿與墻面的夾角α應該滿足的條件（用α及已知量滿足的方程表示）.

（2）若 μA＝1.00，μC＝0.866，θ＝60.0°，求系統(tǒng)平衡時α的取值范圍（用數(shù)值計算求出）.

解析：本題的模型結(jié)構(gòu)清晰，屬靜平衡的問題.受力分析也不復雜，所用規(guī)律即為一般物體的平衡條件，但要最終得到正確的結(jié)果，沒有相當熟練的運算能力，恐怕難以走到最后.

圖1

建立如圖2所示坐標系Oxy.兩桿的受力情況：f1為地面作用于桿AB的摩擦力，N1為地面對桿AB 的支持力，f2、N2為桿AB作用于桿CD的摩擦力和支持力，N3、N4分別為墻對桿AB和CD的作用力，mg 為重力.取桿AB和CD構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)平衡時，由平衡條件有

以及對A點的力矩

圖2

取桿CD為研究對象，由平衡條件有

以及對C點的力矩

解以上各式可得

CD桿平衡的必要條件為

由（12）～（14）式得

AB桿平衡的必要條件為

由（10）、（11）、（16）式得

因此，使系統(tǒng)平衡，α應滿足的條件為（15）式和（17）式.將數(shù)據(jù)代入（15）式可得α≤arctan0.385＝21.1°.將數(shù)據(jù)代入（17）式，經(jīng)數(shù)值計算可得α≥19.5°.因此，α的取值范圍為19.5°≤α≤21.1°.

上例的解答雖然繁雜，但只要耐心地做下去，基本上還是可解的.而有些問題，即便掌握了解答的物理方法，但其運算方法與過程仍然會讓你無功而返.下面這道例題就屬于這一類型.

例2.如圖3，圓環(huán)之間夾有N個“三角形”，任意一線段代表電阻為R，求AB兩點之間的電阻RAB.

圖3

解析：在圖3（a）圖中，兩圓環(huán)中有N 個連條，設(shè)各自電流如圖3（b）.

應有ii＋Ii＋ii′＝C，其中C為常數(shù).

由iiR＝Ii－1R＋IiR，ii′R＝IiR＋Ii＋1R，得

對節(jié)點A：

得

則對數(shù)列Ii－1＋3Ii＋Ii＋1＝C，求得通項有

對上式由電路對稱性有IN－2＝I1，IN－1＝－I0，代入C＝I－4I0＋I1，化簡得

對UAB，可得UAB＝iABR 及UAB＝2I0R，UAB＝（I1＋I2＋…＋IN－2）R，則iAB＝2I0，I1＋I2＋…＋IN－3＋IN－2＝2I0.為利用3ii＋ii－1＋ii＋1＝C，再寫出（－I0）＋I1＋…＋IN－3＝I0－I1.I2＋I3＋…＋IN－2＋IN－1＝I0－I1.得

聯(lián)立（4）、（5）式可得I與I0之間的關(guān)系，進而可得

除了復雜的運算，某些特殊方程的解法也是競賽中非常重要的一個方面，而對于競賽中可能出現(xiàn)的高次方程，則可利用手中功能強大的計算器進行運算.在此舉一例.

例3.質(zhì)量均為m的小球1、2用長為4a的輕質(zhì)細線相連后，均以初速v沿著與線垂直的方向在光滑水平面上運動，開始時線處于伸直狀態(tài).在運動過程中，線上距離小球1為a的點部位與固定在水平面上的一豎直光滑細釘接觸，如圖4所示.設(shè)在以后的運動過程中兩球不相碰，試求小球與釘?shù)淖畲缶嚯x（精確到0.001a）.

圖4

解析：運動過程中小球1、2所受細線的拉力相對釘子的力矩均為0，因此小球1、2各自相對釘子的角動量都守恒.設(shè)某時刻小球1沿細線方向的速度為vr、與細線垂直方向的速度為v1θ，那么小球2沿細線方向的速度大小也為vr、與細線垂直方向的速度設(shè)為v2θ，如圖5所示.小球1、2的角動量守恒式為

圖5

式中r1為球1與細釘?shù)木嚯x.又因系統(tǒng)光滑，有動能守恒式

當小球1達到與鐵釘最大距離時，滿足條件vr＝0.代入上式得v1θ2＋v2θ2＝2v2.與角動量守恒式聯(lián)立，可得

在計算器上采用二分逼近法，可得數(shù)值近似解A＝1.653.因此，小球1與釘?shù)淖畲缶嚯x為r1＝1.653a.

在物理競賽中，各類難題對問題的設(shè)置，多數(shù)情況下是交融在一起的，是不可分割的，運算難度只是其中的一項要素.如例2，對中學生而言，其模型是復雜的，思維難度也是很大的.面對這類問題，沉著地分析，規(guī)范地表述，是突破障礙的保證，也是處理物理問題能力的集中體現(xiàn).