陶襄樊，陳美霞，魏建輝

(華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引言

圍繞彈性結(jié)構(gòu)振動和輻射聲場預(yù)報這一問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛而深入的研究。目前主要的預(yù)報方法大致可以分為基于模態(tài)的方法、基于近場聲全息的方法以及基于物理聲學(xué)的方法等。

文獻(xiàn)［1］對聲輻射模態(tài)作了深入研究，并利用聲輻射模態(tài)對平板的輻射聲場進(jìn)行了重構(gòu)。文獻(xiàn)［2］以簡支矩形板為研究對象，分別運用振動模態(tài)和聲輻射模態(tài)對其輻射聲功率進(jìn)行了預(yù)報，并比較了2種模態(tài)展開方法對傳感器數(shù)目的要求。文獻(xiàn)［3］忽略聲波的波長對結(jié)果分辨率的影響，提出了近場聲全息技術(shù)。文獻(xiàn) ［4］以1個無限大障板簡支的薄板為研究對象，通過Helmholtz波動方程最小二乘法得到聲壓的球面波函數(shù)表達(dá)式，對簡支薄板的輻射聲場進(jìn)行預(yù)報，并與解析法結(jié)果進(jìn)行對比。文獻(xiàn)［5］對3種主流的近場聲全息技術(shù)的算法進(jìn)行了分析和對比，綜述近場聲全息發(fā)展的現(xiàn)狀。文獻(xiàn)［6］從物理聲學(xué)的角度，基于平面波假設(shè)直接建立表面聲壓與聲速的簡單關(guān)系，避免了Helmholtz積分方程及其逆矩陣的求解，實現(xiàn)了高頻范圍內(nèi)輻射聲場的快速預(yù)報。文獻(xiàn) ［7］以聲場疊加原理為基礎(chǔ)，根據(jù)聲傳遞特性直接建立結(jié)構(gòu)表面振動與輻射聲場間的傳遞關(guān)系提出了單元輻射疊加法，在更寬的頻率范圍內(nèi)實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)輻射聲場的快速近似預(yù)報。

通過結(jié)構(gòu)表面M個測點的振速及結(jié)構(gòu)前N階模態(tài)求解模態(tài)參與因子，是基于振動模態(tài)疊加原理預(yù)報結(jié)構(gòu)振動和輻射聲場的基礎(chǔ)?，F(xiàn)有的相關(guān)研究中，為使方程有唯一解，一般在M≥N的情況下求解模態(tài)參與因子，從而在N的值較大時需要布置非常多的傳感器。為解決這一問題，本文通過充分考慮模態(tài)參與因子向量自身的稀疏特性，提出了預(yù)報結(jié)構(gòu)振動和輻射聲場的欠定盲分離方法，實現(xiàn)在M＜N的情況下，對水下雙層加筋圓柱殼速度場的重構(gòu)，并以重構(gòu)出的速度場作為邊界條件，運用邊界元方法對水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲場進(jìn)行預(yù)報。

1 理論分析

1.1 模態(tài)疊加原理

對于水下彈性結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，由結(jié)構(gòu)干模態(tài)疊加原理［8］，結(jié)構(gòu)振動位移響應(yīng)向量在頻域中的解可表示為

式中:φr為真空中結(jié)構(gòu)的第r階振型;ξr為結(jié)構(gòu)的第r階模態(tài)參與因子。將式(1)表示成矩陣的形式:

式中:［Φ］為結(jié)構(gòu)在真空中的固有模態(tài)矩陣，稱為干模態(tài)，可以看成是結(jié)構(gòu)在空氣中的模態(tài)矩陣;［ξ］為模態(tài)參與因子向量。

對于水下雙層加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)，若將其離散為n自由度系統(tǒng)，由式(2)可得，結(jié)構(gòu)表面法向振動速度場可表示為

由模態(tài)疊加原理［9］可知，高階模態(tài)對結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的貢獻(xiàn)很小，所以可采用模態(tài)截斷的方法，忽略高階模態(tài)的影響。設(shè)選取的模態(tài)階數(shù)為N，式(3)可表示為

從而可得結(jié)構(gòu)表面任意M個測點法向振速為

由式(5)可以看出，通過M個測點法向速度，結(jié)合結(jié)構(gòu)空氣中的前N階模態(tài)矩陣，如果能求得模態(tài)參與因子向量 ［ξ］N×1，則由式(4)可以重構(gòu)出結(jié)構(gòu)表面的速度場，實現(xiàn)預(yù)報水下雙層加筋圓柱殼振動和輻射聲場的目的。

