高興瑞，許貴橋

Kantorovitch算子在Wiener空間下的平均誤差

高興瑞，許貴橋

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

在加權(quán)Lp范數(shù)下討論Kantorovitch算子列在Wiener空間下的平均誤差，得到了相應(yīng)量的強漸近階．

Kantorovitch算子；加權(quán)Lp范數(shù)；Wiener空間；平均誤差

設(shè)F是一個實可分的Banach空間，μ是定義在F的Borel子集上的概率測度．設(shè)H是另一個范數(shù)為‖·‖的賦范空間，F(xiàn)連續(xù)嵌入在H中．任意使得f→‖f－A（）f‖為可測映射的算子A：F→H被稱作一個逼近算子．算子A的p平均誤差為［1］

設(shè)X是定義在［0，1］上的連續(xù)函數(shù)f的集合，在X上賦予最大范數(shù)，f（0）＝0．X上的Wiener測度μ由下列性質(zhì)唯一確定：對任意n≥1，Rn上的Lebesgue可測集B及0＝t0＜t1＜…＜tn≤1，

其中u0＝0．由文獻［2］可知

對于ρ∈L1［0，1］，ρ≥0，f∈C［0，1］的加權(quán)Lp范數(shù)定義為，當(dāng)ρ（）t＝1時簡記為‖·‖p．

對于f∈C［0，1］，f的n次Kantorovitch多項式為

f的n次Bernstein多項式為

其中：

文獻［3］討論了Bernstein多項式列在Wiener空間下的平均誤差，得到了相應(yīng)量的弱漸近階，本研究考慮Kantorovitch算子列在Wiener空間下的平均誤差，得到

定理 設(shè)Kn（f，x）如式（3）定義．對于任意ρ∈L1［0，1］，ρ＞0，ρ（x）在（－1，1）連續(xù)，1≤p＜"，有

由定理和H?lder不等式可得如下推論．

推論 設(shè)Kn（f，x）如式（3）定義．對于任意ρ∈L1［0，1］，ρ＞0，ρ（x）在（－1，1）連續(xù)，1≤p，q＜"，有

對于正數(shù)序列a｝｛n和b｝｛n，an≈bn表示存在與n無關(guān)的常數(shù)C，使得an／C≤bn≤Can，不同表達式中的C可能不同．

引理1［4］對于固定的漸近關(guān)系

對于所有x∈［δ，1－δ］和所有滿足不等式

的k一致成立，換句話說，

對于所有滿足式（7）的k一致成立．

設(shè)X＝x （1－x），且設(shè)

引理2［5］對于固定的s＝0，1，…，Tn，s（）x是一個關(guān)于x次數(shù)小于s的多項式，且有

這里aj，s，bj，s是系數(shù)與n無關(guān)且次數(shù)不大于s－j的多項式．特別地

定理的證明 由文獻［2］可得

由式（3）可得

由式（1）得

由式（11）和簡單的計算可得

類似可得

由式（13）～式（18）可得

由式（8）可知

由式（20）可得

簡單計算可得

直接計算可得

由式（21）～式（25）可得

類似可得

簡單計算易得

由式（19）和式（26）～式（28）可得

［1］ TRAUB J F，WASILKOWSKI G W，WOZNIAKOWSKI H．Information－Based Complexity［M］．New York：Academic Press，1998．

［2］ KLAUS R．Average－Case Analysis of Numerical Problems［M］．Berlin：Springer－Verlag，2000．

［3］ XU G Q，DU Y F．The average errors for Hermite－Fejer interpolation on the Wiener Space［J］．Science in China：Mathematics，2010，53（7）：1841－1852．

［4］ LORENTZ G G．Bernstein Polynomials［M］．Toronto：University of Toronto Press，1953．

［5］ DEVORE R A，LORENTZ G G．Constructive Approximation［M］．Berlin：Springer－Verlag，1993．

（責(zé)任編校 馬新光）

通過類似的證明可知對于

Average errors for Kantorovitch operators on Wiener space

GAO Xing－rui，XU Gui－qiao
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

For weighted approximation in Lp－norm，the strongly asymptotically orders for the average errors of function approximation by the Kantorovitch operators sequence on the Wiener space are determined．

Kantorovitch operators；weighted Lp－norm；Wiener space；average error．

book=2012,ebook=18

O174．42

A

1671－1114（2012）02－0018－04

2011－07－05

高興瑞（1987－），男，碩士研究生．

許貴橋（1963－），男，教授，主要從事函數(shù)逼近論方面的研究．