周 偉，田紅旗

(中南大學(xué)軌道交通安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410075)

金屬絞線由多股金屬絲絞捻而成，其應(yīng)用場(chǎng)合依絞線的金屬材料不同而不同:鋼絞線結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于鐵路橋梁、公路橋梁、房屋建筑等預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu);銅合金絞線在鐵路電氣化系統(tǒng)中用作接觸網(wǎng)的重要承載部件［1］，如接觸懸掛結(jié)構(gòu)的承力索、吊弦、彈性吊索和中心錨結(jié)繩等。金屬絞線產(chǎn)品從設(shè)計(jì)、加工到應(yīng)用，其結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為預(yù)測(cè)及精確數(shù)值模擬一直是工程領(lǐng)域關(guān)注的重點(diǎn)和難點(diǎn)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)性能的不斷提高，通過有限元法可實(shí)現(xiàn)對(duì)金屬絞線力學(xué)行為的精確模擬。然而，在整體結(jié)構(gòu)分析中，作為子部件若將絞線結(jié)構(gòu)采用空間實(shí)體單元精細(xì)離散，數(shù)值求解規(guī)模勢(shì)必會(huì)驚人，傳統(tǒng)做法一般將絞線截面折合成單圓勻質(zhì)桿件進(jìn)行計(jì)算，而實(shí)際上絞線為柔性結(jié)構(gòu)，其截面慣性矩要比等截面積勻質(zhì)圓桿?。?］，且同等載荷水平下絞線中心股線與纏繞股線的應(yīng)力各不相同，因此，有必要對(duì)金屬絞線的力學(xué)特性進(jìn)行深化研究，以構(gòu)造一種既能精確模擬絞線力學(xué)行為，又能最大程度減縮求解自由度的有限元模型。

國內(nèi)外對(duì)絞線力學(xué)行為分析和數(shù)值仿真技術(shù)研究有很多報(bào)導(dǎo)。Jiang［3－7］等通過精確模擬相鄰層絞線邊界條件，提出了一種綜合考慮拉伸、剪切、彎曲和扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的有限元模型，分析結(jié)果與Constello［8］理論計(jì)算結(jié)果較吻合;Ghoreishi等［9］采用三維有限元法對(duì)承受靜態(tài)軸向載荷的七芯絞線彈性行為進(jìn)行了研究;Stanova等［10－11］提出了基于可變參數(shù)方程的任意多股絞線模型自動(dòng)生成算法，通過六面體單元結(jié)構(gòu)網(wǎng)格離散和線間面－面接觸定義對(duì)模型進(jìn)行了有限元分析;Usabiaga等［12］基于Love彈性細(xì)桿理論和絲間無相對(duì)滑移假設(shè)，提出了拉伸和扭轉(zhuǎn)載荷作用下的新型絞線建模及分析方法;Elata等［13］充分考慮絞線各絲的雙螺旋結(jié)構(gòu)導(dǎo)致相關(guān)絞線絲應(yīng)力水平對(duì)整體承載水平的影響，構(gòu)造的模型可用于估計(jì)絲間相互作用力、絞線剛度和強(qiáng)度等參數(shù);王應(yīng)軍等［14］引入形狀系數(shù)的概念，從理論上對(duì)鋼絞線的彈性模量表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo)，并分析了鋼絞線彈性模量的影響因素。針對(duì)有限元分析特點(diǎn)，本文略去絞線結(jié)構(gòu)的CAD建模過程，采用分段等間距截面軌跡節(jié)點(diǎn)掃略和滾動(dòng)節(jié)點(diǎn)—梁?jiǎn)卧成渲苯由山g線有限元拓?fù)淠Ｐ?，基于彈性理論和幾何協(xié)調(diào)分別對(duì)拉伸和彎曲載荷作用下單股絞線結(jié)構(gòu)纏繞股線節(jié)點(diǎn)和中心股線節(jié)點(diǎn)的位移約束方程進(jìn)行了推演和推廣，并通過具體算例對(duì)擴(kuò)展模型進(jìn)行驗(yàn)證。

