蘇義鑫，張 麗，藍 天

(1.武漢理工大學自動化學院，湖北 武漢 430070;2.華中科技大學電氣與電子工程學院，湖北 武漢 430074)

磁力軸承是典型的機電一體化非線性系統(tǒng)，動態(tài)性能較復雜。一般在平衡點附近進行線性化處理，然后再根據(jù)線性化系統(tǒng)的方法設計控制器[1－2]。傳統(tǒng)的系統(tǒng)辨識方法是通過建立對象的參數(shù)模型，把辨識問題轉化為參數(shù)的估計問題。這類算法成功地應用于線性系統(tǒng)或可線性化系統(tǒng)的辨識。文獻[3]的遞推最小二乘估計算法、文獻[4]的單純形法都是將磁力軸承模型線性化，得出依賴于參數(shù)的二階模型，然后由實際系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)辨識出該模型的參數(shù)。但線性化模型與實際模型存在誤差，當轉子大范圍工作時，可能導致控制失敗。針對該問題，將神經(jīng)網(wǎng)絡技術應用于磁力軸承系統(tǒng)辨識與控制，文獻[5]和文獻[6]采用BP算法對磁力軸承系統(tǒng)進行辨識，取得了不錯的效果。但神經(jīng)網(wǎng)絡仍有一些不易解決的難題，如隱層節(jié)點數(shù)的選擇、過學習和訓練過程中存在局部極小等。

從理論上講，支持向量機因采用了二次規(guī)劃尋優(yōu)，故可以得到全局最優(yōu)解，解決了在神經(jīng)網(wǎng)絡中無法避免的局部極小問題;由于采用了核函數(shù)，巧妙解決了維數(shù)問題，使得算法復雜度與樣本維數(shù)無關，非常適合于處理非線性問題[7－9];另外，支持向量機應用了結構風險最小化原則，具有非常好的推廣能力。因此，筆者采用支持向量機回歸理論對系統(tǒng)的非線性模型進行辨識。通過對磁力軸承系統(tǒng)的仿真實驗，驗證了該方法的有效性，為磁力軸承控制器的設計打下基礎。

1 支持向量機回歸原理

1.1 支持向量機回歸算法

支持向量機是VAPNIK提出的一種基于統(tǒng)計學習和結構風險最小化原理的新型學習機[10]。其基本思想是基于最小化VC維的上界來控制用于擬合函數(shù)的樣本容量，具有良好的泛化能力。假設辨識系統(tǒng)的輸入輸出樣本集為:

回歸問題就是求取一個回歸函數(shù):

使得對于任何輸入x，都能夠在精度范圍內(nèi)找到對應的輸出y。并且滿足期望風險函數(shù)最小，即:

其中，c(·)為損失函數(shù)。筆者采用ε不敏感損失函數(shù)。

它意味著不懲罰偏差小于ε的誤差項，可以增加回歸的魯棒性?；貧w問題可以轉化為最優(yōu)化問題，利用拉格朗日函數(shù)和對偶定理[11]可以得到對偶問題:

這里C為懲罰系數(shù)，ε為不敏感系數(shù)。該問題是凸二次規(guī)劃問題，設是式(4)的任意解，若α*中有取值在開區(qū)間(0，C)的分量，根據(jù)α*的值可以計算出(ω，b)的解。故可求出回歸函數(shù):

對于非線性問題，首先利用一個非線性映射Φ把訓練數(shù)據(jù)映射到一個高維特征空間H，然后在這個空間建立一個線性回歸函數(shù)，即:

經(jīng)過推導，變換Φ在算法中的作用可通過內(nèi)積來實現(xiàn)。故可采用核函數(shù)計算特征空間的內(nèi)積:

目前，核函數(shù)及其參數(shù)的選擇大都根據(jù)經(jīng)驗來選取。最常使用的核函數(shù)有以下幾種:

(1)d階多項式核函數(shù):

(2)徑向基核函數(shù):

(3)Sigmoid核函數(shù):

故非線性回歸函數(shù)可以表示為:

支持向量機在形式上與神經(jīng)網(wǎng)絡非常相似，它的輸出是若干個中間層節(jié)點的線性組合，而每個中間層節(jié)點對應于一個輸入樣本和一個支持向量的內(nèi)積。支持向量機示意圖如圖1所示。

1.2 支持向量機系統(tǒng)辨識原理

由于被控對象的數(shù)學模型未知，必須根據(jù)被控對象的輸入輸出數(shù)據(jù)集，用SVM來對其動態(tài)行為建模。通常，離散系統(tǒng)第k+1時刻的輸出可表示為之前n個輸出和m個輸入的函數(shù)，即:

圖1 支持向量機示意圖

其中，擬合因子 x(k)=[y(k)，…，y(k－n+1);u(k)，…，u(k－m+1)]T，x∈Rm+n;在第 k+1時刻，SVM給出y(k+1)的估計值:為設計SVM辨識器，首先建立訓練樣本集T:

