宋漢斌，張俊博，陳曉光，張建秋

（復(fù)旦大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200433）

1 引言

眾所周知，調(diào)制解調(diào)技術(shù)是通信系統(tǒng)中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。而傳統(tǒng)的PAM和PSK調(diào)制就是通過控制傳播信號(hào)的幅度或相位（頻率可以理解成一種特殊的相位）來進(jìn)行信息調(diào)制的技術(shù)，由于僅僅利用了傳播信號(hào)的幅度或相位，所以它們的自由度是一維的；在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的QAM調(diào)制解調(diào)技術(shù)，只不過是同時(shí)利用了傳播信號(hào)的幅度和相位，因此其自由度也只有二維。那么，是否可以進(jìn)一步的擴(kuò)展調(diào)制參數(shù)的自由度，進(jìn)而提高系統(tǒng)的性能呢？近年來，人們?cè)诠馔ㄐ胖校霉獾钠瘢O化）信息對(duì)光信號(hào)的三維調(diào)制進(jìn)行了一系列的研究[1～3]。但是，光通信的信源、信道和收發(fā)模型都與無線通信有所不同，因此有必要根據(jù)無線通信的特點(diǎn)，來研究和發(fā)展無線通信中三維調(diào)制的新方法。

早在 20世紀(jì)二三十年代，人們就開展了在調(diào)幅（AM）廣播中使用電磁波極化信息進(jìn)行調(diào)制的研究，其研究結(jié)果表明：利用極化調(diào)制可以獲得較高的載噪比[4]；人們通過引入雙極化天線，以極化分集代替空間分集進(jìn)行接收，可以使接收信號(hào)的增益提高3dB[5]。同時(shí)，文獻(xiàn)[6]討論了極化敏感陣列的濾波性能；文獻(xiàn)[7]研究了極化準(zhǔn)正交空時(shí)分組碼的性能。而矢量天線的發(fā)展也為人們更好地利用電磁波的極化信息創(chuàng)造了新的有利條件[8]。那么，在無線通信系統(tǒng)中，是否能夠利用電磁波的極化參數(shù)所攜帶的信息，來進(jìn)行三維調(diào)制解調(diào)呢？據(jù)筆者所知，目前在無線通信系統(tǒng)中所開展的三維調(diào)制解調(diào)的研究還比較少。文獻(xiàn)[9]在給出了全極化電磁波在空間中的表達(dá)式之后，認(rèn)為電磁場的幅度、極化、相位等參數(shù)均可以用來傳遞信息，并指出，聯(lián)合這些參數(shù)的矢量調(diào)制方式是未來調(diào)制解調(diào)的研究方向之一。然而，文獻(xiàn)[9]中未討論如何利用這些參數(shù)來進(jìn)行調(diào)制的方法。同時(shí)，文獻(xiàn)[9]中也沒有給出與多維調(diào)制相適應(yīng)的具體的解調(diào)方法。那么，以什么樣的方式利用這些參數(shù)來實(shí)現(xiàn)三維調(diào)制與解調(diào)就成為了需要解決的問題。

2 三維聯(lián)合調(diào)制的模型

空間中的電磁場包含幅度、傳播方向、極化方式、頻率、相位等信息。為了描述電磁場的這些信息，可以在三維空間中建立以x?、y?和z?為單位方向矢量的三維直角坐標(biāo)系，如圖1所示。在這一坐標(biāo)系中，可以用 r?-表示電磁波傳播方向的單位矢量；用φ?和θ?來表示與傳播方向垂直電磁波平面上2個(gè)極化方向的單位矢量。為了獲得電磁波的全部信息，就必須要有與傳統(tǒng)標(biāo)量天線不同的新天線，矢量天線就是這樣一種能測量電磁波全部信息的天線[8]。這種矢量天線是由3個(gè)電偶極子和3個(gè)磁偶極子構(gòu)成，它的全部偶極子在空間上是相互正交、同點(diǎn)分布、具有不同的極化特性，且能夠發(fā)射和接收x、y和z 3個(gè)方向的電場和磁場分量。文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]指出，對(duì)于遠(yuǎn)場信號(hào)，原點(diǎn)處的矢量天線在x、y和z 3個(gè)方向所接收到的電場信號(hào)Y(t)可以表示為