1 模型建立

金屬絞線從結(jié)構(gòu)上可分為中心股線和螺旋纏繞股線2部分。中心股線軸線與絞線軸線重合，纏繞股線則以一定的螺旋角纏繞在其內(nèi)層股線外側(cè)，相鄰層股線左右螺旋方向相反，以抵消同向纏繞給絞線帶來的單向扭轉(zhuǎn)。金屬絞線通常以股數(shù)、股徑及捻距等參數(shù)來區(qū)分，常見的絞線類型有單股1×7絞線、雙股1×19絞線和3股1×37絞線。本文以單股1×7絞線作為研究對(duì)象，并將研究結(jié)論推廣到多股絞線模型。

定義纏繞股線軸心螺旋軌跡線為纏繞邊絲，中心股線軸心軌跡線為中心絲，同時(shí)定義中心股線上某點(diǎn)處的法向平面為絞線結(jié)構(gòu)在該點(diǎn)處的法向面?？紤]1個(gè)捻距的絞線結(jié)構(gòu)，采用足夠密集的等間距絞線法向面截取各絲，可獲得中心絲和各纏繞邊絲的軌跡點(diǎn)，將這些軌跡點(diǎn)定義為有限元離散節(jié)點(diǎn)，并在相鄰截面的相應(yīng)軌跡節(jié)點(diǎn)之間創(chuàng)建圓形截面梁?jiǎn)卧?，所得到的?jié)點(diǎn)－梁?jiǎn)卧Ｐ图礊榻g線結(jié)構(gòu)的有限元分析模型，該模型能夠精確模擬絞線的幾何特征，如圖1所示。

圖1 絞線模型的分段軌跡節(jié)點(diǎn)掃略和節(jié)點(diǎn)－梁?jiǎn)卧成銯ig.1 Sectional path－node sweeping and node－beam mapping

記單股絞線捻距為p，中心股線直徑為dc，纏繞股線直徑為dh1，纏繞股數(shù)為m=6，擬合軌跡節(jié)點(diǎn)截面數(shù)為n。以絞線端部中心絲節(jié)點(diǎn)為原點(diǎn)建立總體笛卡爾坐標(biāo)系，oz軸沿中心絲軸向，O－xy平面與端部截面相重合，如圖2所示。

圖2 1×7絞線模型幾何參數(shù)Fig.2 Geometrical parameters of seven－wire strand model

初始化端部截面內(nèi)各絲軌跡節(jié)點(diǎn)的極坐標(biāo)值，中心絲節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，邊絲節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為 (r，φj)，其中r為纏繞股線軸心圓柱半徑，且r=(dc+dh1)/2。

纏繞邊絲j在第k(k=1～n)個(gè)截面內(nèi)的軌跡節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為:

由于纏繞邊絲節(jié)點(diǎn)與中心絲節(jié)點(diǎn)無幾何約束，受力狀態(tài)下必定會(huì)呈現(xiàn)兩者變形的不相關(guān)，因此，必須建立不同受力狀態(tài)下纏繞邊絲與中心絲軌跡節(jié)點(diǎn)的幾何約束方程，以準(zhǔn)確描述絞線結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性及幾何協(xié)調(diào)性。子約束方程的施加對(duì)象為纏繞邊絲節(jié)點(diǎn)、同截面及相鄰截面中心絲節(jié)點(diǎn)，為保證節(jié)點(diǎn)、單元及相應(yīng)節(jié)點(diǎn)約束方程的一一對(duì)應(yīng)，有限元模型必須采取滾動(dòng)映射的方式生成，流程如下。

(1)參數(shù)初始化。捻距p、中心股線直徑dc、纏繞股線直徑dh1、擬合截面數(shù)n等。

(2)端部截面定義。端部截面軌跡節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)初始化并創(chuàng)建該節(jié)點(diǎn)及其子約束方程。

(3)遍歷截面i=2～n，同時(shí)建立該截面中心絲軌跡節(jié)點(diǎn)，并定義該節(jié)點(diǎn)與第(i－1)截面對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)之間的梁?jiǎn)卧?/p>

