☉江蘇省灌云縣圖河中學(xué) 吳 迪

以問題探究激活思維
——例談數(shù)學(xué)變式教學(xué)

☉江蘇省灌云縣圖河中學(xué) 吳 迪

變式教學(xué)是對數(shù)學(xué)中的問題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的探究，以暴露問題的本質(zhì)特征，揭示不同知識點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)設(shè)計(jì)方法．通過變式教學(xué)，能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，因而能產(chǎn)生主動(dòng)參與的動(dòng)力，保持其參與教學(xué)過程的興趣和熱情．若能重視對課本習(xí)題進(jìn)行變式訓(xùn)練，不但可以抓好雙基，便于搞清問題的內(nèi)涵和外延，而且還可以提高數(shù)學(xué)能力．

一堂數(shù)學(xué)課，就應(yīng)是一串變式題組成的數(shù)學(xué)課堂，變式教學(xué)，恰能返璞歸真，順應(yīng)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在探究嘗試中獲取知識，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．從而能大大提高課堂教學(xué)的有效性.

一、條件由特殊到一般，加深解法印象

對課本的一些結(jié)論，可以采取先猜想后證明，既教猜想又教證明的原則，將它們從有限推廣到無窮，從平面拓展到空間，這樣非常有利于學(xué)生創(chuàng)新思維的形成．

例如：在講多邊形的內(nèi)角和定理時(shí)，可以先回顧三角形內(nèi)角和定理，然后回顧求四邊形的內(nèi)角和，采用連接四邊形的一條對角線，得到兩個(gè)三角形，從而得到其內(nèi)角和為2×180°=360°，并提出能否從中得到n邊形的內(nèi)角和呢？學(xué)生通過分析，觀察，對比，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線把n邊形分成（n－2）×180°.接著進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生探究：能否在多邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)，用這種劃分的方法來說明n邊形的內(nèi)角和呢？學(xué)生在興趣的驅(qū)使下，紛紛在練習(xí)本上畫圖，研究，討論，很快找到第二種方法，有的學(xué)生還找到第三種方法：即在多邊形的某一邊上任取一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)，用這種劃分的方法同樣能說明n邊形的內(nèi)角和定理.一些思維活躍的學(xué)生甚至提出第四，第五種方法……從四邊形，多邊形的內(nèi)角和的探索實(shí)踐中，教師也很容易地引導(dǎo)學(xué)生得出多邊形的問題可以轉(zhuǎn)化為三角形的問題予以解決.從特殊到一般，從具體到抽象的過渡．只要善于挖掘，對很多課本的例習(xí)題及概念都可做到舉一反三，融會(huì)貫通，既能鞏固基礎(chǔ)知識又能拓展知識空間，訓(xùn)練思維，提高能力，同時(shí)使得學(xué)生不再認(rèn)為課本是枯燥無味的，也培養(yǎng)了學(xué)生多種思維品質(zhì)，收到事半功倍的教學(xué)效果．

教學(xué)過程是層層躍進(jìn)，讓學(xué)生“感受”了“從特殊到一般”再“從一般到特殊”的思維歷程.按照梅森（J.Mason）的觀點(diǎn)，特殊化與一般化正是數(shù)學(xué)思維的核心，同時(shí)也是怎樣解題的關(guān)鍵所在.

二、問題形式變化，深化概念理解

不改變問題的條件，有梯度的向縱深發(fā)展，在學(xué)生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”挖掘出新結(jié)論，實(shí)際教學(xué)中，二次函數(shù)的“一題多問”，幾何中的“一圖多問”都能非常有利于教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量的提高．

例如：二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)（0，0）與（－1，－1），開口向上，且在x軸上的截取的線段長為2，求它的解析式.因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像拋物線是軸對稱圖形，由題意畫圖后，不難看出（－1，－1）是頂點(diǎn)，所以可以利用頂點(diǎn)式求出它的解析式.對此題作如下變化：拋物線在x軸上的截取的線段長為2改為4，求它的解析式.由題意可知（－1，－1）不再是拋物線的頂點(diǎn)，但從圖中可以看出，圖像除了經(jīng)過已知條件的兩個(gè)點(diǎn)外，還經(jīng)過一點(diǎn)（－4，0），所以可以用交點(diǎn)式求出它的解析式.再對例題進(jìn)行變化，把題目中的”開口向上”這一條件去掉，再次變化后，此題可以有兩種情況：（1）開口向上，（2）開口向下，所以有兩個(gè)結(jié)論.變式，就是從萬古常理中求新，從千變?nèi)f化中求同，看似簡單重復(fù)，其實(shí)是不斷漸進(jìn)創(chuàng)新，讓學(xué)生在層出不窮的變式中獲得新知識、新方法、新思想、新體驗(yàn)．越是民族的，越有生命力；越是傳統(tǒng)的，越有實(shí)效．讓變式在我們的數(shù)學(xué)課堂里自然流暢！

三、改常規(guī)題為探索題，突出逆向思維

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的基本理念指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.

例如：在直線l同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)M，使它對C、D兩點(diǎn)的張角最大.本題的解不能一眼看出，需要我們?nèi)ヒ龑?dǎo)學(xué)生：假設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在直線l上從左向右逐漸運(yùn)動(dòng)，并隨時(shí)觀察∠D的變化，可發(fā)現(xiàn)：開始是張角極小，隨著M點(diǎn)的右移，張角逐漸增大，當(dāng)接近K點(diǎn)時(shí)，張角又逐漸變?。ǖ搅薑點(diǎn)，張角為0）.于是初步猜想在這兩個(gè)極端值之間一定存在一個(gè)K點(diǎn)，它對C、D兩點(diǎn)的張角最大.如果結(jié)合圓周角的知識，便可進(jìn)一步猜想：過C、D兩點(diǎn)作圓與直線l相切，切點(diǎn)M即為所求，然而，過C、D兩點(diǎn)且與直線l相切的圓是否只有一個(gè)，我們還需要學(xué)生進(jìn)一步去思考，引導(dǎo)學(xué)生去猜想.

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)．變式的問題的設(shè)計(jì)可以給學(xué)生提供一個(gè)寬松的“再創(chuàng)造”的環(huán)境，激發(fā)了學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識.學(xué)生通過添加條件，形成問題，問題來自于學(xué)生，而又通過學(xué)生來解決問題，這樣才真正把提出問題和解決問題的權(quán)利還給了學(xué)生，從思維激發(fā)的角度來看最具有價(jià)值.變式題的設(shè)計(jì)，要“見微而知著”，通常以課本的例、習(xí)題為素材，經(jīng)過挖掘引申、類比聯(lián)想、推廣應(yīng)用等編制而成，一題多變、一圖多問也是變式題設(shè)計(jì)的常用方法．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視課本的習(xí)題，有些是難得的好題，如果一帶而過，實(shí)在可惜．若尋求其內(nèi)在規(guī)律，把知識從一個(gè)問題遷移到另一個(gè)問題，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通之效果．這樣不僅能加深基礎(chǔ)知識的理解和掌握，更重要的是在開發(fā)學(xué)生智力、培養(yǎng)和提高學(xué)生能力等方面，能發(fā)揮其獨(dú)特的功效．

中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)具有濃厚的“數(shù)學(xué)味”，要淡化形式，注重實(shí)質(zhì)；要順其自然，追求自然．變式，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)達(dá)到上述目標(biāo)的最好途徑，非常有利于教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量的提高．