劉伏虎，馬曉平

（西北工業(yè)大學(xué)無人機特種技術(shù)國家重點實驗室，陜西西安 710065）

引言

現(xiàn)代飛行器設(shè)計日益要求高速度和高機動性，使得飛行器日益呈現(xiàn)出輕結(jié)構(gòu)和大柔性的特點，因此氣動彈性的動穩(wěn)定性和動力響應(yīng)問題變得日益突出［1］。氣動彈性動穩(wěn)定性主要研究顫振問題，動力響應(yīng)主要討論氣動彈性系統(tǒng)在突風(fēng)作用下引起的氣動彈性響應(yīng)問題。文獻(xiàn)［2］以二元機翼為對象，利用Jones氣動力近似方法建立了氣動彈性響應(yīng)模型，研究了銳邊突風(fēng)對系統(tǒng)氣動彈性響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)［3］以大展弦比均勻直機翼為對象，求解一階扭轉(zhuǎn)和一階彎曲情況下系統(tǒng)的顫振速度，利用準(zhǔn)定常氣動力模型研究了銳邊突風(fēng)二元機翼以及直機翼的氣動彈性響應(yīng)影響。

本文將以大展弦比均勻直機翼為對象，以非定常氣動力為基礎(chǔ)，建立系統(tǒng)響應(yīng)模型，采用V-g法在二階扭轉(zhuǎn)和二階彎曲模態(tài)下求解系統(tǒng)的顫振速度。以Kussner函數(shù)為基礎(chǔ)，建立銳邊突風(fēng)模型，研究銳邊突風(fēng)對系統(tǒng)氣動彈性響應(yīng)的影響。

1 建立模型

設(shè)大展弦比均勻直機翼的半展長為l，單位展長質(zhì)量為m。圖1為其剖面示意圖。圖中，b為翼型的半弦長；a為翼弦中點到彈性軸的距離占半弦長的百分比，彈性軸在半弦線之后a＞0，彈性軸位于距離機翼弦線中點ab處；xα為重心與彈性軸的距離占半弦長的百分比，重心在彈性軸之后xα＞0，重心與彈性軸的距離為xαb。

圖1 剖面示意圖

設(shè)彈性軸彎曲變形為w（y），向上為正，扭轉(zhuǎn)變形為α（y），迎風(fēng)抬頭為正；機翼為等截面，其彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度分別為EI和GJ，均為常數(shù)；機翼的彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)階數(shù)分別為Nw和Nα，機翼彎曲振型和扭轉(zhuǎn)振型函數(shù)分別為ψi（y）和φi（y）；Sα=mxαb為單位展長機翼對彈性軸的質(zhì)量靜矩，Iα=mr2αb2為單位展長機翼對彈性軸的質(zhì)量慣性矩。

通過推導(dǎo)得到系統(tǒng)勢能和動能的表達(dá)式，以及系統(tǒng)做的虛功，利用拉格朗日方程得到模態(tài)坐標(biāo)下機翼的運動方程為:

其中:

式中，i=1，2，…，Nw；j=1，2，…，Nα。

大展弦比均勻直機翼彎曲振型和扭轉(zhuǎn)振型的函數(shù)表達(dá)式為［1］:

其中:

單位展長二元機翼所受氣動力為［4］:

由模態(tài)轉(zhuǎn)換和模態(tài)振型函數(shù)之間的正交性，可得系統(tǒng)氣動力表達(dá)式為:

其中:

2 銳邊突風(fēng)的影響

模態(tài)坐標(biāo)下銳邊突風(fēng)氣動力和力矩表達(dá)式可以

寫為如下形式［5］:

式中，ψ（s）=1－e－0.13s/2－e－s/2為 Kussner函數(shù)。將式（2）和式（3）代入式（7）和式（8）得到:

上式即為銳邊突風(fēng)QG=［LGTG］T的表達(dá)式。在研究系統(tǒng)響應(yīng)時，需要將系統(tǒng)表達(dá)在時域空間中，系統(tǒng)中Theodorsen函數(shù)C（k）的Wagner近似形式見文獻(xiàn)［6］。

引入空氣動力狀態(tài)變量后單位展長機翼非定常氣動力可重新表達(dá)為:

