杜翠真，林建富

(淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000)

1 引言

方陣的相似標準形是代數(shù)學的重要問題之一，文獻[1－3]運用不同的方法對方陣的相似標準形進行了討論，給出了復數(shù)域上矩陣的相似標準形—若當標準形，一般數(shù)域 P上方陣的有理標準形.本文給出一般數(shù)域 P上的方陣的一種相似標準形 P－若當標準形.記 P為數(shù)域，A為數(shù)域 P上的 n級方陣，E為單位矩陣.與若當標準形理論類似，有方陣 A的不變因子、初等因子和伴侶陣的定義.

定義1 稱形如

的矩陣為 P－若當塊，其中 Λ 為多項式 q(λ)=λk+a1λk－1+…+ak－1λ+ak的伴侶陣 .

設 f(λ)為數(shù)域 P上的任意多項式，則

定義2 由數(shù)域 P上若干個 P－若當塊組成的準對角矩陣稱為 P－若當形矩陣，其一般形狀如

其中

P－若當形矩陣 J的全部初等因子就是由數(shù)域 P上的全部 P－若當塊的初等因子構(gòu)成的.

P－若當形矩陣除去 P－若當塊的排列次序外被它的初等因子惟一決定.

引理1 數(shù)域 P上兩個 n級方陣相似的充要條件是它們在數(shù)域 P上有相同的初等因子.

證明利用文獻[1]的定理8可證.

引理2 首先用初等變換化特征矩陣 λE－A為對角形式，然后將主對角線上元素分解成數(shù)域 P上互不相同的首1的不可約因式方冪的乘積，則所有這些不可約因式的方冪就是 A在數(shù)域 P上的全部初等因子.

證明利用文獻[1]的定理9可證.

引理3 設 f(λ)=(q(λ))i，i=1，2，…，m，則 r(f(J))=(m－ i)k.特別的，J 的最小多項式為(q(λ))m，即 J的最小多項式與特征多項式相等.

證明注意到 q(λ)是 Λ 的最小多項式，且 q(λ)是 f(λ)，f'(λ)，…，f(i－1)(λ)的因式，但不是 f(i)(λ)的因式.因此 f(Λ)=f'(Λ)=… =f(i－1)(Λ)=O 而 B=f(i)(Λ)可逆 .于是

顯然 r(f(J))=(m－i)k.

特別地，當 f(λ)=(q(λ))m時，f(J)=[q(J)]m=O.設 J 的最小多項式為 g(λ)，則 g(λ)|(q(λ))m，于是 g(λ)=(q(λ))i，i=1，2，…，m，但是當 i=1，2，…，m 時，(q(J))i≠O，g(λ)=(q(λ))m.

2 主要結(jié)論

定理1 每個數(shù)域 P上的 n級方陣 A都與一個 P－若當形矩陣相似，且這個 P－若當形矩陣除去其中若當塊的排列次序外是被矩陣 A惟一決定的，稱為 A的 P－若當標準形.

證明設 n級方陣 A的全部初等因子為

其中 q1(λ)，q2(λ)，…，qs(λ)可能有相同的，m1，m2，…，ms也可能有相同的.每一個初等因子(qi(λ))mi對應一個 P－若當塊

這些 P－若當塊構(gòu)成 P－若當形矩陣通過計算可得 J的全部初等因子也是(1).因此 J與 A有相同的初等因子，所以它們相似.

如果另一 P－若當形矩陣 J'與 A相似，J'與 A就有相同的初等因子，因此 J'與 J除了 P－若當塊的排列次序外是惟一的，惟一性得證.

這個 P－若當形矩陣 J就是數(shù)域 P上的方陣 A的相似標準形.

定理2 設 V是數(shù)域 P上 n維線性空間，σ為 V的線性變換，則在 V中存在一組基，使 σ在這組基下的矩陣為 P－若當形矩陣，且這個 P－若當形矩陣除去其中 P－若當塊的排列次序外是被 σ惟一決定的，稱為 σ的 P－若當標準形.

證明在 V中取一組基 α1，α2，…，αn，設 σ 在這組基下的矩陣是 A，由定理1，存在可逆矩陣 T，使T－1AT 為 P － 若當形矩陣.于是在由(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，αn)T 確定的基 β1，β2，…，βn下，線性變換σ的矩陣就是 P－若當形矩陣 T－1AT.

由定理1，惟一性是顯然的.

推論1 設 V為數(shù)域 P上 mk維線性空間，σ 為 V的線性變換，且 σ 在基 α11，α12，…，α1k，α21，α22，…，α2k，…，αm1，αm2，…，αmk下的矩陣為數(shù)域 P 上的若當塊

其中 Λ為數(shù)域 P上不可約多項式 q(λ)=λk+a1λk－1+…+ak的伴侶陣.則

1)σ的任一非零的不變子空間 W的維數(shù)為 k的倍數(shù)，且 σ|W的特征多項式與最小多項式相等.

2)σ有 m個非零的不變子空間，分別為

證明1)注意到 σ的特征多項式為(q(λ))m.設 W為 σ的任一非零的不變子空間，記 σ|W為 σ在W 上的限制.設 σ|W 的特征多項式為 g(λ)，最小多項式為 h(λ)，則 h(λ)|g(λ)，g(λ)|(q(λ))m.

