李會鵬 明廷鋒 賀 國

（海軍工程大學(xué)船舶與動力學(xué)院 武漢 430033）

振動是影響大型旋轉(zhuǎn)機械安全運行的重要因素，因此對旋轉(zhuǎn)機械的振動監(jiān)測可及時發(fā)現(xiàn)問題，有效保障設(shè)備的安全運行.自助法和隨機加權(quán)法都是利用樣本重采樣技術(shù)進行樣本擴充的方法［1－3］.經(jīng)仿真計算和實際應(yīng)用表明，隨機加權(quán)法較自助法有更高的精確度［4］.然而，這兩種方法對樣本信息依賴較大，若直接運用該方法對樣本進行擴充，可能會產(chǎn)生較大的誤差.本文綜合運用隨機加權(quán)法、Bayes方法和信息融合方法，對小樣本條件下振動閾值的設(shè)定方法進行研究，以期最好地解決小樣本條件下的閾值設(shè)定問題.

1 特征值的均值與方差估計方法

1.1 隨機加權(quán)法

設(shè)未知參數(shù)α服從正態(tài)分布，大小相互獨立.記α＝（x1，x2，…，xn）為現(xiàn)場子樣，μ和σ2分別為α的均值和方差，運用隨機加權(quán)法估計μ和σ2，具體步驟如下.

1）計算現(xiàn)場子樣的均值ˉx和方差s2，即有：

2）產(chǎn)生N 組Diricklet隨機向量，V（i）＝（Vi1，Vi2，…，Vin），i＝1，2，…，N，這里（Vi1，Vi2，…，Vin）為參數(shù)（1，1，…，1）的 Diricklet隨機向量，記它的聯(lián)合分布為（1，1，…，1）.它可按如下方法產(chǎn)生：

設(shè)v1，v2，…，vn－1是（0，1）上均勻分布的隨機變量v的獨立同分布子樣，對其按從小到大的次序重新排序，記為v1≤v2≤…≤vn－1.又記v0＝0，vn＝n，Vij＝vj－vj－1，j＝1，2，…，n.那么，（Vi1，Vi2，…，Vin）的聯(lián)合分布就是（1，1，…，1）.它就是所需的Diricklet隨機向量.

分布參數(shù)μ，σ2的均值估計分別為

1.2 驗前分布的信息融合

式中：wi為第i個信息源的權(quán)重因子＝1.

樣本方差

1.3 Bayes統(tǒng)計推斷方法

在正態(tài)分布條件下，未知參數(shù)β的均值μ與方差σ2的聯(lián)合共軛分布是正態(tài)－逆Gamma分布，即（μ，σ2）～N－IGa.式中：μπ，kπ，為共軛先驗分布∏（θ）的超參數(shù).根據(jù)文獻［8－9］可以得出以下結(jié)論.

1）（μ，σ2）的后驗分布也是正態(tài) －逆 Gamma分布 N－IGa.

2）μ的后驗分布是自由度為vk的學(xué)生氏分布），即μ／

3）σ2的后驗分布是逆Gamma分布

2 小樣本條件下特征值的統(tǒng)計參數(shù)估計方法

結(jié)合上述分析和旋轉(zhuǎn)機械振動的特征值－振動有效值分布規(guī)律，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計分析的基本理論和一般步驟，綜合運用Bayes方法、信息融合方法和隨機加權(quán)法，得到振動有效值分布特性統(tǒng)計參數(shù)估計流程，見圖1.

圖1 小樣本下旋轉(zhuǎn)機械振動特征值的統(tǒng)計參數(shù)估計流程

該流程的主要思路是：首先對n組樣本的數(shù)據(jù)量進行判斷，若樣本數(shù)小于20，運用小樣本統(tǒng)計方法.其次，利用專家經(jīng)驗對各個小樣本進行判斷，選擇正常的樣本進行小樣本統(tǒng)計運算；再次，判斷正常樣本是屬于現(xiàn)場樣本還是屬于歷史樣本：若樣本屬于現(xiàn)場樣本，則通過隨機加權(quán)法可以得到現(xiàn)場樣本的分布；若樣本屬于歷史樣本，則利用隨機加權(quán)法可以得到先驗分布.在得到各個歷史樣本的先驗分布的基礎(chǔ)上，運用信息融合方法對各個樣本信息進行信息融合得出樣本信息的驗前分布；最后運用Bayes統(tǒng)計推斷方法進行后驗推斷，獲得所需參數(shù)的特征值估計，再依據(jù)3σ方法設(shè)定合適的閾值.

