鄭金海

（山東理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東淄博255091）

與傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)式的控制系統(tǒng)相比，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（NCSs）具有成本更低、效率更高、易安裝、維護(hù)簡(jiǎn)便以及較高的可靠性和靈活性等優(yōu)點(diǎn)，使得網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)得以在加工制造、交通運(yùn)輸、醫(yī)療診斷以及航空航天等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用．但是由于網(wǎng)絡(luò)帶寬的發(fā)展始終滯后于數(shù)據(jù)量的增長(zhǎng)速度，數(shù)據(jù)在網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中就不可避免地存在著延遲、錯(cuò)序甚至丟失的現(xiàn)象，以及執(zhí)行器或傳感器發(fā)生故障的可能，使得網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性受到較大的影響．因此近年來許多文獻(xiàn)對(duì)于網(wǎng)絡(luò)時(shí)延、丟包、錯(cuò)序以及不確定性等因素對(duì)系統(tǒng)性能的影響進(jìn)行了相關(guān)的研究．文獻(xiàn)［1] 研究了一類時(shí)變參數(shù)不確定性的線性時(shí)延系統(tǒng)的保性能控制問題；文獻(xiàn)［2] 提出了單包傳輸情況下的包含時(shí)延、丟包、錯(cuò)序等非理想因素的模型；但是文獻(xiàn)［1－4] 均沒有涉及針對(duì)可靠控制的研究；文獻(xiàn)［5] 研究了具有時(shí)變采樣周期的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的執(zhí)行器失效的穩(wěn)定性問題；文獻(xiàn)［6] 同時(shí)研究了不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題和保性能容錯(cuò)控制問題，但是沒有考慮網(wǎng)絡(luò)時(shí)延、丟包、錯(cuò)序等非理想因素；文獻(xiàn)［7] 中提出的模型考慮了這些因素，但是文中只研究了系統(tǒng)的保性能控制器的設(shè)計(jì)問題．因此，本文基于文獻(xiàn)［7] 中提出的系統(tǒng)模型，研究了具有網(wǎng)絡(luò)時(shí)延、丟包、錯(cuò)序等影響的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒控制和保性能可靠控制問題，通過仿真實(shí)例驗(yàn)證了本文方法的正確性．

1 問題描述

考慮如下一類含有狀態(tài)時(shí)延的線性不確定系統(tǒng)：

其中，x（t）∈Rn和u（t）∈Rm分別是適維狀態(tài)向量和控制輸入向量；A，A1和B為適維常數(shù)矩陣，d為定常狀態(tài)時(shí)延，ΔA，ΔA1和ΔB為具有時(shí)變特性的不確定參數(shù)矩陣，范數(shù)有界且滿足

其中，F(xiàn)（t）∈Ri×j為具有Legesgue可測(cè)元素的不確定矩陣，滿足FT（t）F（t）≤I，D，E，E1和Eb為適維常數(shù)矩陣．

綜合考慮網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中網(wǎng)絡(luò)延遲、丟包和錯(cuò)序等因素的影響，實(shí)際的系統(tǒng)可描述為

其中，h為傳感器的采樣周期．τk表示ikh時(shí)刻的采樣信號(hào)作用到被控對(duì)象時(shí)的時(shí)延．ik（k＝1，2，3，…）是一些整數(shù)，并且有｛i1，i2，i3，…｝?｛0，1，2，3，…｝．

從而，系統(tǒng)（3）可改寫為

對(duì)于t∈［ikh＋τik，ik＋1h＋τik＋1），如果ik＋1＞ik，說明數(shù)據(jù)包傳輸過程中沒有出現(xiàn)錯(cuò)序；否則，說明出現(xiàn)錯(cuò)序現(xiàn)象．而如果｜ik＋1－ik｜＞1，則說明出現(xiàn)了數(shù)據(jù)包丟失．

2 主要結(jié)果

對(duì)于控制輸入向量u（t）＝［u1（t）u2（t）…um（t）]T，用uF（t）＝表示來自存在故障的執(zhí)行器的信號(hào)［8]，并且滿足＝αiui，i＝1，2，…，m，從而有

當(dāng)αi＝0時(shí)，表示執(zhí)行器完全失效；當(dāng)αi＝1時(shí)，表示執(zhí)行器正常；當(dāng)0＜αi＜1時(shí)，表示執(zhí)行器部分失效．

于是，考慮了執(zhí)行器故障的系統(tǒng)模型為

為了得到本節(jié)的結(jié)果，給出如下引理：

引理1 設(shè)D，E和F為具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，其中F滿足FT（t）F（t）≤I，則對(duì)于任意向量ε＞0，有下列不等式成立：

引理2 當(dāng)N＞0時(shí)，下述等式左邊＞0，

2．1 不確定NCSs的魯棒穩(wěn)定性

定理1 對(duì)于任意可能的執(zhí)行器故障矩陣α∈Rm×m，若存在對(duì)稱正定矩陣＞＞0＞0，適維矩陣X，Y（i＝1，2，3，4）和標(biāo)量ε＞0，對(duì)于任意給定的標(biāo)量η，λi（i＝2，3，4）以及矩陣Q＞0，R＞0，使得不等式（9）對(duì)于可接受的不確定性均是成立的，則網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（5）漸近穩(wěn)定，u（t）＝Kx（t），（K＝Y(jié)X－T）是該系統(tǒng)的一個(gè)魯棒穩(wěn)定性控制律．

