☉江蘇省南通中學 楊建楠

課堂中暴露思維過程是數學教學的靈魂

☉江蘇省南通中學 楊建楠

一、什么是課堂中的暴露思維過程

數學課堂中暴露思維過程指：在課堂中向學生展示數學家的思維、教師的思維以及學生的思維三種思維活動.具體地說，就是將知識的形成過程、結論的探索過程、問題的深化過程、分析問題和解決問題的過程展現出來.數學教學大綱指出：“數學教學中，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心.”“數學的學習過程不僅是知識的接收、貯存和應用的過程，更重要的是思維的訓練和發(fā)展過程.”在課堂上暴露思維過程，是為了潛移默化地培養(yǎng)學生的數學能力，數學是思維的體操，數學課堂以思維的訓練和發(fā)展為主線與目標，而思維的訓練和發(fā)展又是以暴露思維過程為前提的，數學能力是在暴露思維的過程中得到錘煉和提高的.數學課堂活動中，師生雙方都應該充分暴露思維過程，一方面：教師將教材安排的意圖，自己處理問題的想法表現出來，展現給學生，便于學生深層次的理解與思維方法的借鑒；另一方面：學生將自己對問題的認識，如何思考與研究問題的思維過程暴露出來，便于教師及時反饋評價與有針對性的糾錯.這樣數學課堂活動就溝通了師生間思維路線，形成“教”與“學”的回路，這樣的數學教學才有助于優(yōu)化學生的思維品質，發(fā)展學生的思維能力，因此可見課堂中暴露思維過程是數學教學的靈魂．

二、課堂教學中暴露思維過程的原則

暴露數學思維過程的目的是使學生在原有知識和經驗的基礎上，在主動參與中，通過操作與實踐，由外部活動逐漸內化，完成知識的發(fā)展過程和“獲取”過程，突破學生思維障礙，所以在數學教學中，暴露思維發(fā)生發(fā)展過程是符合學生認識規(guī)律的．暴露數學思維過程教學中要堅持：（1）主體性原則，課堂教學中，要求體現學生是思維活動的主體．遵循學生的思維規(guī)律，課堂教學活動中要求教師與學生的思維同步，必須按照思維活動過程的規(guī)律進行教學，使學生能形成良好的認知結構，優(yōu)化的思維品質．（2）對應性原則，課堂教學中，要注意二個方面的對應，一是暴露思維過程應當與教材結構和教學內容相對應，二是必須要圍繞著教學難點去分析和設計暴露的程序與思考的對策．（3）啟發(fā)性原則，課堂教學中，要尊重學生的思維特點，不能置學生的心理狀態(tài)和思維狀態(tài)于不顧，超前指路，也不可強制學生按自己提出的途徑和方法去思考問題，越俎代庖選取優(yōu)化的啟發(fā)策略，課堂活動中當學生思維受阻時，教師應遵循學生思維的途徑和規(guī)律啟發(fā)學生，應當善于因勢利導、層層設疑、步步深入，朝著有利于學生思維發(fā)展的方向去啟發(fā)與引導．（4）過渡性原則，課堂教學中，暴露思維過程要適時、恰當，把握好“過渡”契機，使得課堂教學中的暴露過程具有“過渡”的合理性．（5）雙方性原則，課堂教學中，思維的暴露不僅僅是一方面的，它必須是師生雙方共同在教學活動中充分暴露思維的一個過程．

三、課堂教學中暴露思維過程的時機

1．在探索中暴露

教材因為篇幅的關系許多內容省略了知識的發(fā)展、探索過程，數學中的定理性質是如何發(fā)現的，解決問題的方法是如何構想的和研究的，學生對它們的發(fā)現和探索過程有種神秘感和疑惑感．在課堂活動中，教師去模擬知識形成的原始思維，暴露探索知識的過程，為學生創(chuàng)設問題情景，教會學生去發(fā)現問題與研究問題的思維方式以及方法．

2．在反思中暴露

學生在學習數學過程中，往往注重數學的結論，輕視獲得結論的思維過程中，輕視反思問題，輕視深化知識的過程．而學習中的反思是思維發(fā)展的重要手段，所以在課堂活動中要善于去啟發(fā)、引導學生去反思思維過程，以達到暴露思維的目的．

案例2：以原點O和點A（5，2）為頂點作等腰Rt△OAB使∠B=90°，求點B的坐標．

由于解析幾何的思維習慣性，學生意識不到向量方法的應用，這三種方法的層層推進，計算的優(yōu)化只是表象，思維的變化才具有更多的價值．

3．在延伸中暴露

教師指導學生解題、證題，常有這種現象，題解完了，但學生的思維過程并沒有結束，教師若能抓住這個理想的思維機會，把學生想要延伸或想要表達出的的思維過程揭示出來，這不僅僅拓寬了思維空間，延長了思維的時間，而且加大了思維的力度，促使了思維的“上升”．例如：解后審視解題過程，評價原認識過程，檢查解題過程是否準確，討論或論證是否嚴密，方法是否恰當，有沒有更簡捷更高明的方法，對所得的結果能否進一步引申推廣，能否總結出規(guī)律來等等，通過延伸思維引導學生自我總結和領悟解題中的數學思維與數學方法，積累對數學知識聯系的整體感知，

案例3：解析幾何復習課.