(4)遍歷各纏繞邊絲j=1～6。計(jì)算截面i內(nèi)纏繞邊絲軌跡節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(xj(k)，yj(k)，zj(k))并創(chuàng)建相應(yīng)節(jié)點(diǎn)及其子約束方程，定義該節(jié)點(diǎn)與第(i－1)截面對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)之間的梁?jiǎn)卧?/p>

(5)截面遍歷是否結(jié)束，否則，轉(zhuǎn)到第(3)步。

對(duì)多股絞線結(jié)構(gòu)，式(1)中第i層纏繞股線的參數(shù)r取該股線軸心圓柱半徑，并對(duì)其軌跡節(jié)點(diǎn)x、y坐標(biāo)的角度變量取反即可保證相鄰層股線螺旋方向相反。

絞線結(jié)構(gòu)有限元分析模型建立的難點(diǎn)是相鄰層股線之間幾何約束方程的準(zhǔn)確描述，下面將對(duì)此展開論述。

2 約束條件

絞線股間幾何約束方程的推導(dǎo)基于以下假設(shè):絞線整體承受軸向拉伸載荷時(shí)，絞線相對(duì)其軸線不發(fā)生相對(duì)扭轉(zhuǎn)，摩擦條件下股線之間無自由滑移;絞線整體承受純彎曲載荷時(shí)，同一截面纏繞邊絲節(jié)點(diǎn)與中間絲節(jié)點(diǎn)相對(duì)位置保持不變，摩擦條件下股線間無自由滑移，股間絞線變形滿足位移協(xié)調(diào)。

下面將分別對(duì)軸向和彎曲變形情況下單股絞線股間幾何約束方程進(jìn)行推導(dǎo)，并將結(jié)論直接推廣至多股絞線結(jié)構(gòu)。

2.1 軸向變形股間幾何約束方程

在同等軸向拉伸載荷作用下，絞線各股將互不干擾地沿其軸線方向伸長。由于材料的泊松效應(yīng)，中心股線和纏繞股線的分布圓柱直徑以及絞線總體直徑均會(huì)發(fā)生變化，且兩者的軸向應(yīng)變滿足線性關(guān)系。

假定各股線材料泊松比v均相同，中心股線軸向應(yīng)變?yōu)棣與，纏繞股線軸向應(yīng)變?yōu)棣舎1，幾何參數(shù)定義與前文同。根據(jù)泊松比定義，絞線受力后中心股線和纏繞股線的直徑分別變?yōu)?1－vεc)·dc和(1－vεh1)·dh1，纏繞股線變形前后的長度分別為:

纏繞股線的軸向應(yīng)變可表示為:

由式(2)和(3)得:

其中:兩者的應(yīng)變比系數(shù)kh1為:

以絞線端部截面中心點(diǎn)為原點(diǎn)建立總體笛卡爾坐標(biāo)系，oz軸沿中心股線軸向，O－xy平面與端部截面重合，同時(shí)在該坐標(biāo)系原點(diǎn)處建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系坐標(biāo)軸重合。節(jié)選1個(gè)捻距的中心股線和單根纏繞股線，取纏繞邊絲某節(jié)點(diǎn) P(rP，θP，zP)、同截面中心絲節(jié)點(diǎn)Ok(0，0，zP)及相鄰截面中心絲節(jié)點(diǎn) Ok－1(0，0，zk－1)為分析對(duì)象，如圖 3 所示。

圖3 拉伸變形下坐標(biāo)系定義及分析對(duì)象選取Fig.3 Coordinate system and analytical targets in axial tension

根據(jù)假設(shè)，對(duì)象節(jié)點(diǎn)的極坐標(biāo)位移向量分別記為 P(ΔrP，ΔθP，ΔzP)，Ok(0，0，Δzk) 和 Ok－1(0，0，Δzk－1)，則節(jié)點(diǎn) P 的極點(diǎn)位移為:

中心股線軸向應(yīng)變可表示為:

結(jié)合式(4)，節(jié)點(diǎn)P的極坐標(biāo)位移可表示為:

通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，節(jié)點(diǎn)P的總體位移向量為:

