李洪濤 賀亞鵬 肖 瑤 朱曉華

(南京理工大學電子工程與光電技術(shù)學院 南京 210094)

1 引言

自適應(yīng)波束形成算法在導(dǎo)向矢量和信號協(xié)方差矩陣精確已知的情況下，具有良好的性能，但在低快拍下或接收數(shù)據(jù)包含較強期望信號以及導(dǎo)向矢量存在誤差時，會出現(xiàn)期望信號相消、旁瓣電平升高等魯棒性問題。因此波束形成的魯棒性得到了廣泛的研究：基于對角加載(DL)的波束形成算法計算簡單[1]，但其對角載入值需要正確估計；特征空間波束形成(ESB)算法[2,3]具有良好的性能，然而需要進行特征空間分解并正確估計其空間信號源數(shù)目；稍后提出的最差性能最優(yōu)化(WCPO)算法[4,5]，魯棒Capon波束形成(RCB)算法[6]，以及雙約束魯棒Capon波束形成(DCRCB)算法[7]等，經(jīng)證明均屬于對角加載類算法；基于二階錐規(guī)劃(SOCP)的魯棒波束形成算法[8,9]通過在主瓣區(qū)域內(nèi)形成平頂響應(yīng)，對導(dǎo)向矢量誤差具有良好的魯棒性，但需要主瓣區(qū)域?qū)挾鹊男畔ⅰ?/p>

壓縮感知[10-14](CS)理論被廣泛應(yīng)用于圖像處理[15]、無線通信[16]以及雷達[17-22]等諸多工程領(lǐng)域。利用信號在空域的稀疏性[23,24]，文獻[25]采用CS理論對陣列接收信號在時域內(nèi)進行隨機測量，減少陣列在時域的采樣數(shù)，提出一種基于 CS的波束形成算法，但該算法要求陣列接收確定形式信號，且不能適用于相干性信號。

針對上述問題，本文提出一種新穎的基于 CS的單通道魯棒自適應(yīng)波束形成(CS-RAB)算法。首先提出一種單通道陣列體制，采用0/π移相器對每個陣元進行隨機移相處理，經(jīng)功分器后合為一路輸出，進行低快拍空域隨機采樣，由此構(gòu)建新的波束形成CS模型，其感知矩陣滿足約束等容(RIP)條件，保證采用 CS重構(gòu)算法進行波束形成的有效性和魯棒性；在此基礎(chǔ)之上，采用快速的魯棒平滑L0 (RSL0)算法重構(gòu)信號矩陣，最后以表征陣列魯棒性的陣列靈敏度作為目標函數(shù)，以干擾矩陣作為約束條件，形成有效波束。CS-RAB算法只需一個射頻通道，即可在低快拍且接收數(shù)據(jù)中包含較強期望信號的情況下對任意相干、非相干干擾信號進行有效抑制，并可避免因通道間不一致造成的魯棒性問題、利于工程實現(xiàn)。

2 信號模型

2.1 單通道陣列模型

設(shè)射頻單通道陣列如圖1所示，由L個陣元組成，每個陣元均連接一個0/π移相器，然后通過功分器合為一路輸出，再經(jīng)過單路射頻通道和A/D轉(zhuǎn)換器后轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號yk輸出，即

圖1 單通道體制陣列模型

其中d= [d1,d2,···,dL]T為由0/π移相器生成的加權(quán)矢量，其元素di=cos(0/π) = ± 1,i= 1 ,2,… ,L,x為陣列輸入信號，n為方差為σ2的高斯白噪聲矢量。

單通道陣列由于只具有一個射頻通道，因此具有成本低、體積小等優(yōu)點，且可避免因通道間增益不一致、幅相不平衡等造成的魯棒性問題，具有很強的工程應(yīng)用價值。將CS理論運用于單通道陣列，利用0/π移相器隨機相位變化實現(xiàn)空域隨機采樣，可在低快拍下有效恢復(fù)陣列各陣元相位與幅度信息，進行波束形成。

2.2 感知矩陣RIP條件分析

因為x在頻域為K稀疏信號[24]，即

其中F為L×L維的傅里葉變換矩陣。由CS理論可知，僅需采用少量的陣元數(shù)和快拍數(shù)對x進行測量就可以完全恢復(fù)s。根據(jù)頻域與空域的對稱性，目標在空域內(nèi)是稀疏的，由于目標信號的時間相關(guān)性[26]，設(shè)在N個快拍期間，目標未跨角度單元移動，則