例題 已知：點P在橢圓x2+4y2=4上運動，求定點A（0，2）到動點P的距離AP的最大值．（講解完以后，師生共同對問題的條件、結論等進行改變以及拓展）

變題1：將求AP的最大值改為求AP的最小值．

變題2：將橢圓改為雙曲線x2－4y2=4，結論改為求AP的最小值．

變題3：將橢圓改為拋物線y2=2x，結論改為求AP的最小值．

變題4：已知點P在橢圓x2+4y2=4上運動，定點A（0，a）（a＞0），求AP的最大值．

變題5：動點Q在圓x2+y2－4y+3=0上運動，動點P在橢圓x2+4y2=4上運動，求PQ的最大值．

變題6：求三角式（cosα－2cosβ）2+（2+sinα－sinβ）2的最大值．

4．在鋪墊中暴露

數學解題教學是數學教學的重要手段，因此教師在解題時要充分暴露思維的過程．解題方法的優(yōu)劣、速度的快慢都取決于思維能力的高低，而思維的提高與發(fā)展又依賴于解題過程中所創(chuàng)設的問題情景，所以解題教學中暴露思維過程是培養(yǎng)思維能力的良田沃土．一般來說，綜合性能愈強，知識跨度愈大的數學題，要求解題的思維層次愈高、方法的技巧性愈熟練，思維訓練的價值愈大，學生就愈難以理解．這就要教師精心設計，做好中介鋪墊，減小問題的坡度，從未知順利的引渡到已知．鋪墊思維暴露，就是把架橋鋪路的思維過程暴露出來，給學生架起思維的“梯子”，促使學生思維上“臺階”．

案例4：由數列遞推關系求數列通項.

例題 已知數列{an}中，a1=1，an+1=an+1，求通項an．

（學生齊聲）：因為an+1－an=1，所以{an}是等差數列，所以an=1+（n－1）·1=n．

T：很好．若將an+1=an+1改為［變式1］an+1=an+2n－1，此時由an+1－an=2n－1推不出{an}是等差數列，我們如何去求解？

T：（啟發(fā)）思維受阻時不妨“特殊探路”——譬如求a4．

S2：a2－a1=1，①?a2=2，a3－a2=2，②?a3=4，a4－a3=4，③?a4=8．

T：那么求a100呢？難道也是這樣一項一項求？能否直接求出a4呢？

S3：有了，只要把①、②、③式相加即得a4－a1=1+2+4，所以a4=8．

T：對，這叫做“設而不求”，這個解法我們取名為“累加法”．現在你們會求an了嗎？

學生很快地求出了an=2n－1．

T：那位同學能對上述問題做一個小結．

S4：形如an+1=an+f（n）的遞推關系式，常用累加法轉化為等差（比）數列求和．（T：我們把這樣的方法叫做累加法）

T：下面，再將an+1=an+2n－1變?yōu)椋圩兪?］an+1=an·2n－1怎么求an？

S5：類比［變式1］的解法我們可以知道可以用累乘法

T：你能給這樣的題型做一個小結嗎？

S5：形如an+1=an·f（n）的遞推關系，常用累乘法求通項．

T：再將前面問題中的an+1=an+1改為［變式3］an+1=2an+1（其他不變），如何求an？

T：很好，答案正確，但這僅僅是猜想，還需要用數學歸納法加以證明．這也是一種方法，這叫“先猜后證法”．請大家思考有無更簡便的方法？能否轉化為等差（比）數列？{an}本身是等差（比）數列嗎？

n+1n數）．

T：很好，他們由an+1=2an+1能轉化成一個復合型{an+c}，然后說明復合型{an+c}是等比數列，an就可求了，能把這一方法推廣到一般性？

5．在設計中暴露

課堂教學中精心設計的診斷性題目，通過題目的設計達到暴露思維的目的．如何設計好有診斷性的題目呢？首先要了解學情：了解學生可能產生的錯誤想法，設計在學生思維和方法上容易出錯的地方設計，其次在實施過程中，要使學生的觀點充分暴露后，再提出矛盾，抓住它做剖析治理．從暴露學生失誤思維入手，啟發(fā)學生自悟、自救．面對學生的失誤不要過早的點明，而應在暴露學生思維失誤的過程中，讓學生自我發(fā)現，在教師的正確思維的引導下自我糾正．

6．在討論中暴露

在課堂教學中，為了充分的暴露學生的思維過程，在教學中教師要有意識的設置疑難，有組織的展開討論，把疑難問題引人深思，常常選擇一些學生不易理解的概念，不能正確運用的知識或容易混淆的問題讓學生討論，從錯誤中引出正確的結論，給學生留下深刻的印象．

7．在細微中暴露

課堂教學中教學中，有許多細微部分往往具有十分豐富的思想內含，存在著很大的思維訓練價值，因此在教學活動中教師要善于“小題大做”，促使在“細微”中充分暴露思維過程．例如：在等比數列求和公式教學中，教會學生識記、應用公式固然重要，但更重要的是推導公式過程中所涉及的思維方法和求數列前n項和的思維策略．所以講授時對公式的推導過程應采用慢鏡頭的思維剖析，挖掘“錯位相減法”的思維過程，為后面學習數列求和打下了堅實的基礎．講指數函數、對數函數概念時，應暴露底數a范圍規(guī)定的原因，強調a的區(qū)域，通過“假設”反問，反復暴露，反復強刺激學生，給學生留下深刻印象，為后面研究其性質埋下伏筆．對教材細微之處的挖掘有助于學生的進一步學習，有利于培養(yǎng)學生思維的深刻性和嚴密性．

1．薛茂芳．數學概念及其教學［M］.鄭州：河南教育出版社，1994．

2．涂榮豹．談提高對數學教學的認識［J］.中學數學教學參考，2006（1-2）．

3．吳松嬌．淺析高中生數學思維障礙［J］．中國科教創(chuàng)新導刊，2008（21）．