崔 康，葉永升

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000)

1 引言

Wiener指數(shù)是應(yīng)用于化學(xué)中一個經(jīng)典的拓?fù)渲笖?shù)、Wiener是由Harold Wiener在1947年作為路徑輸入而引入的[1].Wiener指數(shù)倡導(dǎo)性地研究了飽和碳?xì)浠衔锱c其結(jié)構(gòu)性質(zhì)之間的關(guān)系，根據(jù)碳原子之間的路徑距離的計數(shù)，提出一個刻劃分子結(jié)構(gòu)的指數(shù).Wiener指數(shù)等于碳?xì)浠衔镏兴凶疃烫?碳路徑之和.分子的這一簡單的數(shù)字表示已經(jīng)被證實在定量結(jié)構(gòu)關(guān)系(QSPR)中是一個非常有用的量[2-5].到目前為止，各國學(xué)者對Wiener指數(shù)進行了大量的研究并被最新應(yīng)用于通訊網(wǎng)絡(luò)等的研究中.

關(guān)于Wiener指數(shù)的研究已取得了很大進展，在文獻[6]中已經(jīng)研究了單圈圖的Wiener指數(shù)，文獻[7]中研究了路和圈聯(lián)的Wiener指數(shù).本文給出路和圈的平方的Wiener指數(shù).

設(shè) P是具有 n個頂點的路，連接圖中所有距離為2的點所形成的圖形、我們稱之為路的平方 P2，其頂點集為 V= ｛v1，v2，…，vn｝，邊集 E= ｛vlv2，vlv3，…，vn-2vn-1，vn-2vn，vn-1vn｝.

證明對 k進行數(shù)學(xué)歸納法

(2)假設(shè)當(dāng) k=l-1時，結(jié)論是成立的，即

下面我們證明當(dāng) k=l時，結(jié)論是正確的.

同理，從頂點 v2l+1到其他頂點形成的頂點對之間距離之和是由歸納假可知，故對于 k=l.結(jié)論也成立.由(1)和(2)得:

從而得出如下的定理.

3 圈的平方()的 Wiener指數(shù)

設(shè) C是具有 n個頂點的圈，連接圖中所有距離為2的點所形成的圖形，我們稱作圈的平方，記作.設(shè)Cn=vlv2v3… vnv1，則

證明對 k進行數(shù)學(xué)歸納法.我們先證明 W()=2k2(2 k+1)是成立的.

所以新增4點后相對于原圖增加了

新增4點之后，原4 l個頂點形成的頂點對之間的距離也相應(yīng)增加如下:頂點 v4l，v4l-1，v4l-2，…，v2l+4到頂點 vl距離增加了2，v2l+3到頂點 v1距離增加了1，即增加了2(2 l-2)+1;同理 v4l到點 v2，…，v2l+5，v2l+4，距離增加了2(2l-3)+1，以此類推，vl-l到 v3l+1的距離增加了2(2l-2l)+1共增加了

由歸納假設(shè)可知

證明我們首先證明 W(1)=k(k+1)(4k+1)是成立的

(2)假設(shè)當(dāng) k=l時，結(jié)論是成立的，即

原圖增加一點后形成階為4 l+1的新圈的平方的圖，則頂點 v4l+1到點 v4l，v1以及 v4l-1，v2的距離是1;點v4l+1到點 v4l-2，v3以及 v4l-3，v4的距離均是2，依此類推 v4k+1到點 v2k-l，v2k+2以及 v2k，v2k+1的距離均是k，共增加了 4×1+4×2+… +4k，即 2l(l+1).

此外，除 v4l+1點外，圖中所形成的頂點對之間距離也相應(yīng)增加:v4l到 v2，v4，…，v2l-2形成的頂點對之間的距離增加了 l-1;v4l-l到 v3，v5，…，v2l-3形成的頂點對之間的距離增加了 l-2;依此類推，v2 l+6到v2l-4形成的頂點對之間的距離增加了1.然而與 v4l+1，…，v2l+6對稱的這些點和對邊也形成此等關(guān)系.故共增加了路徑

由歸納假設(shè)可知

[1]WIENER H.Structural determination of paraffin boiling points[J].J Amer Chen Soc，1947，69:17-20.

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[5]NIKOLIC'S，TRINAJSTI N C，MIHALI Z C.The Wiener index:developments and applications[J].Groat Chem Acta，1995，68:105-129.

[6]唐自凱.單圈圖的Wiener指數(shù)[D].長沙:湖南師范大學(xué)，2006.

[7]余玲，葉永升.路和圈的聯(lián)的Wiener指數(shù)[J].淮北師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，32(1):1-3.