式(6)即為軸向變形下單股絞線股間幾何約束方程。對(duì)多股絞線結(jié)構(gòu)，記第i層纏繞股線直徑為dhi，捻距為pi，該層纏繞股線與中心股線的應(yīng)變比系數(shù)記為khi，該層纏繞股線軸心圓柱直徑記為:

修正應(yīng)變比系數(shù)khi，得:

第i層纏繞股邊絲節(jié)點(diǎn)、同截面與相鄰截面中心絲節(jié)點(diǎn)的位移約束方程與式(6)形式相同，僅需對(duì)系數(shù)Cax修正如下:

2.2 彎曲變形股間幾何約束方程

在絞線純彎曲狀態(tài)下，中心股線的變形滿足初等力學(xué)平面截面假設(shè)，纏繞股線的變形必須與中心股線相協(xié)調(diào)，單股絞線股間幾何約束關(guān)系也是基于這一原則進(jìn)行推導(dǎo)。

選取絞線端部截面中心點(diǎn)建立總體笛卡爾坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸方向定義與前面的相同。取纏繞邊絲某節(jié)點(diǎn)P、同截面及相鄰截面中心絲節(jié)點(diǎn)I和J為分析對(duì)象，在繞x軸彎矩Mx作用下，各節(jié)點(diǎn)位置分別記為P'、I'及J'，絞線彎曲曲率中心記為Ol，曲率半徑記為ρ，如圖4所示。

根據(jù)假設(shè)及幾何協(xié)調(diào)條件，純彎曲下節(jié)點(diǎn)P'、I'與曲率中心點(diǎn)ol在同一直線上，且節(jié)點(diǎn)P'與I'相對(duì)位置保持不變。

圖4 純彎曲狀態(tài)下絞線的幾何協(xié)調(diào)Fig.4 Geometrical compatibility of wire strand under bending

以曲率中心ol為原點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系ol－ylzl，olP'與olzl軸夾角記為α，節(jié)點(diǎn)I'、J'所在直線與oz軸夾角記為β，擬合截面數(shù)n足夠大的情況下可以認(rèn)為節(jié)點(diǎn)I'和J'所在直線為彎曲弧在點(diǎn)I'處的切線，因此，有 α +β =90°。

記節(jié)點(diǎn)P的總體坐標(biāo)為(xP，yP，zP)，則節(jié)點(diǎn)I'，P'的局部坐標(biāo)分別為:

在自然狀態(tài)下，有:

由于總體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系平行，對(duì)象節(jié)點(diǎn)的局部位移關(guān)系可直接轉(zhuǎn)換到總體坐標(biāo)系，由式(7)～(8)得:

另一方面，點(diǎn)I'處切線與oz軸夾角β滿足

事實(shí)上，相鄰截面中心絲節(jié)點(diǎn)的位移差要遠(yuǎn)小于相鄰截面距離，即ΔzI?ΔzJ＜＜ p/(n–1)，加之絞線小位移變形情況下β為極小角，故有:

結(jié)合式(9)和(10)，并考慮節(jié)點(diǎn)P在x方向的位移，可得純彎曲變形下單股絞線股間幾何約束方程為:

其中:

若彎矩載荷繞y軸方向，則約束方程僅需調(diào)換式(11)中變量’x’和’y’即可。對(duì)多股絞線結(jié)構(gòu)，記第i層纏繞股線捻距為pi，擬合截面數(shù)為ni，該層纏繞股線節(jié)點(diǎn)位移約束方程與(11)形式相同，僅需對(duì)系數(shù)Cbd修正如下:

3 算例分析

本文的模型算法及求解分析均在大型有限元分析軟件ANSYS11.0中進(jìn)行。由于絞線模型采用分段截面梁?jiǎn)卧M，足夠擬合精度下相鄰截面之間的梁?jiǎn)卧哂写髲娇绫?，因此，單元類型選擇基于經(jīng)典Timoshenko梁理論的Beam188單元，該單元綜合考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并對(duì)撓度與截面轉(zhuǎn)角各自獨(dú)立插值［15］。

