廖 軼 周 松 邢孟道 保 錚

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

1 引言

合成孔徑雷達(dá)(SAR)由于其全天時(shí)、全天候成像的能力，近年來(lái)已經(jīng)廣泛地投入到軍用和民用的實(shí)際運(yùn)用中[1-3]。傳統(tǒng)的SAR成像系統(tǒng)一般采用直線軌跡[4]，并出現(xiàn)了條帶、聚束、掃描等各種模式。相比于經(jīng)典的條帶模式，聚束模式的觀測(cè)區(qū)域較小，但是較長(zhǎng)的觀測(cè)時(shí)間使其擁有相比于條帶更高的方位分辨率；掃描模式通過(guò)距離向上的掃描觀測(cè)增加了測(cè)繪帶寬度，但卻因此犧牲了方位向的分辨率。近來(lái)曲線軌跡SAR系統(tǒng)越來(lái)越受到關(guān)注。20世紀(jì)90年代，文獻(xiàn)[5]提出了圓跡合成孔徑雷達(dá)(Circular SAR, CSAR)的概念，此后逐漸成為雷達(dá)成像領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一。但是通常意義下的CSAR都只是針對(duì)某一特定局部區(qū)域進(jìn)行觀測(cè)，這從某種意義上來(lái)看類似于曲線軌跡的聚束模式，并且由于其飛行軌跡的特殊性而獲得較高的分辨率或3維高程信息[6-8]。

近年來(lái)一種新的廣域觀測(cè)圓跡環(huán)掃 SAR(Circular Scanning SAR, CSSAR)成像模式作為一個(gè)全新的研究熱點(diǎn)逐漸受到了更多的關(guān)注[9]。在這種工作模式下，飛行平臺(tái)在一個(gè)固定的高度處作圓軌跡巡航運(yùn)動(dòng)，天線方向固定朝背離圓心方向，因而形成了一個(gè)環(huán)形的成像區(qū)域，在某種意義上類似于圓跡正側(cè)視條帶模式，這種模式由于提高了其方位向上的掃描速度因而較之傳統(tǒng)的直線條帶模式擁有更大的成像區(qū)域，適合于進(jìn)行快速的廣域成像。

在SAR成像的處理過(guò)程中，回波信號(hào)2維頻譜的有效獲取對(duì)于設(shè)計(jì)快速頻域算法是至關(guān)重要的，由于 CSSAR圓弧飛行軌跡的特殊性，在其目標(biāo)的斜距方程中存在根號(hào)下三角函數(shù)的形式，如果直接使用 POSP(駐相點(diǎn)法)難以推導(dǎo)信號(hào) 2維頻譜的精確解析表達(dá)式。因而如何獲得信號(hào)的2維頻譜成為了CSSAR算法設(shè)計(jì)的一個(gè)難點(diǎn)。針對(duì)CSSAR成像，文獻(xiàn)[9]在其2維頻譜的推導(dǎo)過(guò)程中對(duì)斜距方程進(jìn)行了二階近似，并以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)成像算法，在平臺(tái)飛行高度較高，俯仰角較大，積累時(shí)間較短使得曲線影響可以忽略的情況下，該方法能夠獲得較好的成像結(jié)果；然而該方法采用的二階近似舍棄了高階斜距信息，因此在積累時(shí)間較長(zhǎng)，分辨率要求較高的成像條件下，這種近似將引入較大的斜距近似誤差，若使用原有的算法所得的2維頻譜會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，進(jìn)而導(dǎo)致目標(biāo)成像質(zhì)量下降，所以原有算法在使用中存在一定的局限性。

為了得到一種適用性更廣的成像算法，本文將基于級(jí)數(shù)反演法提出了一種CSSAR成像的新思路。級(jí)數(shù)反演法是利用多普勒頻率的展開(kāi)式反演駐相點(diǎn)展開(kāi)式系數(shù)，進(jìn)而獲得信號(hào)的 2維頻譜的一種方法[10-12]，該方法在推導(dǎo)過(guò)程中可以通過(guò)調(diào)整展開(kāi)式的階數(shù)來(lái)有效控制2維頻譜表達(dá)式的精度。在獲得的2維頻譜的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)相應(yīng)的頻域算法。首先在2維頻域補(bǔ)償于場(chǎng)景中心相對(duì)應(yīng)的頻譜，再在距離多普勒域補(bǔ)償隨距離空變的相位差。