3 仿真研究

3.1 隨機加權(quán)法估計樣本的均值與方差

根據(jù)1.1中隨機加權(quán)法對其均值和方差的分布情況進行估計：樣本M 均值μM～N（14.33，0.462），方差σ2M～N（2.13，1.342）；樣本 N 均值μN～N（14.79，0.612），方 差～N（3.76，1.732）；樣本Q均值μQ～N（15.36，0.682），方差～N（4.44，1.362）.

3.2 歷史樣本的信息融合

根據(jù)1.2中先驗信息融合方法計算得到：w1＝0.599 0，w2＝0.401 0.

那么，樣本信息融合后均值

同理，得方差ˉσ2～N（2.78，1.512）.

3.3 特征值統(tǒng)計參數(shù)的Bayes推斷方法

令μ的先驗分布表示為∏（μ），σ2的先驗分布表示為∏（σ2）.由3.2的計算，得∏（μ）先驗均值為＝14.51，先驗方差為＝0.532；∏（σ2）的先驗均值為＝2.78，先驗方差為＝1.512.

根據(jù)1.3中的結(jié)論2和結(jié)論3的建立以下2組方程組

將上面兩方程組聯(lián)立，求得先驗分布的超參數(shù)為

由1.3中的結(jié)論4，求得后驗分布超參數(shù)為

因此μ的后驗期望估計為

運用隨機加權(quán)法、信息融合方法和Bayes統(tǒng)計推斷獲得參數(shù)的分布估計為N（14.89，4.00）.定義該方法為Bayes－隨機加權(quán)法.將該方法與經(jīng)典統(tǒng)計、隨機加權(quán)法進行對比，見表1.

表1 統(tǒng)計參數(shù)估計結(jié)果對比

分析表1，隨機加權(quán)法與經(jīng)典統(tǒng)計法相比，它的方差估計值更小，其均值估計值變化不大.而Bayes后驗推斷融合了先驗分布和現(xiàn)場信息進行后驗估計，使得計算出后驗估計的均值和方差更加逼近期望，它對均值估計值與期望值非常接近，它對方差的估計值與期望值一致，取得了較理想的結(jié)果.由此可見，本文給出的Bayes－隨機加權(quán)法對小樣本統(tǒng)計特征推斷有一定的優(yōu)越性.

4 實例應(yīng)用

對一臺離心泵機組故障模擬平臺的振動狀態(tài)進行監(jiān)測.現(xiàn)有歷史樣本A，B和C，分別為：樣本A（31.50，32.95，28.50，30.84，30.16，32.71），樣本B（22.82，22.96，23.67，21.92，21.67，22.69），樣本C（23.97，23.65，23.77，25.03，22.93，24.54）.并有現(xiàn)場樣本D（23.46，25.59，25.96，24.86，24.08，25.23），上述樣本振動數(shù)據(jù)均為該離心泵機組水平方向加速度振動有效值，單位為mm／s2.

4.1 樣本信息的均值與方差估計

根據(jù)1.1中隨機加權(quán)法計算得到樣本A均值μA～N（31.10，0.572），方差～N（2.78，0.852）；樣本B 均值μB～N（22.62，0.252），方差～N（0.53，0.162）；樣 本 C 均 值 μC～N （23.98，0.252），方差～N（0.53，0.172）；樣本D 的均值μD～N（24.86，0.332），方差～N（0.89，0.252）.

