馮國強， 李戰(zhàn)武， 柳 毅

(1.空軍工程大學(xué)工程學(xué)院，西安 710038; 2.光電控制技術(shù)重點實驗室，河南洛陽 471009)

0 引言

機載紅外搜索跟蹤(Infrared Search and Track，IRST)系統(tǒng)是一類重要的無源探測系統(tǒng)，通過熱點跟蹤方式對目標進行探測跟蹤，與機載雷達系統(tǒng)相比，具有隱蔽性好、抗干擾能力強等優(yōu)點。通常，機載IRST系統(tǒng)僅能提供目標的方位角及俯仰角信息，但無法提供目標的距離信息，也就無法真正地實現(xiàn)無源定位。這樣，如何實現(xiàn)機載IRST系統(tǒng)被動測距的研究課題就被提了出來［1］。

被動測距是討論如何利用角度觀測值估算距離的問題。其主要思想是采用濾波算法從獲得的目標角度信息中實時準確地估計目標的距離信息。為了滿足實際工程需要，提高距離估計精度和實時性，設(shè)計合適的濾波算法是被動測距的關(guān)鍵［2－3］。由于缺乏距離信息，直角坐標系下機載IRST系統(tǒng)觀測方程的非線性性質(zhì)決定了被動測距必須采用非線性濾波方法。傳統(tǒng)的非線性濾波方法是擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filer，EKF)［4］，但在擴展卡爾曼濾波方法中，由于對非線性函數(shù)的一階線性化，使得解析的狀態(tài)分布在此過程中不可避免地引入了線性化誤差，降低了濾波精度甚至導(dǎo)致濾波器不穩(wěn)定。為了改善對非線性問題的濾波效果，Julier等人提出了無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filtering，UKF)方法［5］，它是對非線性系統(tǒng)的概率密度函數(shù)進行近似，而不是對系統(tǒng)非線性函數(shù)進行近似，因此避免引入線性化誤差，且不需要計算Jacobi矩陣，比EKF算法具有更好的穩(wěn)定性及跟蹤精度。但標準UKF算法，不僅需要對狀態(tài)空間進行擴維，而且不論系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測量方程是否為非線性方程，需要同時進行無跡變換，運算量大。如將其應(yīng)用到機載IRST系統(tǒng)被動測距中將嚴重影響目標距離估計的實時性，這對于瞬息萬變的空戰(zhàn)態(tài)勢來說十分不利。

針對上述問題，本文根據(jù)機載IRST系統(tǒng)被動測距的數(shù)學(xué)模型，在不影響濾波性能前提下，對標準UKF算法進行簡化，給出了一種簡化的UKF(SUKF)算法。該算法無需對狀態(tài)變量擴維，也不需要用Sigma采樣點來近似狀態(tài)預(yù)測值和方差，在保持UKF濾波性能的同時又降低了計算復(fù)雜度，有利于實際應(yīng)用。仿真實驗驗證了SUKF在機載IRST系統(tǒng)被動測距中的有效性。

1 標準UKF算法

標準UKF適用于任何非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計，算法如下。

設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

觀測方程為

式中:Xk為n維狀態(tài)向量;Zk為m維觀測向量;wk－1為與狀態(tài)無關(guān)的p維狀態(tài)噪聲，協(xié)方差為Q;vk為獨立于狀態(tài)噪聲的q維觀測噪聲，協(xié)方差為R。

從式(1)、式(2)可以看出，狀態(tài)噪聲和觀測噪聲均為非線性方程的變量，對應(yīng)著標準UKF。在求Sigma點時，需要對狀態(tài)進行擴維處理［6］，針對式(1)定義的系統(tǒng)，令

1)初始化。

2) 計算 Sigma點及其相應(yīng)的權(quán)值［7－8］。

采用比例修正對稱采樣產(chǎn)生擴維狀態(tài)的Sigma點集式中:λ=α2(N+κ)－N 為比例因子，1e－4≤α≤1用來控制無跡變換Sigma樣本點的分布范圍，當系統(tǒng)非線性較強時，給α取一較小正值，κ為自然數(shù)，β≥0主要用來控制后驗分布函數(shù)高階矩的影響，在高斯分布情況下，選取為矩陣均方根的第i行或第i列，該矩陣均方根的求解可由Cholesky分解得到。