文中首先分析了圓跡運(yùn)動(dòng)的幾何模型，探討了通過(guò)直接POSP求解所面臨的問(wèn)題，然后將斜距方程近似到四階，再利用基于級(jí)數(shù)反演的方法推導(dǎo)得到信號(hào)的2維頻譜表達(dá)式。接著對(duì)2維頻譜進(jìn)行了分析并且給出了算法流程。最后，通過(guò)不同距離處的點(diǎn)目標(biāo)的仿真及結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了所述算法的有效性。

2 圓跡環(huán)掃SAR的信號(hào)模型

圓跡環(huán)掃SAR的成像幾何如圖1所示。雷達(dá)平臺(tái)在高度為Hc的平面上以半徑ra做圓形軌跡運(yùn)動(dòng)，平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的角速度為ω，平臺(tái)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的方位向慢時(shí)間為η，則飛行平臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ,θ∈[0,2π)，雷達(dá)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)，波束的指向始終與飛行速度方向垂直，波束的俯仰角為θr，當(dāng)雷達(dá)平臺(tái)旋轉(zhuǎn)飛行一周時(shí)，其波束照射的區(qū)域?qū)⑿纬梢設(shè)B為內(nèi)徑，OC為外徑的環(huán)形區(qū)域。設(shè)雷達(dá)平臺(tái)A的坐標(biāo)為(racosθ,rasinθ,Hc)，而以O(shè)點(diǎn)為圓心，半徑為rp，方位角為θp的目標(biāo)點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為(rpcosθp,rpsinθp, 0)，雷達(dá)與目標(biāo)P之間的瞬時(shí)距離為R(η)，利用余弦定理，可以得到以下關(guān)系：

圖1 圓跡環(huán)掃SAR成像幾何模型

其中

假設(shè)發(fā)射雷達(dá)信號(hào)為線性調(diào)頻(LFM)信號(hào)，脈沖寬度為Tp，調(diào)頻率為γ，則點(diǎn)目標(biāo)P的回波可表示為

其中σp為散射系數(shù)，ar(·)和aa(·)分別為雷達(dá)(LFM)信號(hào)的距離向包絡(luò)和方位向包絡(luò)，c為光速，λ為中心頻率所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)。

此時(shí)，將式(5)所示的回波信號(hào)變換到距離頻域-方位時(shí)域，得

其中fc為載頻，fτ為距離向頻率，Ar(fτ)代表距離頻率包絡(luò)?，F(xiàn)在試用駐相點(diǎn)法求解信號(hào)2維頻譜，對(duì)式(6)作方位FFT，得

那么其傅里葉積分中的相位為

對(duì)θ(η)關(guān)于η求導(dǎo)得

令該導(dǎo)數(shù)為零，

由式(9)可見(jiàn)，在多普勒頻域的表達(dá)式中，分子和分母的根號(hào)下均存在三角函數(shù)形式的表示式，因此由式(9)推導(dǎo)η的表達(dá)式十分不易，從而給SAR回波信號(hào)的2維頻譜推導(dǎo)帶來(lái)了較大的困難。針對(duì)該問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]通過(guò)對(duì)斜距表達(dá)式作二階近似使其表達(dá)形式與傳統(tǒng)直線條帶式的斜距方程具有類似的形式，并以該二階近似斜距式為基礎(chǔ)給出了相應(yīng)的成像方法。在飛行高度較高，軌道半徑較小的情況下，飛行軌跡曲率的影響對(duì)于斜距的變化可以忽略，即飛行軌跡對(duì)于目標(biāo)點(diǎn)可以近似地認(rèn)為是直線。因此在這種情況下，文獻(xiàn)[9]的方法是適用的，但是對(duì)于某些低空運(yùn)動(dòng)平臺(tái)如無(wú)人機(jī)，其圓弧飛行軌跡所引入的斜距變化信息對(duì)于頻譜的影響是不可忽略的，如果使用二階近似而忽略高次項(xiàng)將導(dǎo)致聚焦質(zhì)量的下降，因此需要找到一種新的適合于圓跡環(huán)掃SAR的頻譜推導(dǎo)方法。

