閆朝陽，朱桂萍

(清華大學電力系統(tǒng)國家重點實驗室，北京 100084)

近幾年有源濾波器在電網(wǎng)中得到了廣泛的應用，與之相關的諧波檢測算法也獲得很大發(fā)展。目前諧波檢測算法主要分為頻域和時域兩大類，頻域算法以FFT理論為代表，時域算法以Fryze理論和瞬時無功功率理論為代表。1983年赤木泰文［1］為瞬時無功理論定義了基波瞬時有功和無功功率，但只適用于三相三線制電壓不畸變的情況下檢測諧波和無功電流，1999年赤木泰文改進了瞬時無功功率［2］理論，使之適用于三相四線制。本文在參考前人工作的基礎上，對瞬時無功功率理論給出了詳細的數(shù)學解釋;并與“信號與系統(tǒng)”課程中介紹的傳統(tǒng)的FFT算法進行了對比研究，闡明了這兩種算法本質(zhì)上的一致性，兩種諧波檢測算法中各自采用的低通濾波器LPF和積分器環(huán)節(jié)是二者實時性能差異的根源。本文最后提出了一種采用LPF的FFT改進算法。

1 瞬時無功功率理論的數(shù)學本質(zhì)

1.1 傳統(tǒng)pq算法簡介

設三相電壓分別為 ea、eb、ec，三相電流分別為ia、ib、ic，通過坐標變換將 abc坐標系變換為 αβ 坐標系，變換如下:

abc坐標系的三相電壓、電流變換為αβ坐標系后，分別為 eα、eβ和 iα、iβ。將瞬時功率定義成

整理成矩陣形式為

通過計算可以證明，在電網(wǎng)電壓無畸變(沒有諧波，沒有負序和零序分量)的情況下，瞬時有功功率P和瞬時無功功率直流分量由正序基波電流產(chǎn)生，交流分量由諧波和負序基波電流產(chǎn)生。通過低通濾波器LPF將交流分量濾除，得到直流分量之和，再對其進行反變換，就可以得到正序基波三相電流的參考信號iaf、ibf和ief。其表達式為

負荷電流減去正序基波電流信號，就可以得到包含負序基波和所有諧波的APF參考信號。這就是瞬時無功功率理論的pq算法，圖1是正序基波電流信號提取流程圖。

圖1 瞬時無功功率理論正序基波提取流程

1.2 三維時變向量空間正交變換和反變換［2］

上述pq算法中Cpq變換及其逆變換是瞬時無功功率理論檢測諧波算法的核心，故忽略C32變換及其反變換，直接分析圖2所示的過程。

圖2 αβ相瞬時無功功率理論正序基波提取

假設電網(wǎng)電壓無畸變，電網(wǎng)電流為

C32變換后的電壓為

C32變換后的電流為

由圖2所示流程提取到的αβ兩相正序基波電流為

利用C32變換后得到的αβ兩相電壓構(gòu)造一組正交坐標基，令

其中，e2=+為常量。pq 算法中 e2=1，因此Cpq就是正交投影的矩陣形式。經(jīng)過低通濾波器LPF得到pe和qe的直流分量和，即

Cpq逆變換對應向量合成，計算結(jié)果與式(4)相同，說明基于瞬時無功功率理論提取基波電流的過程其實就是對三相/二相變換后的電流進行正交變換和反變換的過程，選用的正交向量坐標基為式(5)所示的和。

選取另一組正交向量坐標基，令

該計算結(jié)果與式(4)、式(7)相同，因此可以得到以下結(jié)論:忽略C32變換及其逆變換，在αβ兩相下是一個二維時變向量空間正交變換和反變換的過程。C32變換及其逆變換是abc三相和αβ兩相的變換過程，因此瞬時無功功率理論在abc三相下是一個三維時變向量空間正交變換和反變換的過程。這和FFT算法具有相同的數(shù)學本質(zhì)。此外，尚需注意如下問題。

(1)若正交向量坐標基是完備的，選取不同正交向量坐標基，瞬時無功功率理論可以提取任意次、任意序的有功或無功電流［3］;