3) 時間更新［8］。

4) 測量更新［8］。

由于N=n+p+q，易知擴維后的采樣點數(shù)為2N+1，算法復(fù)雜度為0(N3)。顯然，標準UKF算法的復(fù)雜度與擴維狀態(tài)的維數(shù)成三次方遞增，當n、p和q的維數(shù)都較高時，運算量顯著增加，這對實時應(yīng)用場合是不利的。

2 機載IRST系統(tǒng)被動測距數(shù)學(xué)模型

載機地理坐標系中目標相對于觀測載機的空間幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 直角坐標系中目標－載機相對幾何關(guān)系Fig.1 Relative geometrical relation between the airplane and target in rectangular coordinates

機載IRST系統(tǒng)被動測距問題可描述為:已知觀測時間序列上載機的位置坐標{(xo1，yo1，zo1)，(xo2，yo2，zo2)，…，(xok，yok，zok)}，利用 IRST 系統(tǒng)測量的目標方位角和俯仰角{(β1，ε1)，(β2，ε2)，…，(βk，εk)}，計算目標相對距離{r1，r2，…，rk}。

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

如圖1所示，取目標相對運動狀態(tài)變量為Xk=，而其增加下標“O”與“T”分別表示載機和目標在地面三維直角坐標系中的狀態(tài)變量，考慮到測角被動測距的可觀測性［9－10］，設(shè)載機在三維空間里機動運動，第k時刻的加速度為Uok=［aox，k，aoy，k，aoz，k］T，載機的狀態(tài)方程為

設(shè)目標勻速直線運動，狀態(tài)方程為

其中狀態(tài)噪聲 wk－1=［wx，k－1，wy，k－1，wz，k－1］T是相互獨立的零均值高斯白噪聲，其協(xié)方差為:Qk=Q=qI3×3。

則在載機地理坐標系中，勻速運動目標的相對狀態(tài)方程為

2.2 系統(tǒng)觀測方程

根據(jù)模型中的幾何關(guān)系，方位角βk、俯仰角εk和待估計量(xk，yk，zk)關(guān)系為

用狀態(tài)方程法表示觀測方程為

3 SUKF在機載IRST系統(tǒng)被動測距中的應(yīng)用

3.1 SUKF算法的基本思想

在很多實際應(yīng)用場合，系統(tǒng)的模型并不像式(1)那樣復(fù)雜，一般會存在以下兩種情況［11］:1)狀態(tài)噪聲wk－1和/或觀測噪聲vk為加性噪聲;2)狀態(tài)方程和測量方程并不都是非線性方程。當實際系統(tǒng)滿足以上條件之一時，均可考慮在保證濾波器性能的前提下對標準UKF進行適當?shù)暮喕赃_到降低計算量的目的:簡化算法中，對于加性噪聲，無需對狀態(tài)量進行擴維，可以不同程度的減少運算量;而對于線性方程，理論上由于卡爾曼濾波器(KF)是最優(yōu)的，因此可以直接用KF進行運算，而不必用多個采樣點來近似，這就是簡化的UKF(Simplified UKF，SUKF)算法思想。

3.2 機載IRST系統(tǒng)被動測距中的SUKF算法推導(dǎo)

考慮式(16)和式(19)所描述的機載IRST系統(tǒng)被動測距模型，觀測方程是非線性的，而狀態(tài)方程是線性的，且狀態(tài)噪聲和觀測噪聲都是加性的高斯白噪聲。由前面的討論知，用SUKF算法進行處理時，無需對狀態(tài)變量進行擴維，同時對于線性狀態(tài)方程直接應(yīng)用KF進行時間更新，由此得到的SUKF算法的詳細流程如下。

2)時間更新。

3)測量更新。

計算Sigma采樣點

式中:L是狀態(tài)維數(shù)。

4 仿真分析

下面對本文所提算法進行仿真驗證，并與EKF、UKF進行對比。

4.1 仿真設(shè)計

目標從位置(32 km，29 km，5 km)開始，沿X軸正方向勻速直線運動，速度大小為0.25 km/s。為滿足可觀測性要求，觀測載機從位置(10 km，10 km，3 km)開始，以0.25 km/s速度沿平行于目標的運動方向反復(fù)循環(huán)作加速—減速—加速運動，加速度為±0.5g，速度變化范圍為［0.25 km/s 0.4 km/s］。其中t時刻加速度的變化滿足如下規(guī)律

