劉美華,劉慧

(1.湖南工程學(xué)院 工程訓(xùn)練中心,湖南 湘潭 411104;2.湖南師范大學(xué) 物理與信息科學(xué)學(xué)院,湖南 長沙410081)

小波分析在圖像處理中有著廣泛的應(yīng)用，近年來，基于小波閾值的圖像去噪主要是使用單個小波變換對圖像進行處理。小波變換的一個特點是小波基的多樣性。選擇使用多個小波基來處理圖像,既保持了單小波的諸多優(yōu)點,又克服了其缺陷，而且可以把小波十分重要的光滑性、緊支性、正交性、對稱性等完美地結(jié)合起來。在圖像處理中，這些特性具有很重要的作用。正交性對信號或者圖像重構(gòu)獲得較好的平滑效果非常有用。對稱性能夠避免移相。與緊支小波相對應(yīng)的濾波器是有限脈沖響應(yīng)FIR(Finite Impulse Response)濾波器，它能使得相應(yīng)的快速小波變換之和是有限的。光滑性對壓縮有著重要作用，因為如果小波不光滑，變換帶來的誤差很容易由視覺檢測出來。將這些優(yōu)點結(jié)合在一起，使用多個小波基分別對含噪圖像進行處理得到多幅重構(gòu)圖像，然后對這些圖像進行算術(shù)平均，得到最終去噪圖像。

1 小波閾值去噪

1.1 閾值求法

1992年，Donoho和Johnstone提出了小波閾值收縮方法(Wave Shrink)，此法在最小均方誤差意義下可達近似最優(yōu)，且能取得較好的視覺效果，因而得到了深入研究和廣泛應(yīng)用。目前已提出了多種閾值選取方法，有DJ閾值、Sure閾值、Penalized閾值和 Bayesian閾值方法[1-4]。DJ閾值依賴于采樣點數(shù)目,而且數(shù)量通常過大。因為采用的是單一閾值，所以會造成各自的去噪不平衡。Sure閾值是一種基于Stein無偏/似然估計原理的自適應(yīng)閾值。給定一個閾值t，得到它的似然估計，再將非似然t最小化就可得到所選閾值[5]。該方法是一種軟閾值估計器。Bayesian閾值是通過 Bayesian似然估計最小化推導(dǎo)出來的，取得了較好的實驗效果。

本文采用Penalized閾值中的Birge-Massart懲罰函數(shù)方法，由小波系數(shù)選擇規(guī)則得到。閾值由極小化的懲罰規(guī)則得到[6]：

其中,c(k)是小波系數(shù)，按照絕對值遞減的順序存儲;σ是噪聲的標準差;α是調(diào)整參數(shù)，其值越大，降噪圖像的小波表示越稀疏，其典型值為2；n是小波系數(shù)的個數(shù)。設(shè)tmin是式(1)的極小值，那么閾值 T=|c(tmin)|。

1.2 閾值函數(shù)選擇

閾值化處理有軟閾值函數(shù)(Soft Threshold)與硬閾值函數(shù)(Hard Threshold)兩種[7]。其中軟閾值函數(shù)為:

硬閾值函數(shù)為：

其中，t是小波系數(shù)，T是閾值。軟閾值函數(shù)是將小波系數(shù)t與閾值T進行比較，然后根據(jù)比較的結(jié)果再向0收縮。硬閾值是使絕對值大于T的小波系數(shù)保留，其他置零。

通過實驗可知,在高斯噪聲水平低時，硬閾值去噪效果(以峰值信噪比為參考)一般優(yōu)于軟閾值。在噪聲水平達到臨界值(58 dB)以上時，軟閾值去噪效果優(yōu)于硬閾值。本文測試所加的噪聲水平范圍在5 dB～25 dB之間,因此采用硬閾值函數(shù)處理[8]。

2 小波基的選擇

現(xiàn)有的小波基函數(shù)主要分為半正交小波、正交小波、雙正交小波等幾類[9],常用的小波有 Daubechies正交小波系、基于B2樣條函數(shù)構(gòu)造的雙正交小波系、Mexh小波、Meyer小波等。不同小波基去噪效果與噪聲水平、圖像的特點等具體情況有關(guān)[10]。對于噪聲來說,在正交小波基下分解系數(shù)的分布范圍比在雙正交小波基下的分布范圍小。因而當噪聲水平低時,正交小波分解所保留的高頻系數(shù)對重構(gòu)去噪圖像的貢獻要比雙正交小波分解的貢獻大；當噪聲水平比較高時，由于雙正交小波分解系數(shù)分布的范圍比正交小波分解的范圍大，在大的閾值下所保留下來的系數(shù)含原圖像能量較多[11]。選擇小波基時,一般應(yīng)選擇不同系列、不同緊支集長度的小波基。數(shù)目越多，去噪效果越好，但計算量大、處理時間長,一般來說選3～5個小波基即可。本文選用sym13、coif5和dmey 3個小波基聯(lián)合進行圖像去噪。

3 算法步驟

多小波基聯(lián)合去噪的算法步驟如下。

(1)分別對原始圖像使用 sym13、coif5和 dmey 3個小波基作J次分解，本文選取J=2;

(2)針對每個小波基分解后的圖像高頻系數(shù)進行硬閾值處理，閾值由式(1)極小值得到;

(3)使用 sym13、coif5和 dmey 3個小波基分別進行圖像重構(gòu)，得到三幅重構(gòu)圖;

(4)將這三幅重構(gòu)圖進行算術(shù)平均,得到最終去噪圖像。

4 實驗結(jié)果

選用 512×512的 lena圖和 232×205的 tire圖來進行實驗。仿真環(huán)境為Matlab 7.0。分別對兩幅圖像加入噪聲水平為 5 dB、10 dB、15 dB、20 dB、25 dB 的高斯白噪聲,用MSE(均方誤差)和PSNR(峰值信噪比)來進行客觀評價：

表1和表2分別給出了在各種噪聲條件下應(yīng)用單一小波基去噪和應(yīng)用多小波基去噪的lena和tire圖像的均方誤差和峰值信噪比結(jié)果。

表1 單一小波去噪及多小波聯(lián)合去噪lena圖像的MSE及PSNR對比表

表2 單一小波去噪及多小波聯(lián)合去噪tire圖像的MSE及PSNR對比表

鑒于篇幅，只列出 σ=25時 lena和 σ=10時 tire的去噪效果比較圖，如圖1和圖2所示

從實驗結(jié)果可以看出，應(yīng)用sym11、coif5和 dmey三個小波基聯(lián)合去噪的結(jié)果比分別用這3個單小波去噪有絕對的優(yōu)勢。

從實驗結(jié)果可以看出,采用Birge-Massart懲罰函數(shù)閾值方法進行多小波基聯(lián)合去噪比單小波去噪在效果上大有改善。應(yīng)用單小波分別對閾值去噪重構(gòu)之后的圖像進行算術(shù)平均處理，得到的最終圖像的峰值信噪比只應(yīng)用單個小波提高許多。此法綜合了各小波基的優(yōu)點，且算法簡單，容易實現(xiàn)。

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