對于由式(5)確定的線性方程組，當(dāng)M≥N時，式(5)為超定或恰定方程組，通過最小二乘法或解方程可以得到 ［ξ］N×1的唯一解，但此時測點數(shù)目必須大于或等于模態(tài)的數(shù)目。對于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，當(dāng)振動響應(yīng)的頻率較高時，需要的模態(tài)數(shù)目較多，此時需要布置較多的傳感器，實際中往往難以實行。

相比而言，M＜N更符合實際中常常需要的情況。此時式(5)為欠定方程組，方程的解非唯一，這成為在M＜N的情況下進(jìn)行速度場預(yù)報的難點。由模態(tài)疊加原理可知，對于結(jié)構(gòu)在某一頻率下的響應(yīng)，只有少數(shù)幾階模態(tài)的貢獻(xiàn)較大，其他各階模態(tài)對響應(yīng)的貢獻(xiàn)都很小，從而 ［ξ］N×1向量具有一定的稀疏特性。本文的欠定盲分離預(yù)報方法正是從 ［ξ］N×1向量自身的稀疏特性出發(fā)，從式(5)的所有解中，尋找最接近結(jié)構(gòu)實際振動情況的解。

1.2 欠定盲分離方法

欠定盲分離是信號研究領(lǐng)域里近幾年的一個熱點問題，主要用來解決式(6)所描述的問題:

向量的稀疏性是指向量的大多數(shù)元素為0或接近0，而遠(yuǎn)大于0的元素個數(shù)非常少;向量中遠(yuǎn)大于0的元素個數(shù)越少代表向量越稀疏。式(6)所描述的是1個優(yōu)化問題:當(dāng) ［V］M×1和 ［Φ］M×N已知時，在M＜N的情況下，通過研究 ［ξ］N×1滿足的稀疏特性，對 ［ξ］N×1附加稀疏性約束，從等式條件的所有解中，找出滿足 ［ξ］N×1向量稀疏特性的最優(yōu)解。該最優(yōu)解可作為實際情況的近似解。

數(shù)學(xué)上向量的0范數(shù)l0定義為向量中非零元素的個數(shù)，因此可以用向量的0范數(shù)l0來對向量的稀疏性進(jìn)行度量［10］，從而可以將欠定方程組(5)的求解問題轉(zhuǎn)化為

l0范數(shù)最小化問題是一個非凸最優(yōu)化問題，目前為止還沒有解決這一問題的有效算法，并且當(dāng)‖ξ‖0=M時，任何滿足約束條件的有M個非零元素的向量 ［ξ］都是式(7)的最優(yōu)解，從而無法確定最終解。針對這一問題，文獻(xiàn) ［11］指出l0與l1范數(shù)解的等價性，利用l1范數(shù)代替l0范數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為一個凸最優(yōu)化問題，式(7)可以等價表述為

綜合式(6)～式(8)可以看出，利用盲分離的思路，通過 ［ξ］N×1向量具有的稀疏特性，結(jié)構(gòu)速度場的重構(gòu)問題可以轉(zhuǎn)化為在等式［V］M×1=［Φ］M×N［ξ］N×1條件下，求模態(tài)參與因子使其1范數(shù)最小的優(yōu)化問題。式(8)所表述的凸最優(yōu)化問題的解可以唯一確定，并且對這一類凸最優(yōu)化問題，目前已有多種成熟的求解方法，如線性規(guī)劃法［12］、最短路徑法［13］和組合算法［14］等，其中線性規(guī)劃法是一種常用的求解方法。

本文在M＜N的情況下，采用線性規(guī)劃方法對該優(yōu)化問題進(jìn)行求解。由式(8)可以看出，模態(tài)選取的階數(shù)、測點的位置及個數(shù)都會對式(8)中的等式約束條件產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響到 ［ξ］N×1的解。首先用數(shù)值方法對這些影響因素進(jìn)行分析，在分析的基礎(chǔ)上，通過數(shù)值和試驗方法對水下雙層加筋圓柱殼的振動和輻射聲場的預(yù)報結(jié)果進(jìn)行驗證。

2 數(shù)值分析

2.1 模型介紹

本文所選用的模型為工程領(lǐng)域里常用的雙層圓柱殼結(jié)構(gòu)，具體結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。雙層圓柱殼內(nèi)徑R1=0.425 m;外徑R2=0.525 m;長度L=1.05 m;內(nèi)殼厚度t=4 mm;外殼厚度t2=2 mm;實肋板厚度t3=2 mm;內(nèi)殼環(huán)肋截面尺寸4 mm×33 mm;材料彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，阻尼比ξ=0.005。