4.2 先驗信息的分析與融合

依據(jù)專家經(jīng)驗知悉該離心泵機組故障具有“浴盆曲線”特性，見圖2，起始段故障率較高，為磨合期，經(jīng)過一段時間后，故障率減小，為偶發(fā)期，隨著運行時間的增加故障率開始增加，即為耗損期.

圖2 離心泵機組故障概率模型圖

依據(jù)圖2所示設(shè)備故障概率模型圖，對先驗樣本A，B和C進行分析，可知樣本A的振動數(shù)據(jù)偏大.結(jié)合該監(jiān)測樣本的獲取時機恰好是在設(shè)備剛投入使用不久.根據(jù)圖2知，該設(shè)備正處于磨合期，因此振動較大，波動也較為明顯；而樣本B和C的振動較為平穩(wěn)，波動較小.因此，在選擇先驗樣本時，為避免振動閾值設(shè)定不合理，應(yīng)把樣本A舍去，僅選用樣本B和C作為先驗信息.

根據(jù)1.2中先驗信息融合方法.計算wi得到：w1＝0.502 4，w2＝0.497 6.

那么，樣本信息融合后均值

同理可得樣本信息融合后方差ˉσ2～N（0.53，0.162）.

4.3 Bayes統(tǒng)計推斷方法估計統(tǒng)計參數(shù)

計算過程與3.3一致，得μ的后驗期望估計為

4.4 振動有效值的閾值設(shè)定

通常，設(shè)備振動較小時不認為是故障狀態(tài)，所以只需設(shè)定報警上限，而不用設(shè)定報警下限.根據(jù)閾值評定準(zhǔn)則，可求出閾值的報警限：

同理，隨機加權(quán)法設(shè)定的報警閾值為27.53，利用經(jīng)典統(tǒng)計法設(shè)定的報警閾值為27.68，單位均為mm／s2.

現(xiàn)模擬離心泵機組的地腳螺栓松動故障，測取并計算得到10組故障樣本（水平向加速度振動有效值）：G（30.17，27.61，28.72，27.16，28.68，29.46，28.08，29.43，26.93，31.64），單位為mm／s2.分別利用Bayes－隨機加權(quán)法、隨機加權(quán)法和經(jīng)典統(tǒng)計法設(shè)定報警閾值，結(jié)果見圖3.

圖3 離心泵機組水平向振動有效值報警線圖

從圖3可以看出：應(yīng)用Bayes－隨機加權(quán)法設(shè)定的報警線沒有出現(xiàn)誤報和漏報的情況，應(yīng)用隨機加權(quán)法設(shè)定的報警線出現(xiàn)2次漏報，應(yīng)用經(jīng)典統(tǒng)計方法設(shè)定的報警線出現(xiàn)3次漏報.由此可見，本文給出的振動狀態(tài)閾值設(shè)定方法因為融合了驗前信息，所制定的報警線更加的科學(xué)，得到最好的效果，而應(yīng)用隨機加權(quán)法制定的報警效果稍差，應(yīng)用經(jīng)典統(tǒng)計制定的報警效果最差.

5 結(jié) 論

1）隨機加權(quán)法適用于小樣本條件下的樣本擴充，與傳統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計相比，得出的統(tǒng)計參數(shù)的分布的估計精度更高，但該方法對樣本本身的信息依賴性較大，容易受樣本信息的波動而波動，造成估計精度誤差較大.

2）信息融合方法有效解決了來自不同分布數(shù)據(jù)的合理利用問題，該方法根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性大小合理的設(shè)定權(quán)重值.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性好時權(quán)重值設(shè)定較大，反之權(quán)重值就較小.

3）綜合運用隨機加權(quán)法、信息融合技術(shù)和貝葉斯方法進行參數(shù)的統(tǒng)計推斷，得出的推斷參數(shù)值合理和穩(wěn)定，可彌補隨機加權(quán)法的不足.

4）將Bayes－隨機加權(quán)法應(yīng)用到小樣本條件下的某離心泵機組整機振動閾值的設(shè)定.結(jié)果證明設(shè)定的閾值合理、有效.

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