3 基于MSR的2維頻譜推導(dǎo)

從以上的分析可以看出，CSSAR由于其斜距表示較為復(fù)雜，成像處理中不便于方位傅里葉變換中駐相點(diǎn)的求解及信號(hào)2維頻譜的推導(dǎo)，而文獻(xiàn)[9]的近似方法所引入的斜距誤差在積累時(shí)間較長(zhǎng)，分辨率要求較高的情況下對(duì)聚焦的影響較大，不能滿足成像質(zhì)量的要求。因此以下我們利用級(jí)數(shù)反演的方法對(duì)信號(hào)回波進(jìn)行2維頻譜的推導(dǎo)，通過(guò)對(duì)POSP中多普勒頻譜的展開(kāi)式系數(shù)反演得到駐相點(diǎn)方位時(shí)間的級(jí)數(shù)展開(kāi)式系數(shù)，進(jìn)而得到精度較高的2維頻譜表達(dá)式。在推導(dǎo)過(guò)程中，我們可以通過(guò)調(diào)整展開(kāi)式中的近似階數(shù)來(lái)控制2維頻譜表達(dá)式的精度，并以該頻譜為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)有效的CSSAR成像算法。

對(duì)于式(9)，令導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，多普勒頻率可以寫(xiě)成如下形式：

利用級(jí)數(shù)反演法，我們可以得到方位時(shí)間由多普勒頻率展開(kāi)式表達(dá)的形式，即駐相點(diǎn)的表示式，表示如下：

其中

由式(6)和式(12)，可以得到

其中Aa(fη)為信號(hào)多普勒譜的包絡(luò)，需要指出的是，由于斜距公式中含有三角函數(shù)的原因，展開(kāi)式里奇次項(xiàng)均為0。對(duì)于式(14)的表達(dá)式，需要對(duì)其進(jìn)行展開(kāi)并保留一定的階次，而階次的選取就關(guān)系到成像精度的問(wèn)題。在這里我們將相位階次保持到四階，關(guān)于擴(kuò)展階次的選取原則，本文的第5節(jié)將對(duì)此進(jìn)一步做定量分析。結(jié)合式(12)，式(13)和式(14)，那么此時(shí)點(diǎn)目標(biāo)信號(hào)的2維頻譜的相位可以寫(xiě)成

其中式(15)中的相位項(xiàng)表示如下：

在式(16)中，信號(hào) 2維頻譜的表達(dá)式保留到了多普勒頻率fη的四階項(xiàng)，式(16)等號(hào)右邊的第 3項(xiàng)包含斜距四次項(xiàng)系數(shù)k4，這是在二階近似的成像方法中忽略的高次項(xiàng)。在低空運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的成像過(guò)程中，其飛行曲線軌跡引入的距離變化信息將帶來(lái)明顯的高次相位信息，這時(shí)未補(bǔ)償?shù)男本嗨拇雾?xiàng)將會(huì)嚴(yán)重影響2維頻譜的精度，因此，在成像算法設(shè)計(jì)時(shí)，需要對(duì)斜距高階項(xiàng)進(jìn)行補(bǔ)償。以下將根據(jù)獲取的SAR信號(hào)回波的 2維頻譜表達(dá)式，給出適用于CSSAR的成像算法。

下面利用所得到的 2維頻譜進(jìn)行成像算法推導(dǎo)。

4 成像算法分析

從之前的推導(dǎo)中可以看出，2維頻譜的表達(dá)式含有fτ,fη和R(η)等變量，鑒于回波信號(hào)2維頻譜中的距離頻率fτ和多普勒頻率fη的耦合，不便于后續(xù)處理，因此將式(16)在距離頻率fτ=0 處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，整理后可以得到如下形式：

(1)方位調(diào)制項(xiàng)：式(17)中等號(hào)右邊的第2個(gè)相位項(xiàng)為方位調(diào)制項(xiàng)，即

該項(xiàng)包含方位調(diào)制，將在距離徙動(dòng)校正和距離壓縮之后與構(gòu)造的方位匹配濾波函數(shù)相乘完成方位脈壓。

(2)距離徙動(dòng)(Range Cell Migration, RCM)項(xiàng)：式(17)中等號(hào)右邊的第 3個(gè)相位項(xiàng)為距離徙動(dòng)項(xiàng)，即