將式(2)代入式(3)可得

其中D= [d1,d2,… ,dN]為經(jīng)過0/π移相器N次隨機變化相位生成的L×N維加權(quán)矢量矩陣，其元素為服從獨立同分布的伯努利隨機變量[21]，I為單位矩陣，w=Dn為L×1維的噪聲矢量，z=Is,Φ=DF-1,Θ=ΦI，即z為稀疏基矩陣I下的稀疏信號，Φ為元素服從獨立同分布的伯努利隨機變量的隨機噪聲矩陣與標準正交基的乘積。

因此，采用射頻單通道體制對空間信號進行接收采樣可看作采用測量矩陣Φ對稀疏信號z進行隨機測量，且感知矩陣Θ滿足RIP條件，保證了采用CS重構(gòu)算法進行波束形成的有效性和魯棒性。

2.3 CS優(yōu)化模型

根據(jù)CS理論，當陣元個數(shù)L≥0.28ln(N/K)[27]時，式(4)可通過求解在噪聲環(huán)境下的 L0范數(shù)優(yōu)化問題，得到空域目標信息

其中常量ε與噪聲方差相關(guān)。該優(yōu)化問題可采用基追蹤去噪(BPDN)算法[28]、丹茨格估計器(DS)算法[29]、快速的RSL0[30,31]算法等進行求解，其中RSL0算法在相同的估計精度下，具有運算速度[30]較快的優(yōu)點。

由于 L0范數(shù)是離散的，式(5)的最小化問題不能直接求解。為此，RSL0算法定義一個復(fù)函數(shù)：

將式(7)代入式(5)，可得RSL0算法模型為

其中，為避免式(8)的解落入局部最優(yōu)解，RSL0算法首先將σ初始化為一個足夠大的值，然后將其衰減至足夠小，通過在σ衰減過程中，求解在約束條件下目標函數(shù)最大值對應(yīng)的σ逼近式(8)的最優(yōu)解。

3 基于CS的魯棒波束形成算法

由式(8)可得空間信號信息矩陣G為

則空間信號的個數(shù)為

設(shè)a(θ0)為期望方向信號的導(dǎo)向矢量，則空間信號與期望信號的K×1維相關(guān)矢量B為

當訓(xùn)練數(shù)據(jù)中存在期望信號時，信號相關(guān)矢量B中必有一個元素為 1，其在信號相關(guān)矢量B中的位置對應(yīng)矩陣G中期望信號的方向矢量，當訓(xùn)練數(shù)據(jù)中不含期望信號時，信號相關(guān)矢量B中所有的元素必然小于1。

用信號相關(guān)矢量B修正空間信號信息矩陣G，得到

其中1K為所有元素為1的K×1維矢量。

則為不包含期望信號信息的干擾信號信息矩陣，利用作為干擾抑制的約束條件，以表征陣列魯棒性的陣列靈敏度[7]作為目標函數(shù)，提出CS-RAB算法。

利用 Lagrange乘子算法求解式(13)，可得CS-RAB算法的加權(quán)矢量為

4 計算機仿真分析

本節(jié)通過非相干干擾、相干干擾等多種信號模型，將CS-RAB算法與采樣協(xié)方差矩陣求逆(SMI)算法、對角加載采樣協(xié)方差矩陣求逆(LSMI)算法進行對比，驗證算法的有效性。仿真中空間信號采樣陣元個數(shù)L=16，陣元間距d=λ/2，快拍數(shù)為10。

實驗1設(shè)空間存在兩個非相干信號，入射角分別為-5°, 8°，信號的SNR均為10 dB。圖2為CS-RAB算法空域譜估計的輸出，其中虛線為信號實際方向。從圖2中可以看出，CS-RAB算法可以精確估計出信號的位置，并對噪聲進行有效地抑制，因此具有較低的旁瓣，平均達到-200 dB。

圖2 非相干信號的空域譜估計輸出

實驗2設(shè)空間存在兩個非相干干擾信號，其入射角分別為8°, -25°，期望信號方向為0°，輸入信號SNR為30 dB。圖3(a)為各算法在INR為10 dB時，輸出方向圖對比，其中p(θ)為歸一化方向圖。從圖3(a)中可以看出，CS-RAB算法在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含較強期望信號的情況下不僅可以對干擾形成零陷，且可以保持較低的旁瓣電平；SMI算法在快拍數(shù)小于陣元數(shù)以及訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含期望信號的情況下，已無法形成波束主瓣，性能嚴重下降；LSMI算法同樣在較高的輸入SNR下無法形成主瓣，且旁瓣電平較高，零陷深度小于CS-RAB算法。圖3(b)為各算法在INR為30 dB時，輸出波束方向圖對比。從圖3(b)中可以看出，CS-RAB算法仍可有效抑制干擾，SMI算法與LSMI算法性能則隨著INR的增強，進一步惡化。