其中，ex、ey和ez分別表示矢量天線在x、y和z 3個(gè)方向的電偶極子上感應(yīng)到的電場分量；V(θ,φ)與電磁波相對(duì)于矢量天線的波達(dá)方向有關(guān)；Q (γ ,η)與矢量電磁波的電場極化方向有關(guān)；θ∈ [0,π)表示信號(hào)的俯仰角； φ ∈ [ 0,2π)表示信號(hào)的方向角，如圖1所示；γ ∈ [ 0,π/2)表示矢量電磁波的極化輻角；η ∈[- π ,π)表示矢量電磁波的極化相位差；是天線發(fā)射電磁波信號(hào)的復(fù)表示；表示電磁波的幅度；fc表示電磁波的頻率。

圖1 矢量天線極化—角度導(dǎo)向矢量方向

式（1）描述了矢量電磁場各個(gè)參數(shù)之間關(guān)系，下面從這一方程出發(fā)，結(jié)合矢量天線對(duì)極化信息敏感的特點(diǎn)，提出一種多參數(shù)的聯(lián)合矢量調(diào)制方法，并給出其調(diào)制信號(hào)的矢量表達(dá)式和三維星座點(diǎn)的排布方式。

當(dāng)發(fā)射和接收天線在空間中的相對(duì)位置固定時(shí)，即假設(shè)式（1）中電磁波傳播方向信息（DOA）的參數(shù)V(θ,)φ是已知時(shí)，天線接收到的信號(hào)只與發(fā)送信號(hào)的幅度、極化、頻率、初始相位以及噪聲有關(guān)。下面首先針對(duì)這一情況，來考慮如何利用空間電磁波的幅度、極化輻角和極化相位差這3個(gè)參數(shù)(A,θ,φ)實(shí)現(xiàn)三維調(diào)制。

其中，Eφ表示TEM波的水平極化分量；Eθ表示TEM波的垂直極化分量；而電磁波在傳播方向-方向上電場分量為0。在極化模式確定的情況下，TEM波?和方向電場分量可以表示為[11]

在假設(shè)電磁波信號(hào)初始相位為0的條件下，電磁波信號(hào)可以表示為。此時(shí)，根據(jù)式（2）和式（3），可以得到TEM波φ?和θ?方向的電場信號(hào)sTEM(t)為

PSK調(diào)制信號(hào)sm(t)可以表示為[12]

其中，sm(t)表示PSK調(diào)制信號(hào)；Re[·]表示取實(shí)部運(yùn)算；A表示PSK調(diào)制信號(hào)的幅度；φm=2π(m-1)M表示PSK調(diào)制信號(hào)的相位；fc表示載波頻率；M表示星座點(diǎn)個(gè)數(shù)。

從式（5）中可以發(fā)現(xiàn)，PSK調(diào)制的本質(zhì)是通過給兩路相互正交的同頻載波賦予不同的幅度值，從而使得在同一個(gè)載波頻率下的信號(hào)具有不同的相位，因此稱其為相移鍵控調(diào)制。PSK中所傳遞的被調(diào)制信息，就是式（5）中兩路載波幅度比值的反正切，即：φm=arctan(sinφm/cosφm)。也就是說，在假設(shè)復(fù)包絡(luò)的初始相位為0的條件下，只要給定兩路正交載波的幅度，就可以唯一確定調(diào)制相位mφ。

對(duì)式（4）中所描述的TEM波信號(hào)取實(shí)部，可以得到：

當(dāng)令式（6）中TEM波信號(hào)的極化參數(shù)η=90°時(shí)，可以得到：

比較式（5）和式（7），可以看到，PSK調(diào)制信號(hào)與通過給TEM波信號(hào)附加一個(gè)極化參數(shù)η=90°的約束條件而得到的信號(hào)具有同樣的表達(dá)式。而且，TEM波的2個(gè)極化方向?和?本身就是正交的，恰恰與PSK調(diào)制中I、Q兩路載波相互正交的條件相對(duì)應(yīng)。通過比較式（5）和式（7），可見PSK調(diào)制中用以控制相位信息的變量mφ在數(shù)學(xué)上與TEM波中的極化參數(shù)γ具有相同的形式。