該項(xiàng)與多普勒頻率的fη有關(guān)，體現(xiàn)為距離向和方位向的耦合，需予以補(bǔ)償。通常情況下，在距離測(cè)繪帶不是很寬的CSSAR成像中，RCM項(xiàng)隨距離的變化可以忽略；在后續(xù)的處理中，可用場(chǎng)景中心處為參考，在 2維頻域構(gòu)造相應(yīng)的距離徙動(dòng)校正(Range Cell Migration Correction, RCMC)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)距離徙動(dòng)校正。

(3)二次距離脈壓(Secondary Range Compression,SRC)項(xiàng)：式(17)中等號(hào)右邊的第4個(gè)相位項(xiàng)為SRC項(xiàng)，即

該項(xiàng)體現(xiàn)了由距離頻率fτ和多普勒頻率fη的耦合所引入的距離調(diào)頻率的改變。如果不考慮SRC項(xiàng)將影響距離向的聚焦，而SRC隨距離的變化往往可以忽略；因此可以以場(chǎng)景中心作為參考，在2維頻域構(gòu)造相應(yīng)的補(bǔ)償項(xiàng)，消除SRC項(xiàng)對(duì)成像的影響。

(4)距離調(diào)制項(xiàng)：式(17)中等號(hào)右邊的第5個(gè)相位項(xiàng)為距離調(diào)制項(xiàng)，即

(5)殘余相位項(xiàng)：式(17)中等號(hào)右邊的第6個(gè)相位項(xiàng)為殘余相位項(xiàng)，即

該項(xiàng)為展開(kāi)后的殘余相位項(xiàng)，可在2維頻域?qū)ζ溥M(jìn)行補(bǔ)償。

根據(jù)以上的分析，并結(jié)合式(15)和式(16)的SAR回波信號(hào)的2維頻譜表達(dá)式，在2維頻域中補(bǔ)償與場(chǎng)景中心相對(duì)應(yīng)的頻譜，再在距離-多普勒域補(bǔ)償隨距離空變的相位項(xiàng)。

具體的算法流程如下：

(1)首先對(duì)式(5)的回波信號(hào)做2維FFT得到如式(15)所示2維頻譜。

(2)這時(shí)對(duì)距離徙動(dòng)項(xiàng)φrcm(fη)，距離調(diào)制項(xiàng)φrg(fη)，殘余相位項(xiàng)φres(fη,fτ)和距離調(diào)制項(xiàng)φrg(fτ)進(jìn)行補(bǔ)償，乘以其相位的共軛，

(3)作距離IFFT將信號(hào)變換至距離多普勒域并乘以方位匹配濾波函數(shù)完成方位脈沖壓縮方位匹配濾波函數(shù)為

(4)最后對(duì)信號(hào)做方位IFFT就可以得到聚焦后的SAR圖像，完整的算法流程圖如圖2所示。

5 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

在SAR成像中，對(duì)于斜距的近似誤差而言，忽略斜距中的高次項(xiàng)而引起的雙程最大相位誤差應(yīng)小于π/4。針對(duì)上述分析，斜距展開(kāi)到了四次，以下我們分析近似擴(kuò)展階次的問(wèn)題。

圖2 算法流程圖

選取一組典型參數(shù)，假設(shè)飛行平臺(tái)的參數(shù)為Hc=2 000 m,ra=4 000 m,rp=5 154.7 m ，飛行速度v=100 m/s，雷達(dá)波長(zhǎng)λ=0.3 m，現(xiàn)在分別計(jì)算在一個(gè)合成孔徑時(shí)間內(nèi)目標(biāo)斜距二次的近似誤差和四次的近似誤差，如圖 3，圖 4所示，其中虛線所指示的是相位誤差為π/4的位置，實(shí)線表示的是合成孔徑積累時(shí)間內(nèi)由不同斜距階次近似所引入的相位誤差。另外由于奇次項(xiàng)為零，故這里不再考慮三次的近似誤差。從圖中可以看出，二次近似相位誤差在邊緣最大處為1.7左右，大于虛線所表示的π/4位置，進(jìn)而說(shuō)明了由二階近似引入的近似誤差不能夠被忽略，否則將導(dǎo)致成像質(zhì)量的下降；而四次近似相位誤差的最大值約為 3×10-3，遠(yuǎn)小于π/4，故而在圖中不再畫(huà)出表示π/4的虛線，同時(shí)這也說(shuō)明對(duì)斜距的四階近似已經(jīng)足夠滿足成像的要求，無(wú)需再提高近似階次。因此，對(duì)圓跡環(huán)掃SAR而言，式(15)所表示的頻譜表達(dá)式具有更廣的適用性。