然后確定SVM中的核函數(shù)和懲罰參數(shù)。用樣本集T來訓練SVM。訓練后的SVM模塊可作為模型來描述被控系統(tǒng)的動力學行為。

2 磁力軸承系統(tǒng)辨識仿真

2.1 磁力軸承的數(shù)學模型

一個單自由度磁力軸承系統(tǒng)的組成及功能如圖2所示。系統(tǒng)主要由電磁鐵、轉子、轉子位置傳感器、位置控制器和功率放大器幾個部分組成。轉子在任一時刻的位置信號都由位移傳感器獲得，這個信號經(jīng)過相應的前置處理后送到控制器，同時與設定的信號比較后產(chǎn)生誤差信號，該誤差信號經(jīng)過控制理論或給定的控制策略變成矯正信號，再通過功率放大器放大后變成足夠的電流或電壓輸出，以驅動電磁鐵產(chǎn)生相應的恢復力，使轉子重新回到平衡位置，從而實現(xiàn)轉子在無接觸狀態(tài)下的穩(wěn)定懸浮。通常，每個自由度有一對電磁鐵在工作，采用差動工作方式，一個磁極對以偏置電流i0與控制電流i之和(i0+i)激磁，而另一個則利用二者之差(i0－i)激磁。改變控制電流，則可改變兩個電磁鐵產(chǎn)生的吸引力大小，使轉子穩(wěn)定地懸浮在平衡位置。

圖2 單自由度磁力軸承組成及功能簡圖

理論證明磁力軸承所產(chǎn)生的力為:

式中:k=μ0Aln2/4，μ0為真空中的磁導率，Al為磁極的截面積，n為線圈的匝數(shù);i0為平衡位置的偏置電流;s0為轉子在平衡位置時的氣隙大小;i為控制電流;x為轉子偏離平衡位置的位移，其方向垂直向上。

由牛頓定律得轉子的運動方程為:

式中:m為轉子的質量;¨x為轉子的加速度;p為轉子受到的擾動力。

2.2 系統(tǒng)辨識仿真

為使支持向量機解決控制問題，筆者采用典型的辨識結構如圖3所示。圖3中，u為被控對象輸入，即輸入電流;y為被控對象的實際輸出，即轉子位移;e為辨識器輸出與實際輸出之間的偏差，即辨識誤差，它取決于SVM的近似能力。

圖3 基于SVM的辨識結構

磁力軸承具有負剛度和零阻尼，在開環(huán)狀態(tài)下不能穩(wěn)定工作，輸入輸出數(shù)據(jù)必須在閉環(huán)狀態(tài)下采集。PID控制器的控制性能雖不理想，但能夠使轉子在平衡位置附近一定范圍內(nèi)穩(wěn)定懸浮，因此可以在PID控制器的控制下采集樣本數(shù)據(jù)集。采用的PID參數(shù)為:kp=2.5，ki=312.5，kd=0.015。通過式(10)和式(11)產(chǎn)生輸出位移y(t)。為保證被辨識系統(tǒng)持續(xù)充分激勵，且所建模型具有較好的泛化能力，閉環(huán)系統(tǒng)運行一段時間后，在磁力軸承轉子位移不發(fā)散的前提下在PID控制器的輸出端加入一個隨機擾動量r。這里，選擇均方差為0.01的高斯白噪聲作為隨機擾動量。

閉環(huán)磁力軸承系統(tǒng)框圖如圖4所示。加入幅值為410的階躍輸入(該幅值對應于推力盤離開平衡位置0.1 mm的數(shù)字量)。根據(jù)對象的輸入輸出數(shù)據(jù)集，用SVM來對其動態(tài)行為建模。通過實驗產(chǎn)生200組樣本點(ui，yi)。圖5為對象輸入電流u(t)采樣集。

圖4 閉環(huán)磁力軸承系統(tǒng)

圖5 對象輸入電流采樣集

因磁力軸承系統(tǒng)是二階系統(tǒng)，故可采用擬合因子:x(k)=[y(k)，y(k－1)，u(k)，u(k－1)]T，可得200個訓練樣本[x(k)，y(k+1)]，將訓練樣本集分成兩部分，選80個樣本用來訓練，剩下的120個樣本用來測試訓練后的SVM性能。筆者采用基于Matlab平臺下的Libsvm仿真。

仿真實驗中核函數(shù)根據(jù)先驗經(jīng)驗采用徑向基核函數(shù)，通過網(wǎng)格尋優(yōu)法[12]選擇最優(yōu)的懲罰參數(shù)和核參數(shù)，C=32，σ =0.03，訓練誤差 ε=0.001。圖6為SVM輸出測試集的擬合，最小均方根誤差只有0.007。由圖6可見，訓練過的SVM能夠產(chǎn)生與測試值基本相同的輸出，其擬合的誤差范圍在 10－5級上。

為對比辨識效果，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡對相同的訓練樣本和測試樣本進行系統(tǒng)辨識和預測，取4－20－1的結構，隱含層為Tansig函數(shù)，輸出層為線性函數(shù)，訓練函數(shù)選trainbfg，仿真的結果如圖7所示。從圖7中可以看出，SVM的擬合效果比BP算法的擬合效果好，誤差相差小。BP算法可能存在過擬合。

再增加10倍的采樣頻率，再次采樣對200組數(shù)據(jù)集進行擬合，發(fā)現(xiàn)SVM的擬合精確度更高。如圖8所示。跟隨誤差數(shù)量級在10－7以上。因此，可用該SVM辨識模型作為磁力軸承模型進行控制器的設計或者以其為基礎調(diào)整磁力軸承PID控制器的參數(shù)。

圖6 SVM輸出測試集擬合

圖7 BP輸出測試集擬合

圖8 高頻時SVM輸出測試集擬合

3 結論

支持向量機是一種新的機器學習方法。它較好地解決了傳統(tǒng)學習方法中的小樣本、非線性、高維數(shù)、局部極小點等實際問題，具有很強的泛化能力。將支持向量機應用于磁力軸承系統(tǒng)的辨識，并進行仿真實驗研究，仿真結果顯示該SVM模型能較好地擬合輸出位移，證明了該辨識方案的可行性和有效性。

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