與PSK調(diào)制相類似，QAM調(diào)制信號(hào)可以表示為[12]

其中，Amc和Ams分別表示QAM調(diào)制信號(hào)復(fù)包絡(luò)的實(shí)部和虛部；表示QAM調(diào)制信號(hào)的幅度；φm=arctan(Amc/Ams)表示QAM調(diào)制信號(hào)的相位。

從式（8）中可以看出，QAM調(diào)制也是通過給兩路相互正交的載波賦予不同的幅度來傳輸信息的。它與PSK調(diào)制的不同之處在于，在QAM調(diào)制中，其信號(hào)幅度不再是一個(gè)定值，因此，QAM調(diào)制具有二維調(diào)制自由度，可以同時(shí)傳遞幅度信息和相位信息。

對(duì)比QAM調(diào)制信號(hào)的表達(dá)式（8）與TEM波的表達(dá)式（7），可以發(fā)現(xiàn)，QAM調(diào)制信號(hào)也是TEM波信號(hào)在η=90°這一約束條件下的一種特殊情況，QAM調(diào)制變量Am和mφ與TEM波的幅度參數(shù)和極化參數(shù)γ具有相同的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式。

如前所述，與PSK和QAM相對(duì)應(yīng)的TEM波信號(hào)滿足η=90°這一約束條件。此時(shí)，對(duì)TEM波信號(hào)取實(shí)部而得到的I、Q兩路同頻載波cos2πfct和sin2πfct之間滿足相互正交的條件。在接收端解調(diào)的過程中，當(dāng)I、Q兩路載波相互正交時(shí)，就能使用相干解調(diào)等方法來完成對(duì)調(diào)制信號(hào)的解調(diào)。那么，如果可以找到一種解調(diào)方法，不需要依賴于載波信號(hào)的具體波形也能夠恢復(fù)出幅度和極化參數(shù)，是否就意味著可以利用更多的調(diào)制參數(shù)進(jìn)行解調(diào)呢？如果能找到這樣的方法，就可以不必再將極化參數(shù)η固定為η=90°的定值，而將極化參數(shù)η作為新的可以攜帶信息的調(diào)制變量，從而實(shí)現(xiàn)三維調(diào)制。本文稱這種三維調(diào)制為極化的QAM調(diào)制，簡稱為PQAM調(diào)制。

PQAM與傳統(tǒng)的PSK、QAM有所區(qū)別的另一個(gè)地方是，它是利用載波本身的極化參數(shù)去傳遞信息的，且具有與PSK和QAM相類似的數(shù)學(xué)表達(dá)式。但在本質(zhì)上，PSK和QAM是把基帶信息調(diào)制到載波的幅度和相位上，而在PQAM的調(diào)制中，則是把基帶信息同時(shí)調(diào)制到載波的幅度A、極化參數(shù)γ和η上。

在筆者提出的PQAM調(diào)制中，選取電磁波的幅度A、極化輻角γ和極化差異角η這3個(gè)參數(shù)作為攜帶信息的調(diào)制變量。并依然采用式（4）中所描述的s( t)=ej2πfct作為聯(lián)合調(diào)制的載波信號(hào)，那么TEM波在?和?方向電場信號(hào)sTEM(t)的表達(dá)式（6）就可以重新寫成：

同PSK、QAM調(diào)制相類似，對(duì)式（9）中的sTEM(t)進(jìn)行取實(shí)部操作，就可以得到PQAM調(diào)制的信號(hào)如下：