設 g(λ)=(q(λ))i，i=1，2，…，m，所以 dimW=ik.設 h(λ)=(q(λ))l，這里 l≤i.

由 h(σ)|W=h(σ|W)=O知，

所以 ik≤lk.故 l=i，g(λ)=h(λ)且 W=ker(q(σ)i).

2) 顯然 Wj=L(αj1，αj2，…，αjk，…， αm1， αm2，…，αmk)是非零的 σ 不變子空間，而 dimWj=(m － j+1)k，因此 Wj=ker(q(σ)m－j+1).

推論2 設 V為數(shù)域 P上 n維線性空間，σ為 V的線性變換，設 σ的特征多項式

則

2)設 W為 σ 的任一非零不變子空間，則 W=W18W28…8Ws，其中 Wi=W∩Vi，i=1，2，…，s.

證明1)根據(jù)文獻[1]的定理12可得.

2) ?ξ∈W?V，由 1)得

所以存在 u(λ)，v(λ)，使得

于是

所以

所以

所以

顯然有 W=W18W28…8Ws，其中 Wi=W∩ Vi，i=1，2，…，s.

證明設 σ在 V的某組基下的矩陣為數(shù)域 P上的若當形矩陣，

其中 Ji=J(qi(λ)，mi)， i=1，2，…，s，且 V=V18V28…8Vs，其中 Vi=ker(qi(σ)mi).設 W為 σ 的任一不變子空間，由 σ的特征多項式與最小多項式相等，則 W=W18W28…8Ws，其中 Wi=W∩Vi是包含在 Vi中的 σ不變子空間.易見 σ|Vi在 Vi的某組基下的矩陣為若當塊 Ji，因此包含在 Vi中的 σ不變子空間恰有 mi+1個.故 σ恰有(m1+1)(m2+1)…(ms+1)個不變子空間.不難看出它們就是

下列結(jié)論給出的 Λ和 ?？梢钥闯墒蔷仃囂卣髦岛吞卣飨蛄康囊环N推廣.

引理4 設 A為數(shù)域 P上的 n級方陣，f(λ)為 A的特征多項式，p(λ)為數(shù)域 P上的首1的不可約多項式，且 P(λ)|f(λ)，設 Λ 為 p(λ)的伴侶陣 .則

1)存在數(shù)域 P上列滿秩矩陣 Γ，使得 AΓ=ΓΛ.

2)存在數(shù)域 P上行滿秩矩陣 Ψ，使得 ΨA=ΛΨ.

證明1)由已知可得 p(λ)m是 A的初等因子，因此存在可逆矩陣 P，使得

其中

設 P=(P1，P2，…，Pm)，取 Γ =Pm，則 AΓ = ΓΛ.

2)同理可證.

推論4 設 V為數(shù)域 P上的 n維線性空間，σ為 V的線性變換.則 σ的特征多項式與最小多項式相等的充要條件是 σ只有有限個不變子空間.

證明 必要性由推論3即得.

充分性 設 σ在 V的某組基下的矩陣為 P－若當形矩陣 A，若 σ的特征多項式與最小多項式不相等，則 P－若當形矩陣 A中至少有兩個同屬于某一不可約多項式 p(λ)的若當塊.

記 ?(p(λ))=k，Λ 為 p(λ)的伴侶陣，由引理4知，存在數(shù)域 P上列滿秩矩陣 Γ1，Γ2，使得 AΓ1=Γ1Λ，AΓ2= Γ2Λ，且(Γ1，Γ2)列滿秩 .因此存在 V 中線性無關向量 α1，α2，…，αk，β1，β2，…，βk使得 W1=L(α1，α2，…，αk)，W2=L(β1， β2，…， βk)，皆為 σ 不變子空間，且 σ 限制在 W1和 W2上的矩陣皆為 Λ.任取λ∈P，令 γi= αi+ λβi，i=1，2，…，k.則 W(λ)=L(γ1， γ2，…， γk)為 σ 的不變子空間.當 λ1≠ λ2時，W(λ1)≠W(λ2).這與 σ只有有限個不變子空間矛盾.

所以 σ的特征多項式與最小多項式相等.

推論5 設 V為數(shù)域 P上 n維線性空間，σ為 V上線性變換.設 σ的特征多項式與最小多項式相等.若 W為 σ的任一非零的不變子空間，則 σ|W的特征多項式與最小多項式相等.

證明由 σ的特征多項式與最小多項式相等，V的線性變換 σ只有有限個不變子空間.則 σ|W只有有限個不變子空間.于是 σ|W的特征多項式與最小多項式相等.

推論6 設 V為數(shù)域 P上的 n維線性空間，σ為 V的線性變換.則以下等價:

1)與 σ可交換的線性變換皆為 σ的多項式.

2)σ的最小多項式與特征多項式相等.

3)V的線性變換 σ只有有限個不變子空間.

[1]李炯生，查建國.線性代數(shù)[M].合肥:中國科學技術大學出版社，2005.

[2]許以超.代數(shù)學引論[M].上海:上?？萍汲霭嫔?，1982.

[3]HORN R A，JOHNSON C R.Matrix analysis[M].London:Cambridge University Press，1985.

[4]萬哲先.代數(shù)導論[M].北京:科學出版社，2004.