實驗3設(shè)空間存在兩個相干干擾信號，其入射角分別為30°, -20°，期望信號方向為0°，訓(xùn)練數(shù)據(jù)中無期望信號。圖4(a)為各算法在INR為10 dB時輸出方向圖對比。從圖4(a)中可以看出，CS-RAB算法可以對相干干擾形成零陷，且主瓣和旁瓣性能都較好；SMI算法以及LSMI算法均無法對相干干擾形成零陷，且旁瓣電平均高于CS-RAB算法。圖4(b)為各算法在INR為30 dB時輸出方向圖對比。從圖4(b)中可以看出，隨著INR的增加，CS-RAB算法仍可有效抑制干擾，而SMI算法與LSMI算法的性能則進一步惡化。

實驗4設(shè)空間存在兩個非相干干擾信號，其入射角分別為20°, -8°，期望信號方向為0°，訓(xùn)練數(shù)據(jù)中無期望信號。設(shè)陣列通道間增益不一致，其各增益服從均值為1，方差為0.01的復(fù)高斯分布。圖5(a)為各算法在INR為10 dB時輸出方向圖對比。從圖5(a)中可以看出，SMI算法在通道間幅度不一致的情況下已經(jīng)無法形成波束主瓣；LSMI算法由于進行了對角加載，因此可以形成有效波束主瓣，但無法準確抑制干擾；CS-RAB算法由于只有一個射頻通道，因此可在形成波束主瓣同時，對干擾進行有效地抑制。圖5(b)為各算法在INR為30 dB時輸出方向圖對比。從圖5(b)中可以看出，隨著INR的增加，SMI算法與LSMI算法的性能均有不同程度的下降，CS-RAB算法在高INR以及通道間幅度不一致的情況下，仍可形成波束主瓣，并有效抑制干擾。

實驗5設(shè)空間存在兩個非相干干擾信號，其入射角分別為10°, 20°，期望信號方向為0°，訓(xùn)練數(shù)據(jù)中無期望信號。圖6為由RSL0算法恢復(fù)信號估計的干擾信號角度均方根誤差隨干擾INR變化的曲線；圖7為陣列輸出SINR隨干擾INR的變化曲線。從圖6可以看出，估計的干擾信號角度均方根誤差隨干擾INR的增加而快速減小，即干擾的INR越大，RSL0算法恢復(fù)信號的誤差越小。從圖7可以看出，本文提出的方法其陣列輸出SINR隨干擾INR的變化基本不變，即由于干擾INR較低引起的信號估計誤差對波束形成基本沒有影響。其實質(zhì)性原因是在干擾INR較大的情況下，RSL0算法可以準確估計干擾位置，此時波束形成的零陷中心對準干擾，波束可有效抑制強干擾；在干擾INR較小的情況下，RSL0算法估計的干擾位置與實際干擾位置存在一定的偏差，波束形成的零陷中心未對準干擾，但由于估計的干擾信號角度誤差并不大，干擾并未完全移出零陷，且干擾較弱，波束形成的零陷依然可對干擾進行有效抑制。

5 結(jié)論

圖3 高信噪比下各算法方向圖對比

圖4 相干干擾下各算法方向圖對比

圖5 通道間幅度不一致情況下各算法方向圖對比

圖6 估計干擾信號均方根誤差隨INR的變化曲線

圖7 陣列輸出SINR隨INR的變化曲線

針對存在相干干擾、訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含期望信號以及低快拍下自適應(yīng)波束形成算法魯棒性下降的問題，提出一種基于CS的單通道魯棒波束形成算法。提出的單通道陣列體制具有成本低、體積小等優(yōu)點，且可避免因通道間增益不一致、幅相不平衡等造成的魯棒性問題，具有較強的工程應(yīng)用價值?；趩瓮ǖ狸嚵畜w制的 CS-RAB算法可在較高輸入 SNR下有效抑制相干、非相干干擾信號，是一種適應(yīng)性較強的魯棒波束形成算法。

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