(2)電網(wǎng)電壓畸變與否及電流序分量檢測和電網(wǎng)電壓相位沒有關系，檢測諧波要對電網(wǎng)電壓鎖相;檢測有功、無功電流才需要對電網(wǎng)電壓鎖相;

(3)C32變換及其逆變換是沒有必要的，選取三維正交向量坐標基，瞬時無功功率理論可以直接在abc三相下使用。

假設電網(wǎng)電壓有畸變，首先對電網(wǎng)電壓進行正交變換和反變換，得到正序基波電網(wǎng)電壓;其次可以直接采用pq算法提取正序基波電流，也可以通過鎖相環(huán)得到其相位，采用ipiq算法提取正序基波電流，解決了電網(wǎng)電壓畸變時鎖相困難的問題。

值得一提的是，通過圖1所示流程得到的補償指令電流，在電網(wǎng)電壓無畸變時，只包含負序、零序無功基波電流和諧波無功電流;電網(wǎng)電壓畸變時，還可能包含負序、零序有功基波電流和諧波有功電流，此時APF直流側(cè)需要使用儲能單元才可以濾除這部分有功電流。電網(wǎng)電壓畸變時，可以定義瞬時功率(瞬時ui乘積)的直流分量之和為有功功率，但瞬時功率交流分量中包含不同頻率，無功功率是否可以定義為各頻率交流分量均方根還值得探討［4］。此外，不同頻率電壓、電流乘積得到的瞬時功率交流分量的物理意義還不明了。

2 FFT 算法［5］

任意周期非正弦信號可以表示為

其基波分量為A1cosωt+B1sin(ωt)。其中

積分運算是函數(shù)向量空間中的正交投影，同時還起到保留直流分量、取出交流分量的作用。因此將FFT算法提取基波的過程分解為與瞬時無功功率理論相似的運算步驟。

(1)將 f(t)分別與 cosωt和 sinωt相乘，這對應式(6)中的點乘運算，結(jié)果中包含直流分量和交流分量:

(2)進行積分(離散信號則為求和)運算(對應上文的低通濾波)，交流分量變?yōu)榱悖玫降闹绷鞣至繛?/p>

(3)由A1、B1合成f(t)的基波分量:

對二相信號，不考慮序分量時，可以看成兩個單相信號，分別檢測諧波。圖3是FFT算法下對iα、iβ分別提取基波的計算流程圖。

圖3 FFT算法基波提取流程圖

由 Aα、Aβ和 Bα、Bβ與 cosωt和 sinωt合成基波分量。如果三相電流中不包含負序基波電流，則FFT算法得到的iα和iβ基波分量為

它與式(4)、式(7)及式(9)計算結(jié)果相同。如果三相電流中包含負序基波電流，則iα和iβ基波分量為

進一步將正序、負序分量分辨出來，需要αβ平面上的正序基波正交向量函數(shù)坐標基和負序基波正交向量函數(shù)坐標基，分別如下:

3 兩種算法的對比

3.1 LPF 和積分器

根據(jù)上文的分析，對比圖2和圖3可知，基于瞬時無功功率理論和基于FFT算法提取諧波的過程主要區(qū)別有兩點:

(1)向量空間不同，選取的坐標基或變換矩陣不同。瞬時無功功率理論建立在三維或者二維時變向量空間，選取的正交旋轉(zhuǎn)向量坐標基，F(xiàn)FT算法建立在一維或多維函數(shù)向量空間，選取的是正交函數(shù)向量坐標基;

(2)瞬時無功功率理論中的低通濾波環(huán)節(jié)代替了FFT算法中的積分環(huán)節(jié)，實時性得到質(zhì)的改變。積分環(huán)節(jié)與低通濾波環(huán)節(jié)本質(zhì)上是一致的［6］，當積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)足夠大時，就可以近似看成低通濾波器。但二者在實時性能上卻有很大差別，積分需要至少一個周期的數(shù)據(jù)才可以準確提取出其中的諧波分量，而低通濾波卻可以實時提取出信號中的諧波分量。這就是基于瞬時無功功率理論提取諧波比基于FFT算法提取諧波實時性好的本質(zhì)所在。