載機利用IRST系統(tǒng)測量的角度信息完成目標距離的估算。測量誤差分兩組，第1組誤差較小，方位角、俯仰角測量誤差為0.5 mrad;第2組誤差較大，方位角、俯仰角測量誤差為2 mrad。

仿真中濾波器初值分兩種情況設(shè)置:1)初值有誤差，假定目標距離搜索范圍為0～150 km，速度范圍假定為 －0.45～ +0.45 km/s，在此假定下可由概率論知識得到目標位置和速度的期望值以及協(xié)方差值作為濾波器初始條件［12］;2)初值準確，無誤差。

仿真性能用測距誤差衡量，定義第i次仿真中k時刻的測距誤差為

其中:N為觀測次數(shù);M為Monte-Carlo仿真次數(shù)，仿真中采用M次仿真實驗距離誤差的平均值作為測距誤差的輸出。

設(shè)采樣周期T=1 s，觀測次數(shù)N=200 s，在相同的初始條件下進行100次Monte-Carlo仿真。實驗是在一臺Pentium 4 CPU 3.06 GHz計算機上利用Matlab完成的。

4.2 仿真結(jié)果及分析

圖2給出了初值有誤差情況下，不同測量誤差的距離誤差曲線。由圖2可以看出，對于第1組誤差較小的情況，SUKF和UKF都可以在90 s內(nèi)將測距誤差收斂至100 m以下，并且隨著時間推移，二者測距誤差曲線幾乎完全重合，而EKF收斂效果最差，表現(xiàn)為收斂速度慢、測距精度不高;對于第2組誤差較大的情況，各算法的距離估計誤差都有所增加，SUKF和UKF的收斂效果仍優(yōu)于EKF。盡管SUKF和UKF在開始一小段時間對距離的估計存在細微的差異，致使收斂曲線不完全一致，但120 s內(nèi)兩曲線就趨于重合，且將測距誤差收斂至200 m以下。

圖2 初值有誤差情況下的距離誤差曲線Fig.2 The error curve of distance for biased initial value

圖3 給出了在初值無誤差情況下的距離誤差曲線。

圖3 初值無誤差情況下的距離誤差曲線Fig.3 The error curve of distance for precise initial value

由圖3可見，在初值無誤差而且測量誤差很小的理想情況下，UKF和SUKF的距離誤差收斂曲線比較接近，性能基本一致，而EKF收斂速度最慢，但收斂后與前兩者的性能相差不大;隨著測量誤差的增大，UKF和SUKF的性能也基本相同，但EKF的測距精度明顯差于UKF和本文算法，究其原因，測量方程(20)的非線性是較強的，EKF由于采用一階泰勒級數(shù)展開近似，當出現(xiàn)大的估計誤差時其線性化誤差的影響也很大，因此收斂效果不佳。

總的來說，相對而言EKF對于測量誤差、初始狀態(tài)估計誤差都很敏感;SUKF和UKF兩種濾波器的性能基本一致，比EKF性能要好一些。

表1給出了不同算法完成一次時間遞推平均所需的計算時間。從表1可以看出，EKF算法的運算量最小，UKF的運算量比其他兩者都高，而SUKF的運算時間相比于UKF減少了約35%。

表1 不同算法的運算時間比較Table 1 Computation time cost of different algorithms

由此可見，SUKF應(yīng)用到機載IRST系統(tǒng)被動測距問題中，具備了和UKF同樣的濾波精度，但其所需要的運算時間卻比UKF大大減少，非常適合于實時應(yīng)用。

5 結(jié)論

本文針對機載IRST系統(tǒng)被動測距問題，根據(jù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)噪聲和觀測噪聲均為加性噪聲，狀態(tài)方程為線性而測量方程為非線性的特點，推導(dǎo)了簡化的UKF(SUKF)濾波算法。該算法采用較少的采樣點，用UT變換解決了非線性問題，而利用卡爾曼濾波理論處理線性問題。仿真結(jié)果表明，與經(jīng)典EKF相比，UKF測距精度高，并且不需要計算Jacobi矩陣，實現(xiàn)起來要相對容易，但以計算時間為代價。而SUKF具有與UKF幾乎相同的測距精度，且SUKF能在保證濾波器性能的同時降低運算開銷。因此，SUKF是一種行之有效的非線性濾波方法，更適合在機載IRST系統(tǒng)被動測距中應(yīng)用。

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