其中：

其中：

證明 構(gòu)造Lyapunov－Krasovskii泛函

其中：P＞0，S＞0，T＞0．

根據(jù)Newton－Leibniz公式x（t）－x（ikh）－以及對(duì)任意適維數(shù)矩陣Ni和Mi（i＝1，2，3，4），利用（5）式，分別構(gòu)造如下等式：

從而，V（t）在t∈［ikh＋τik，ik＋1h＋τik＋1] 上的關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

其中eT（t）＝［xT（t）xT（t－d）xT（t）] ，NT＝

根據(jù)t∈［ikh＋τik，ik＋1h＋τik＋1），及（8）式，利用引理2，得

其中：

根據(jù)矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)，如果ˉΩ＜0，根據(jù)（11）式就可以推知˙V（t）＜0．

根據(jù)引理1，

其中：

其中：

再次利用矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)，并定義Y＝KXT＝XPXT＝XSXT＝XTXT＝XNiXT（i＝1，2，3，4）替換相應(yīng)矩陣，再用diag｛X－1X－1X－1X－1X－1｝及其轉(zhuǎn)置矩陣分別左乘和右乘得到的矩陣，最后定義M2＝λ2M，M3＝λ3M1，M4＝λ4M1，X＝M－11，

得到式（12），從而證明了˙V（t）＜0．并且由定義Y＝KXT可得，K＝Y(jié)X－T．定理得證．

2．2 保性能魯棒可靠控制

針對(duì)本文中建立的系統(tǒng)模型，性能指標(biāo)為

其中，Q和R是給定的正定對(duì)稱矩陣［9]．

定理2 對(duì)于任意可能的執(zhí)行器故障矩陣α∈Rm×m，若存在對(duì)稱正定矩陣＞＞＞0，適維矩陣X，Y（i＝1，2，3，4）和標(biāo)量ε＞0，對(duì)于任意給定的標(biāo)量η，λi（i＝2，3，4）以及矩陣Q＞0，R＞0，使得不等式（9）對(duì)于可接受的不確定性均是成立的，并且滿足（14）式，則系統(tǒng)（5）是保性能漸近穩(wěn)定的，u（t）＝Kx（t），（K＝Y(jié)X－T）是該系統(tǒng)的一個(gè)保性能魯棒可靠控制律．

證明 根據(jù)定理1的證明，由（12）式可得

對(duì)上式，從ikh＋τik到t∈［ikh＋τik，ik＋1h＋τi＋1] 積分，由于系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的，因此有V（∞）→0．從而（14）式成立．根據(jù)定理1的證明過程可知，u（t）＝Kx（t），（K＝Y(jié)X－T）是該系統(tǒng)的一個(gè)保性能魯棒可靠控制律．定理得證．

以下考慮最優(yōu)保性能控制律的設(shè)計(jì)問題，該控制律使得性能指標(biāo)的上界J＊最小，即求得以下問題的一個(gè)可行解

定義 Φ1＝φ（0）φT（0），

由矩陣跡的性質(zhì)可得

引入新變量

使得

根據(jù)矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)，可得

其中，M＝X－1＝＝＝

對(duì)于常數(shù)σ，假設(shè)

綜合上述各式，對(duì)于系統(tǒng)（5）和性能指標(biāo)（13），利用cone complementary linearization（CCL）算法，系統(tǒng)的最優(yōu)保性能控制設(shè)計(jì)問題可以轉(zhuǎn)化為以下最優(yōu)問題

滿足

算法

1）為σso設(shè)置一個(gè)充分大的初始值σ，使得（20）存在一組可行解．令σso＝σ．求得一組滿足（21）式的可行解

3）若步驟2）中求出的解滿足（17）式，得解．然后適當(dāng)減小σ的值，令σso＝σ，轉(zhuǎn)到步驟1）．若不滿足，檢查k是否達(dá)到最大迭代次數(shù)kmax，若達(dá)到，則問題無(wú)解，退出；否則，令k＝k＋1，轉(zhuǎn)到步驟3）．

3 實(shí)例仿真

考慮不確定時(shí)延系統(tǒng)（5），其中：

1．5，λ3＝2，λ4＝2．5，則利用上述算法，給定d＝1，K＝Y(jié)X－1，可得表1．

表1 給定不同的故障矩陣α得到的反饋增益K和性能指標(biāo)上界σso________________________

其中，1）α＝I表示執(zhí)行器完全正常；2）α＝diag｛1，0｝和α＝diag｛0，1｝分別表示執(zhí)行器1，2發(fā)生故障完全失效．

可見，在執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下，利用本文中的方法，仍能達(dá)到可以接受的性能要求．

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)綜合考慮了網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中存在時(shí)延、丟包和錯(cuò)序等非理想因素的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型，研究了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性控制和保性能可靠控制問題，分別推導(dǎo)出了執(zhí)行器正常時(shí)，系統(tǒng)的帶有狀態(tài)反饋和魯棒控制律，以及執(zhí)行器可能發(fā)生故障時(shí)，系統(tǒng)的保性能可靠控制．文中最后的數(shù)值實(shí)例，驗(yàn)證了本文方法和正確性．

［1] Li Y，Jian C．An LMI approach to guaranteed cost control of linear uncertain time－delay systems［J] ．Automatica，1999，35：1 155－1 159．