劉艷紅，劉麗想，董麗娟，石云龍

（山西大同大學(xué)固體物理研究所，山西大同 037009）

兩種色散特異材料雙層結(jié)構(gòu)中的法諾共振機制

劉艷紅，劉麗想，董麗娟，石云龍

（山西大同大學(xué)固體物理研究所，山西大同 037009）

單負(fù)特異材料雙層結(jié)構(gòu)中，由于分離式的反射共振和寬帶的強反射之間發(fā)生的法諾型干涉，在反射譜中出現(xiàn)了非對稱法諾譜。當(dāng)光斜入射到單負(fù)特異材料異質(zhì)結(jié)時，分離式的反射共振發(fā)生在單負(fù)特異材料色散磁導(dǎo)率接近于零的頻率點。通過解析和數(shù)值分析得到，法諾型反射的非對稱因子與入射角是密切相關(guān)的。

單負(fù)特異材料；法諾共振；法諾因子

1 引言

近年來，法諾共振機制吸引了人們大量的關(guān)注，在原子、大體積固體和半導(dǎo)體異構(gòu)體系的光譜中普遍存在。法諾線性不同于傳統(tǒng)的對稱共振曲線，其最初起源于原子的吸收譜，原子中的各種電子組態(tài)分為分立能態(tài)和連續(xù)能態(tài)，正是這種連續(xù)態(tài)與分立態(tài)間的相互作用導(dǎo)致其吸收譜呈現(xiàn)一個不對稱的峰形［1］。利用子能帶間躍遷的法諾干涉可以實現(xiàn)隧穿透明［2，3］。由于法諾共振原理圖像比較簡單，所以可以將其拓展到其它許多系統(tǒng)中。如果將法諾共振類比到光物理中，法諾型共振其實就是由一對競爭的光通道之間的量子力學(xué)共振或干涉所產(chǎn)生的一種光譜失真效應(yīng)，也就是共振吸收和共振發(fā)射同時共存的效應(yīng)。它反映了離散的能量狀態(tài)是怎樣與其環(huán)境中的連續(xù)狀態(tài)耦合在一起的。在非線性體系中，法諾干涉的可見度急劇增加，這可被用作關(guān)于離散狀態(tài)和連續(xù)狀態(tài)之間耦合程度的一種靈敏探針［4］，利用非線性法諾體系還可以實現(xiàn)的光開關(guān)，而且透射比可以達到100％［5］。因此研究各種系統(tǒng)的法諾共振是非常有意義的事情。

自從在原子系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)法諾共振后，人們在其它許多物理系統(tǒng)中也發(fā)現(xiàn)了法諾型非對稱譜線。特別是，在經(jīng)典系統(tǒng)法諾共振的實現(xiàn)引起了人們的關(guān)注。2002年，范三慧研究小組在一個二維光子晶體波導(dǎo)的一側(cè)耦合一個微腔的系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了非對稱法諾共振的現(xiàn)象［6］。之后，許多種法諾型共振在各種各樣的光子晶體體系被找到。此外，在一些納米系統(tǒng)包括等離子體納米結(jié)構(gòu)［7］或者特異材料［8］中觀察到法諾共振現(xiàn)象。例如，在周期性金屬結(jié)構(gòu)或者金屬薄板上對稱刻痕的系統(tǒng)中也存在法諾共振效應(yīng)。

法諾線性不同于傳統(tǒng)的對稱共振曲線，是由于較窄的分立譜線和較寬的譜線或者是連續(xù)譜相互干涉相消和干涉相長同時存在的非對稱譜線。美國物理學(xué)家Ugo Fano在他最初的文章中推導(dǎo)出法諾共振的簡單表達式如下：

其中，Ω表示一個無量綱的頻率，是由分立態(tài)的中心頻率譜線寬度決定的。q表示法諾非對稱參數(shù)，是由混合態(tài)的躍遷幾率和連續(xù)態(tài)的躍遷幾率之比決定的，它描述的是譜線非對稱程度的大小。文獻［9］中給出了法諾共振的譜線的形狀，如圖1所示。

圖1 可能出現(xiàn)的法諾線性譜

本文研究特異材料中的另一種類型的法諾共振。色散型特異材料雙層結(jié)構(gòu)是由電單負(fù)特異材料（介電常數(shù)為負(fù)值，磁導(dǎo)率為正值）［10］和磁單負(fù)特異材料（介電常數(shù)為正值，磁導(dǎo)率為負(fù)值）［11］組成的。在可見光頻段，金屬在其等離子頻率以下是天然的電單負(fù)特異材料［12］。對于磁單負(fù)特異材料，雖然自然界不存在，但是可以通過由非磁性的導(dǎo)體共振單元組成的平面結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)［13］。我們知道，對于電單負(fù)和磁單負(fù)單層結(jié)構(gòu)，電磁波是不透的，其中電磁波只能以倏矢波的形式存在。然而，在2003年A.Alù課題組發(fā)現(xiàn)對于電單負(fù)和磁單負(fù)構(gòu)成雙層結(jié)構(gòu)，當(dāng)滿足阻抗和相位匹配的條件，電磁波能夠共振隧穿通過單負(fù)異質(zhì)結(jié)［14］。2007年，該課題組又研究了介電常數(shù)接近于零的特異材料及等離子材料對電磁波的影響，他們給出的平面波反射系數(shù)（公式2）的表達式中可以看到，對于橫磁（TM）極化平面波對于單層介電常數(shù)為零的板層結(jié)構(gòu)是不透的，除非入射平面波精確正入射［15］。