其中，幅度參數(shù)A代表電磁波能量的大小；極化輻角γ代表電磁波?方向和?方向電場強(qiáng)度的比值，從前面的分析可知其與PSK調(diào)制中的參數(shù)mφ具有同樣的物理意義；極化差異角η代表電磁場在方向和方向的相位差異，在PSK和QAM調(diào)制中有η=90°，而在本文的PQAM中的η取值范圍是-π≤η≤π。

正如文獻(xiàn)[9]中所指出的，矢量天線是可以發(fā)射全極化電磁波的最為有效的手段。當(dāng)矢量天線的3個(gè)電偶極子的方向與圖1中建立的空間直角坐標(biāo)系、和?方向相同時(shí)，對(duì)于遠(yuǎn)場電磁波信號(hào)，矢量天線發(fā)射的電磁源(角度和極化參數(shù)為Θ={θ, φ, γ ,η})信號(hào)在矢量天線3個(gè)電偶極子的原點(diǎn)O處的電場可以表示為[9,10]

其中，ex(Θ,t)、ey(Θ,t)和ez(Θ,t)分別表示矢量天線、和3個(gè)方向上的電場分量。從式（11）中可以看到，Eφ和Eθ會(huì)在矢量天線的3個(gè)電偶極子上產(chǎn)生感應(yīng)電壓。將電磁波極化分量的表達(dá)式（3）代入式（11），可以得到矢量天線，和方向上的電場分布為

將式（11）中所得到的PQAM表達(dá)式代入式（12），可以得到，利用矢量天線發(fā)射PQAM調(diào)制信號(hào)時(shí)，矢量天線、?和?方向電偶極子上的電場表達(dá)式為

通過引入極化參數(shù)作為新的調(diào)制變量，推導(dǎo)出了三維極化幅度調(diào)制信號(hào)的表達(dá)式，并基于矢量天線實(shí)現(xiàn)了這種三維調(diào)制，給出了矢量天線x?、y?和z?方向所發(fā)射信號(hào)的表達(dá)式。

3 PQAM調(diào)制的解調(diào)方法

文獻(xiàn)[13]運(yùn)用幾何代數(shù)等數(shù)學(xué)方法，成功地解耦了矢量天線陣列接收信號(hào)中的電磁源的波達(dá)方向參數(shù)和極化參數(shù)，使極化參數(shù)的估計(jì)結(jié)果不受到DOA方向估計(jì)結(jié)果的影響，因此，在進(jìn)行PQAM調(diào)制信號(hào)解調(diào)時(shí)，假設(shè)DOA方向參數(shù)(θ,)φ已知，或者其與電磁源的極化參數(shù)(γ,)η和幅度參數(shù)A的關(guān)系已經(jīng)解耦。

對(duì)于單信號(hào)源發(fā)射單矢量天線接收的情況，可以將矢量天線x、y和z 3個(gè)方向電偶極子上接收到的電場信號(hào)表示為[14,15]

其中，E( t)=[exeyez]T表示矢量天線x、y和z 3個(gè)方向電偶極子所接收到的電場信號(hào)；N( t)=[nxnynz]T表示3個(gè)方向上影響電場信號(hào)的噪聲。根據(jù)式（14），在不含噪聲的情況下，可以通過求解下述方程得到極化參數(shù)(γ,η)的估計(jì)(,)：

可以看出，式（15）是一個(gè)超定方程，對(duì)這樣的方程，可以根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則進(jìn)行求解。當(dāng)信號(hào)源的波達(dá)方向V(θ,)φ已知時(shí)，其在最小二乘意義下，式（15）的解可以通過兩邊都乘以V(θ,)φ的偽逆V+(θ,)φ來得到，即：

將V+(θ,)φ的表達(dá)式代入式（16），便可得到：

于是有

根據(jù)式（18），可以得到：

4 解調(diào)方法性能分析與仿真

上面對(duì)信號(hào)的極化參數(shù)(γ,η)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，并沒有考慮噪聲的影響。假設(shè)矢量天線3個(gè)方向上所接收到的噪聲均為零均值加性高斯白噪聲，由于矢量天線具有對(duì)稱性，因此，矢量天線3個(gè)方向的噪聲nx、ny和nz的分布均為(0,σ2)N。根據(jù)式（14），可以將極化參數(shù)(γ,)η的觀測表示為