2.2 影響預(yù)報結(jié)果的因素

根據(jù)上述的欠定盲分離預(yù)報方法，本文首先研究選取的模態(tài)階數(shù)對預(yù)報結(jié)果的影響。考慮到水下雙層加筋圓柱殼的測點一般布置在內(nèi)殼，在雙層加筋圓柱殼的內(nèi)殼均布了24個測點，對24個均布測點由A到C截面依次編號為1～24號，如圖1所示。以圖1中坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系，在聲場中確定了2個場點，分別為P(0，6，0.525)和Q(0，10，0.525)。以水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲功率和較遠(yuǎn)場點Q的場點聲壓作為評價標(biāo)準(zhǔn)，比較了不同模態(tài)階數(shù)對預(yù)報結(jié)果的影響，結(jié)果如圖2所示。

經(jīng)分析可以看出:在0～400 Hz范圍內(nèi)，利用前300，500和700階模態(tài)均可較準(zhǔn)確預(yù)報出輻射聲功率和場點聲壓;在400～800 Hz范圍內(nèi)，利用前300階模態(tài)預(yù)報出的輻射聲功率結(jié)果偏差較大，利用前500和700階模態(tài)預(yù)報出的輻射聲功率和場點聲壓結(jié)果較準(zhǔn)確。說明預(yù)報時所需要的模態(tài)階數(shù)與結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的計算頻率有關(guān)，計算頻率越大，所需要的模態(tài)階數(shù)也就越多，當(dāng)選取的模態(tài)包括了對響應(yīng)貢獻(xiàn)最大的幾階模態(tài)后，再增加模態(tài)的階數(shù)對預(yù)報結(jié)果的影響不大，這與模態(tài)疊加法計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的原理是一致的。

由圖2可看出，利用前500階模態(tài)已經(jīng)可以較準(zhǔn)確重構(gòu)出0～800 Hz的輻射聲場。在保持模態(tài)階數(shù)N為500的情況下，本文研究了測點位置的變化對預(yù)報結(jié)果的影響。分別選取2組測點，一組為圖1中的24個均布測點，另一組為24個隨機選取的測點，對比結(jié)果如圖3所示。

由圖3可看出，在0～400 Hz的頻率范圍內(nèi)，通過24個均布測點預(yù)報所得的輻射聲功率和場點聲壓結(jié)果與24個隨機測點結(jié)果相差不大，在400～800 Hz的頻率范圍內(nèi)，24個隨機測點預(yù)報結(jié)果的擾動性較大，相比之下，24個均布測點預(yù)報出的結(jié)果更加穩(wěn)定。由式(8)可以看出，等式約束條件與所選的測點對應(yīng)，所選測點越能反映計算頻率處整個結(jié)構(gòu)的振動分布情況，則預(yù)報的結(jié)果越準(zhǔn)確，24個均布測點考慮到的位置越全面，越能更好反映0～800 Hz范圍內(nèi)各個計算頻率處結(jié)構(gòu)的振動分布情況，預(yù)報結(jié)果的準(zhǔn)確性就更穩(wěn)定，在布置測點時，建議優(yōu)先選取均布的方式來布置測點。

在以上分析的基礎(chǔ)上，仍取模態(tài)階數(shù)為500，進(jìn)一步研究了測點數(shù)目的變化對預(yù)報結(jié)果的影響。依次選擇了12，24和40個測點來進(jìn)行預(yù)報。其中12個測點為圖1中1～24號測點中的奇數(shù)號點;24個測點為圖1中1～24號測點，40個測點為在1～24號測點的基礎(chǔ)上在每相鄰兩檔測點的中間又對應(yīng)均布8個測點所得到的測點。對比結(jié)果如圖4所示。

圖4 24個均布測點和40個均布測點前500階模態(tài)重構(gòu)結(jié)果對比Fig.4 The comparison of reconstruction between twenty-four equispaced measure points and forty equispaced measure points in five hundred modes

由圖4可看出，12個測點預(yù)報出的輻射聲功率和場點聲壓偏差較大，24個和40個場點預(yù)報出的輻射聲功率和場點聲壓較準(zhǔn)確，并且40個測點比24個測點能更準(zhǔn)確預(yù)報出場點聲壓。說明通過欠定盲分離的方法可以實現(xiàn)較少測點預(yù)報輻射聲場的目的，并且增加測點的個數(shù)可以提高預(yù)報的精度。

綜合分析圖2～圖4的結(jié)果可以看出，本文提出的欠定盲分離預(yù)報方法夠通過較少數(shù)目的測點對水下雙層加筋圓柱殼輻射聲場做出預(yù)報，并且該方法對模態(tài)階數(shù)及測點位置的要求比較寬松，使得該預(yù)報方法在實際使用時有一定的靈活性。