3.2 采用LPF的FFT算法

根據(jù)上文的分析，用低通濾波器取代FFT算法中的積分環(huán)節(jié)，以改善FFT算法實時性能。令

改進后的FFT算法流程如圖4所示。該算法可以得到和瞬時無功功率理論相同的結(jié)論，變換計算相對比較簡單;而與傳統(tǒng)的FFT算法相比，實時性有顯著提高，選取不同正交基提取不同性質(zhì)的基波電流。

圖4 FFT改進算法的基波電流提取流程

4 對比仿真驗證

4.1 三相穩(wěn)態(tài)不平衡負荷的對比仿真

基于Matlab仿真軟件，分別對圖1所示的瞬時無功功率pq算法，圖2所示選取 sinωt和cosωt為正交函數(shù)坐標基的FFT算法(以下簡稱FFT算法一)和圖2所示選取式(10)所示正交向量函數(shù)坐標基的FFT算法(以下簡稱FFT算法二)進行仿真對比分析。負荷選取三相穩(wěn)態(tài)不平衡負荷。

負荷為三項不平衡阻感負荷并聯(lián)整流器，負荷電流如圖5所示，其中ia、ib、ic和 in分別表示A、B、C三相負載線電流和中線電流。

圖5 三相穩(wěn)態(tài)不平衡負荷電流

三種諧波提取算法提取的基波電流分別如圖6所示，其中 ifa、ifb、ifc分別表示提取出的 A、B、C 三相負載線電流的基波成分。

圖6 三種算法提取的正?；娏?/p>

從上面的結(jié)果我們可以看到FFT算法提取的電流中包含有正序和負序基波分量，沒有諧波分量;而FFT改進算法提取出來的電流中只包含正序基波分量，和pq算法結(jié)果一致。

4.2 三相動態(tài)負荷的對比仿真

基于Matlab仿真軟件，分別對圖1所示的瞬時無功功率pq算法，F(xiàn)FT算法二及圖4所示選取式(10)所示正交向量函數(shù)坐標基的FFT算法(以下簡稱FFT新算法二)進行仿真對比分析。負荷采用受控電流源來模擬電弧爐負荷，三相電弧爐及中線電流如圖7 所示，其中 ia、ib、ic分別表示 A、B、C 三相負載線電流。

圖7 三相動態(tài)負荷電流

三種算法提取的基波電流分別如圖8所示，其中 ifa、ifb、ifc分別表示提取出的 A、B、C 三相負載線電流的基波成分。

圖8 三種算法提取的正序基波電流

從仿真結(jié)果可以看出，F(xiàn)FT算法提取的電流只包含正序基波分量，但實時性較差;FFT改進算法提取出來的電流中只包含正序基波分量，實時性和pq算法相差無幾。

5 結(jié)語

本文對瞬時無功功率理論進行了詳細的數(shù)學解釋，證明了基于瞬時無功功率理論提取基波的過程本質(zhì)上是對三相電流進行正交變換和反變換的過程，這與FFT算法具有相同的數(shù)學本質(zhì);另一方面本文詳細闡釋了瞬時無功功率理論和FFT算法二者在實時性方面的差異—低通濾波器和積分器，給出了仿真驗證實驗;最后通過使用低通濾波器代替積分器改進傳統(tǒng)的FFT算法，其實時性和pq算法相差無幾。

［1］ Akagi Hirofumi，Kanazawa Yoshihira，Nabae，Akira.Instantaneous reactive power compensators comprising switching devices without energy storage components［J］.IEEE Transactions on Industry Applications，1984，20(3):625-630

［2］ Akagi，H，Ogasawara，S.Hyosung Kim The theory of instantaneous power in three-phase four-wire systems:a comprehensive approach［C］.Industry Applications Conference，1999，(1):431-439

［3］ 姜齊榮，趙東元，陳建業(yè).電力有源濾波器［M］.北京:科學出版社，2005:45-60

［4］ 羅歡.基于Fryze功率定義的有功電流檢測與實現(xiàn)［D］.武漢:武漢大學

［5］ 劉衛(wèi)東.信號與系統(tǒng)分析基礎［M］.北京:清華大學出版社，2008:53-64

［6］ 朱桂萍，于歆杰，陸文娟.一階RC電路時域分析和頻域分析的對比［J］.南京:電氣電子教學學報，2007，(03):29-34