將模型各節(jié)點(diǎn)子約束方程進(jìn)行組集，可得到整體模型的多自由度系統(tǒng)約束方程Au=b。為施加約束條件，引入拉格朗日乘子λ構(gòu)造變分，形成泛函:

其中:K為結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣;f為總體載荷列陣。

泛函L(u，λ)分別對(duì)函數(shù)u和λ取極值，得到系統(tǒng)求解方程的矩陣形式為:

通過求解方程(13)，即可得到不同載荷工況下各節(jié)點(diǎn)位移。

為驗(yàn)證本文方法，模型的選取參照文獻(xiàn)［8］，軸向拉伸工況分析對(duì)象為雙股1×19絞線，水平彎曲工況分析對(duì)象為單股1×7絞線，分析對(duì)象的材料及幾何參數(shù)與文獻(xiàn)［8］的相同，如表1所示。

表1 不同工況絞線材料及幾何參數(shù)定義Table 1 Material and geometry parameters definition

雙股1×19絞線內(nèi)外層纏繞股以相反螺旋纏繞，兩層纏繞股線捻距相同，采用分段截面軌跡節(jié)點(diǎn)掃略和滾動(dòng)單元映射，創(chuàng)建一個(gè)捻距長度的雙股絞線三維有限元模型如圖5所示。

圖5 單捻距長度雙股絞線有限元模型Fig.5 Finite element model of 1 × 19 strand of a pitch length

軸向拉伸計(jì)算工況下，對(duì)雙股絞線端部截面節(jié)點(diǎn)施加全約束，并在他端中心節(jié)點(diǎn)處施加軸向拉伸力T;水平彎曲計(jì)算工況下，對(duì)單股絞線兩端中心節(jié)點(diǎn)施加垂向約束，并在絞線中部截面中心絲節(jié)點(diǎn)處施加垂向集中力。端部軸向拉伸力T從50～400 kN變化，雙股絞線的軸向伸長量變化如圖6(a)所示;中部垂向集中力Fy從100～1000 N變化，中部垂向撓度變化如圖6(b)所示。

圖6 分析結(jié)果與Costello理論計(jì)算值的比較Fig.6 Analytical results comparison;the suggested FEA model，theory of Costello

端部軸向拉伸力T=400 kN時(shí)，雙股絞線的軸向伸長量為1.3728 mm，Costello理論計(jì)算值為1.3969mm，兩者相對(duì)誤差為1.72%;中部垂向集中力Fy=1000 N時(shí)，單股絞線中部垂向撓度為6.326 mm，Costello理論計(jì)算值為 6.745 mm，兩者相對(duì)誤差為6.21%。不同計(jì)算工況下兩者的變形情況如圖7所示。

圖7 端部軸向拉伸和水平彎曲計(jì)算工況下絞線變形圖Fig.7 Deformation map of wire strand in axial tension and pure bending

4 結(jié)論

(1)采用分段截面軌跡節(jié)點(diǎn)掃略和滾動(dòng)梁?jiǎn)卧成錁?gòu)造了多股絞線有限元分析模型的自動(dòng)生成算法。

(2)基于材料彈性理論和幾何協(xié)調(diào)創(chuàng)建了軸向拉伸和水平彎曲變形情況下單股絞線的股間幾何約束方程，并推廣到了多股絞線結(jié)構(gòu)。

(3)基于Timoshenko梁理論和Lagrange乘子法對(duì)單捻距雙股和單股絞線結(jié)構(gòu)進(jìn)行了多工況有限元分析，并與Costello理論值進(jìn)行了比較，橫向拉伸和水平彎曲變形下兩者相對(duì)誤差分別為1.72%和6.21%。結(jié)果表明，該有限元分析模型能夠精確模擬多股絞線的力學(xué)特性，為接觸網(wǎng)承力索等金屬絞線結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析提供了一種簡(jiǎn)單有效的理論模型和方法。

(4)純彎曲情況下絞線股間幾何約束方程基于小變形假設(shè)而創(chuàng)建，因此有必要在下一步工作中對(duì)大位移變形下的絞線股間幾何協(xié)調(diào)機(jī)制進(jìn)行深入研究。

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