其中，Q(γ,η)表示極化參數(shù)(γ,η)的觀測；V+(θ,φ)是V(θ,φ)的偽逆。由于N(t)服從的分布為N(0,σ2I)， 因 此V+(θ,φ)N(t)服 從 的 分 布 為N(0,σ2V+(θ,φ)(V+(θ,φ))H)。 又 因 為V+(θ, φ)(V+(θ, φ))H=I，于是，V+(θ,φ)N(t)服從的分布也為N(0,σ2I)。令

將式（20）和式（21）代入式（18），可以將信號(hào)極化參數(shù)的估計(jì)(,)表示為

如前所述，由于nφ和nθ都服從分布N(0,σ2)，于是有：極化域兩路信號(hào)的噪聲均為零均值高斯白噪聲，且極化域噪聲是空域噪聲的線性組合。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，式（22）與幅度為Asinγ，相位為η的QAM調(diào)制具有相類似的表達(dá)式；式（23）與幅度為Acosγ的PAM調(diào)制具有相類似的表達(dá)式，只有式（22）和式（23）中的信號(hào)均正確解調(diào)時(shí)，才能正確解調(diào)三維PQAM調(diào)制信號(hào)。因此，可以將2M+N個(gè)星座點(diǎn)的PQAM調(diào)制的誤碼率，表示為2M個(gè)星座點(diǎn)的PAM誤碼率與2N個(gè)星座點(diǎn)的QAM的誤碼率的組合。

在根據(jù)星座圖確定信號(hào)的判決邊界時(shí)，由于參數(shù)Asinγ ejη和Acosγ隨參數(shù)γ和η的變化是非線性的，因此不能以γ和η的中值作為判決邊界，而應(yīng)該以Asinγ ejη和Acosγ的中值作為判決邊界。以64PQAM為例，其星座圖如圖2所示。圖2中星座點(diǎn)S的調(diào)制參數(shù)為和η=arctan(13)，其判決區(qū)域邊界為和0≤Asin γsinη≤2/，圖2中的灰線部分所組成的區(qū)域（由ABCD-EGHF、EGHF-PQNM、CDEF- IKLJ、PFI-QEJ組成）即為其正確的判決區(qū)域。

圖2 三維64PQAM星座圖

根據(jù)上述分析，可以得到2M+N點(diǎn)PQAM調(diào)制信號(hào)的誤碼率表達(dá)式為

式（24）中，當(dāng)M+N=3n 時(shí)，則M=n,N=2n ；當(dāng)M+N=3n +1時(shí)，則M=n+1,N=2n ；當(dāng)M+N=3n +2時(shí)，則M=n,N=2(n +1)。分別以32PQAM、64PQAM和128PQAM調(diào)制為例，這3種調(diào)制信號(hào)的誤碼率可以表示為

其中，EsN0表示將三維矩形星座圖中各方向能量均歸一化后，星座圖所對(duì)應(yīng)調(diào)制信號(hào)的符號(hào)信噪比。根據(jù)式（25）、式（26）和式（27），可以得到這3種調(diào)制信號(hào)誤碼率的仿真結(jié)果如圖3所示。將64點(diǎn)三維PQAM和64點(diǎn)二維QAM的誤碼率進(jìn)行了對(duì)比，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖3 32、64和128點(diǎn)PQAM調(diào)制的誤碼率

圖4 64點(diǎn)三維調(diào)制和二維調(diào)制的誤碼率

從圖3中可以看出，三維調(diào)制的誤碼率隨著星座點(diǎn)數(shù)量的增加而上升，這是由于星座點(diǎn)數(shù)量的增加會(huì)導(dǎo)致星座點(diǎn)之間的歐氏距離減小，從而導(dǎo)致誤碼率的上升。從圖4中可以看出，在星座點(diǎn)數(shù)量為64的情況下，三維64PQAM比二維64QAM具有更低的誤碼率。其原因是由于星座點(diǎn)數(shù)量相同時(shí)，分布在三維空間中的PQAM信號(hào)比二維空間的QAM信號(hào)能夠獲得更大的歐式距離；或者說，在誤碼率相近時(shí)，由于三維空間中可容納更多的星座點(diǎn)，因而能同時(shí)傳遞更多的信息，因此PQAM比QAM具有更高的數(shù)據(jù)傳輸效率。