2.3 數(shù)值預(yù)報結(jié)果

在上述分析的基礎(chǔ)上可以看出，通過24個均布測點和結(jié)構(gòu)的前500階模態(tài)，可以較好地對圖1所示的水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲場進(jìn)行預(yù)報。為了進(jìn)一步驗證欠定盲分離方法的預(yù)報結(jié)果，本文對這一條件下的振動和輻射聲場的預(yù)報結(jié)果進(jìn)行了綜合分析，結(jié)果如圖5～圖8所示。

圖5 振速級和聲功率級預(yù)報結(jié)果Fig.5 The reconstruction results of vibration velocity and radiated acoustic power

從圖5可以看出，本文方案在0～800 Hz的頻率范圍內(nèi)對結(jié)構(gòu)均方振速的預(yù)報與數(shù)值計算結(jié)果吻合得很好，能滿足預(yù)報精度的要求。對輻射聲功率的預(yù)報結(jié)果，在0～800 Hz頻率范圍內(nèi)與數(shù)值計算結(jié)果基本一致;數(shù)值計算結(jié)果表明在400～600 Hz范圍內(nèi)輻射聲功率有一段較劇烈的波動，而本文方法對這一波動細(xì)節(jié)的預(yù)報能力較差。綜合對比均方振速和輻射聲功率的結(jié)果，本文方法能在滿足要求的誤差范圍內(nèi)對水下雙層加筋圓柱殼均方振速和輻射聲功率進(jìn)行預(yù)報。

在以上分析的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步對水下雙層加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)輻射聲場的場點聲壓和聲壓指向性進(jìn)行了預(yù)報。其中，聲壓對比所選場點為圖1中坐標(biāo)系下的 P(0，6，0.525)和 Q(0，10，0.525)點;聲壓指向性對比所選的場點位于中垂面內(nèi)R=50 m的圓周上，選取的預(yù)報頻率為260 Hz和680 Hz。對比結(jié)果如圖6和圖7所示。從圖6可以看出，在0～800 Hz的頻率范圍內(nèi)，本文方法能較準(zhǔn)確預(yù)報出輻射聲場中的場點聲壓隨頻率的變化情況，重構(gòu)結(jié)果和預(yù)報結(jié)果吻合得很好。從圖7可以看出，在f=260 Hz和f=680 Hz這2個峰值頻率處，預(yù)報結(jié)果能對輻射聲場的聲壓指向做出判斷。場點聲壓和聲壓指向性的結(jié)果說明，在測點數(shù)目較少的情況下，利用欠定盲分離方法對水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲場進(jìn)行預(yù)報是可行的。

本文同時對比了f=260 Hz和f=680 Hz頻率處前500階模態(tài)的模態(tài)參與因子，結(jié)果如圖8所示。

圖8 模態(tài)參與因子重構(gòu)結(jié)果Fig.8 The construction results of modal participation facto

從圖8可知，在260 Hz和680 Hz的響應(yīng)峰值頻率處，欠定盲分離方法所得的模態(tài)參與因子與數(shù)值計算結(jié)果基本一致，重構(gòu)結(jié)果能找到對響應(yīng)貢獻(xiàn)最大的模態(tài)，并且重構(gòu)出的最大模態(tài)參與因子誤差在5%以內(nèi)，說明基于模態(tài)參與因子自身的稀疏特性，運用欠定盲分離方法求解模態(tài)參與因子是合理的。

3 結(jié)語

本文提出一種欠定盲分離的方法并對水下雙層加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)輻射聲場進(jìn)行預(yù)報。數(shù)值結(jié)果表明該方法的預(yù)報結(jié)果是可靠的，并且該方法中測點數(shù)目和選取的模態(tài)階數(shù)相互獨立，能實現(xiàn)用較少數(shù)目的測點預(yù)報結(jié)構(gòu)振動和輻射聲場的目的。

同時，本文研究了測點位置、模態(tài)階數(shù)和測點數(shù)目對欠定盲分離方法預(yù)報結(jié)果的影響，在測點位置和數(shù)目一定時，當(dāng)所取的模態(tài)階數(shù)滿足計算頻率所需要的模態(tài)階數(shù)后，再增加模態(tài)階數(shù)對預(yù)報結(jié)果的影響非常小，這說明本文方法的預(yù)報結(jié)果在一定范圍內(nèi)不會隨模態(tài)階數(shù)的變化而出現(xiàn)振蕩，具有較好的穩(wěn)定性。在模態(tài)階數(shù)一定時，均布測點和任意位置測點均可以對輻射聲場進(jìn)行預(yù)報，說明本文方法對測點位置的要求比較寬松，由于均布測點能更好地反映結(jié)構(gòu)在各個計算頻率處的振動分布情況，預(yù)報出的結(jié)果更穩(wěn)定，在選取測點的位置時，建議優(yōu)先采用均布測點的測點布置方式。

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