式中，δ=1 －δ1－δ2。

在模態(tài)坐標(biāo)下xa滿足自身運動的狀態(tài)空間表達(dá)式為:

其中:

這樣，系統(tǒng)運動方程可重新表達(dá)為:

式中的空氣動力相關(guān)矩陣重新寫為:

建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程如下:

3 仿真分析

本文采用的機翼參數(shù)為:xα=0.4，a=－0.2，m=（19.6/l）kg/m，l=1 m，b=0.0915 m，Iα=0.1236 kg·m2，EI=35.96 N·m2，GJ=25.94 N·m2，引入人工結(jié)構(gòu)阻尼g，令q=eiωt，通過V-g法求解系統(tǒng)的顫振速度，取系統(tǒng)二階彎曲和二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)，仿真結(jié)果如圖2所示。由圖2可以看出，一階扭轉(zhuǎn)先出現(xiàn)發(fā)散，計算得到系統(tǒng)的顫振速度VF=33.2 m/s，顫振頻率為fF=3.15 Hz。

由于系統(tǒng)一階扭轉(zhuǎn)先出現(xiàn)發(fā)散，因此取一階彎曲和一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)研究銳邊突風(fēng)對系統(tǒng)氣動彈性響應(yīng)的影響，突風(fēng)速度wG=2 m/s，仿真初始條件為x0= [0 0 0.01 0.2 0 0]T，響應(yīng)結(jié)果如圖3～圖5所示。從圖中可以看出，加入銳邊突風(fēng)后，V＜VF時系統(tǒng)為收斂振蕩，V=VF時系統(tǒng)為等幅振蕩，V＞VF時系統(tǒng)為發(fā)散振蕩。可以得出VF并未改變，而系統(tǒng)的響應(yīng)振幅變大。從系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程出發(fā)，影響系統(tǒng)VF的因素主要由A的特征值決定。當(dāng)加入突風(fēng)后，其特征值并未改變；從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)出發(fā)，突風(fēng)并未改變系統(tǒng)本身的機構(gòu)參數(shù)，加入突風(fēng)相當(dāng)于給了系統(tǒng)一個外加的擾動力，因此系統(tǒng)響應(yīng)只是振幅改變。

圖2 系統(tǒng)顫振示意圖（Nw=2，Nα=2）

圖3 V=0.99VF時加入突風(fēng)后的翼尖響應(yīng)

圖4 V=VF時加入突風(fēng)后的翼尖響應(yīng)

圖5 V=1.01VF時加入突風(fēng)后的翼尖響應(yīng)

4 結(jié)束語

本文以大展弦比直機翼為對象，基于非定常氣動力理論建立了系統(tǒng)的氣動彈性運動方程，并取二階彎曲和二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)求得系統(tǒng)的顫振速度。建立了彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)階數(shù)為Nw和Nα下的系統(tǒng)狀態(tài)方程，研究了銳邊突風(fēng)分別在小于、等于和大于顫振速度下對系統(tǒng)的氣動彈性響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，銳邊突風(fēng)增大了系統(tǒng)響應(yīng)的振幅。整個系統(tǒng)的建模過程對下一步研究飛行器突風(fēng)響應(yīng)有一定的參考意義。

［1］趙永輝.氣動彈性力學(xué)與控制［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.

［2］Kargarnovin M H，Mamandi A.Aeroelastic response for pure plunging motion of a typical section due to sharp edged gust using jones approximation aerodynamics［J］.World Academy of Science，Engineering and Technology，2007，36（1）:154-161.

［3］Haddadpour H，Shams S，Kheiri M.Sharp edge gust effects on aeroelastic behavior of a flexible wing with high aspect ratio［R］.AIAA-2005-838，2005.

［4］Theodorsen T.General theory of aerodynamic instability and the mechanism of flutter［R］.National Advisory Commission for Aeronautics，NACA-TR-496，1949.

［5］Earl H D.A modern course in aeroelasticity［M］.Kluwer Academic Publishers，1995.

［6］Sutherland A N.A demonstration of pitch—plunge flutter suppression using LQG control［R］.ICAS2010，2010.