為了驗(yàn)證本文計(jì)算結(jié)果，對(duì)三維PQAM調(diào)制解調(diào)的過程進(jìn)行了蒙特卡羅仿真，當(dāng)噪聲為加性高斯白噪聲時(shí)，得到了不同信噪比下調(diào)制解調(diào)系統(tǒng)的誤碼率，并與誤碼率理論值進(jìn)行了對(duì)比，以32PQAM和64PQAM為例，蒙特卡羅仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

從圖5和圖6的仿真結(jié)果中可以看出，三維PQAM信號(hào)誤碼率的蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與式（24）中給出的理論值相吻合，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了三維調(diào)制信號(hào)誤碼率的表達(dá)式。

圖5 32PQAM信號(hào)誤碼率蒙特卡羅仿真

圖6 64PQAM信號(hào)誤碼率蒙特卡羅仿真

為了說明DOA方向估計(jì)產(chǎn)生的誤差對(duì)PQAM解調(diào)器的影響，通過蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比了已知和未知DOA方向時(shí)解調(diào)信號(hào)的誤碼率。以64點(diǎn)三維PQAM調(diào)制為例，這2種情況下系統(tǒng)誤碼率的蒙特卡羅仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 DOA方向?qū)φ`碼率的影響

從圖7中可以看出，未知DOA方向時(shí)系統(tǒng)的誤碼率高于已知DOA方向時(shí)的誤碼率。其原因是當(dāng)DOA方向未知時(shí)，需要首先對(duì)DOA方向進(jìn)行估計(jì)，在這一過程中所產(chǎn)生的誤差會(huì)影響之后的最小二乘解調(diào)結(jié)果，從而造成誤碼率的提高。

為了說明信道編碼與三維調(diào)制結(jié)合對(duì)系統(tǒng)性能的影響，對(duì)三維PQAM信號(hào)與7-4漢明碼結(jié)合后的通信系統(tǒng)誤比特率進(jìn)行了仿真，并與未進(jìn)行信道編碼時(shí)三維調(diào)制信號(hào)的誤比特率進(jìn)行了對(duì)比，以64點(diǎn)三維調(diào)制信號(hào)為例，仿真結(jié)果如圖8所示。

從圖8中可以看出，64點(diǎn)三維調(diào)制與7-4漢明碼結(jié)合后，其誤比特率明顯降低。例如，當(dāng)信噪比為16dB時(shí)，信道編碼后的調(diào)制信號(hào)誤比特率比未進(jìn)行信道編碼時(shí)的誤比特率低0.7。仿真結(jié)果表明，三維調(diào)制與信道編碼的結(jié)合是降低系統(tǒng)誤比特率的有效方法。

圖8 信道編碼對(duì)誤比特率的影響

5 結(jié)束語

本文提出了一種將信號(hào)幅度、極化輻角與極化相位角進(jìn)行三維聯(lián)合調(diào)制的方法，給出了三維聯(lián)合調(diào)制信號(hào)的表達(dá)形式，并給出了基于矢量天線的三維聯(lián)合調(diào)制的實(shí)現(xiàn)方法。在接收端，通過最小二乘方法估計(jì)出信號(hào)的極化參數(shù)估計(jì)，并用包絡(luò)檢波方法恢復(fù)出信號(hào)的幅度參數(shù)，成功實(shí)現(xiàn)了三維聯(lián)合調(diào)制信號(hào)的解調(diào)。并根據(jù)調(diào)制解調(diào)原理得到了三維聯(lián)合調(diào)制誤碼率計(jì)算公式，蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果。分析與仿真結(jié)果均表明：提出的調(diào)制方法具有傳輸速率高和誤碼率低的優(yōu)點(diǎn)。

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