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，下面分別采用本文推導(dǎo)的方法與文獻(xiàn)[9]中所述的斜距二階近似條件下的成像算法進(jìn)行點(diǎn)目標(biāo)全孔徑成像仿真對(duì)比。仿真參數(shù)如表1所示，場(chǎng)景中有遠(yuǎn)、中、近3個(gè)點(diǎn)目標(biāo)，點(diǎn)目標(biāo)的坐標(biāo)分別為Pn(0,4854.7,0),Pm(0,5154.7,0),Pf(0,5454.7,0)。

同樣針對(duì)場(chǎng)景中心點(diǎn)，運(yùn)用兩種算法對(duì)場(chǎng)景中心點(diǎn)Pm進(jìn)行成像并對(duì)結(jié)果作對(duì)比，如圖5，圖6所示。其中(a)為點(diǎn)目標(biāo)等高線圖，(b)為方位向脈沖響應(yīng)，(c)為距離向脈沖響應(yīng)。從圖中可以看出，由于圓跡飛行軌跡曲率的影響，斜距的二階次近似已經(jīng)無(wú)法表征足夠的相位變化信息，進(jìn)而造成點(diǎn)目標(biāo)的聚焦效果下降，難以滿足成像的要求。然而本文所提的算法通過(guò)級(jí)數(shù)反演將斜距近似到四階，其推導(dǎo)得到的 2維頻譜中能夠體現(xiàn)出更多的斜距變化信息，因而提高成像質(zhì)量，獲得更高的圖像精確度，使點(diǎn)目標(biāo)的聚焦效果滿足成像要求。圖7和圖8分別為使用本文所述方法得到的近距點(diǎn)和遠(yuǎn)距點(diǎn)的成像效果，從圖中可以看出，不僅是場(chǎng)景中心點(diǎn)，近距點(diǎn)和遠(yuǎn)距點(diǎn)也均得到了良好的聚焦，進(jìn)一步證明本文算法的有效性。

表1 雷達(dá)參數(shù)

表2為本文所提算法對(duì)遠(yuǎn)、中、近3個(gè)目標(biāo)的成像質(zhì)量參數(shù)評(píng)價(jià)結(jié)果。其中，理論的距離分辨率和方位分辨率分別為0.443 m和0.125 m，從表2可以看出，成像各項(xiàng)性能指標(biāo)均與理論值較為接近，取得了較好的成像結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提算法的有效性。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文首先通過(guò)建立圓跡環(huán)掃 SAR成像信號(hào)模型，展示了 CSSAR的成像特點(diǎn)和難點(diǎn)，然后針對(duì)難點(diǎn)給出了點(diǎn)目標(biāo)的斜距方程和基于級(jí)數(shù)反演法的信號(hào)2維頻譜表達(dá)式，并通過(guò)近似相位誤差分析，解決了近似階數(shù)的選取問(wèn)題；同時(shí)與二階近似的成像方法進(jìn)行了對(duì)比，論證了本文方法的優(yōu)越性；然后在2維頻譜的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了相應(yīng)的成像算法。文章最后通過(guò)不同距離處的點(diǎn)目標(biāo)仿真對(duì)比，驗(yàn)證了所提算法的有效性。

圖3 斜距二階近似相位誤差

圖4 斜距四階近似相位誤差

圖5 采用對(duì)斜距二階近似的算法，中心點(diǎn)成像結(jié)果

圖6 采用本文方法，中心點(diǎn)成像結(jié)果

圖7 采用本文方法，近距點(diǎn)成像結(jié)果

圖8 采用本文方法，遠(yuǎn)距點(diǎn)成像結(jié)果

表2 本文成像算法成像質(zhì)量評(píng)價(jià)

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