其中，β＝sinθ，θi為平面波的入射角。

可見，對于色散型電單負(fù)和磁單負(fù)組成的雙層結(jié)構(gòu)，且工作頻率段內(nèi)包含磁單負(fù)特異材料的磁導(dǎo)率等于零的頻率點時，電磁波的傳輸是非同尋常的。

2 法諾型非對稱反射譜的計算

在圖2中，給出了對于TE和TM模式的電磁波在電單負(fù)和磁單負(fù)雙層結(jié)構(gòu)中的法諾共振機制圖，其中圖2（a）中是電單負(fù)和磁單負(fù)雙層結(jié)構(gòu)圖，圖2（b）中給出了當(dāng)電磁波入射到電單負(fù)和磁單負(fù)組成的雙層結(jié)構(gòu)時，可能發(fā)生的兩種反射路徑。

圖2 法諾共振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

從圖中可以看到，一種是發(fā)生在入射界面的反射，它是較寬帶的反射，可以被看作是背景反射譜或者是連續(xù)譜；另一種是先入射到單負(fù)A然后經(jīng)過兩個單負(fù)的界面反射后，再經(jīng)過入射面被反射出來，當(dāng)頻率為單負(fù)介質(zhì)的介電常數(shù)或者磁導(dǎo)率接近于零的條件，且電磁波斜入射時這種反射譜是較窄帶的反射可以被看作是分立譜。在下面的計算中我們令A(yù)層為電單負(fù)層，B層為磁單負(fù)層，且只考慮TE極化波為入射波。根據(jù)二相性原理，對于TM極化波我們只要將A層和B層分別換為磁單負(fù)層和電單負(fù)層即可的得到與TE極化波相似的結(jié)果，所以我們不做考慮。

假定電單負(fù)特異材料的相對介電常數(shù)為εENG和相對磁導(dǎo)率為μENG，厚度為a。磁單負(fù)特異材料的相對介電常數(shù)為εENG和相對磁導(dǎo)率為μENG，厚度為b。對于電單負(fù)材料的相對介電常數(shù)和磁單負(fù)材料的相對磁導(dǎo)率用德魯?shù)媚Ｐ蛠肀硎荆?/p>

其中ωe和ωm分別表示電和磁的等離子體頻率，γ表示損耗系數(shù)。

首先通過傳輸矩陣的方法計算了單層單負(fù)材料的反射譜。在以下的計算中，我們選擇兩種單負(fù)材料的電場參數(shù)為，

這樣由式（4）我們可以得到，當(dāng)入射頻率達到磁單負(fù)材料的磁等離子頻率（300THz）時其色散磁導(dǎo)率接近于零（μENG→0）。在圖3，中我們給出了入射角分別為π/18，2π/9和4π/9時的單層單負(fù)結(jié)構(gòu)的反射譜。圖3（a）中，可以看到對于電單負(fù)單層在頻率范圍為250THz時的反射譜是寬帶的反射譜，這是因為電單負(fù)材料是不透明的不支持導(dǎo)模，所以其表面上光的發(fā)射可以被看作是強的連續(xù)反射譜。而對于磁單負(fù)單層結(jié)構(gòu)在以上頻率范圍內(nèi)的斜角度入射時的反射譜，見圖3（b），是較窄帶的。雖然正入射時在此等離子頻率點光是沒有反射的，但是，當(dāng)光波斜入射到磁單負(fù)材料時由于其表面在此等離子頻率點的全反射（由阻抗強烈不匹配引起），導(dǎo)致了反射譜中出現(xiàn)了非常尖銳的反射峰，這樣，如果將磁單負(fù)的材料參數(shù)設(shè)計到除了等離子頻率點以外的其它點的反射較小，就可得到品質(zhì)因子Q很高的反射譜。高Q反射譜可以看作是分立譜，而且從圖3（b）中還可以看到，Q的大小是與光波的入射角有關(guān)的。

圖3 單層單負(fù)結(jié)構(gòu)反射譜

當(dāng)光波斜入射到由電單負(fù)和磁單負(fù)構(gòu)成的雙層結(jié)構(gòu)時，首先會在電單負(fù)層的入射界面被部分反射，形成比較強的連續(xù)的反射譜。同時，穿透電單負(fù)層的光波將被近鄰的磁單負(fù)層反射，在磁單負(fù)的相對磁導(dǎo)率接近于零的頻率點，形成窄的分立的反射共振峰。下面具體計算這兩種反射路徑相互作用形成的法諾型非對稱反射譜。選擇的電單負(fù)和磁單負(fù)材料的厚度分別a＝120nm和b＝10nm。當(dāng)磁單負(fù)的損耗系數(shù)較小時，可以認(rèn)為，磁導(dǎo)率等于零的頻率點為f＝ωm/2π＝300THz。

通過傳輸矩陣法推導(dǎo)分析由電單負(fù)和磁單負(fù)材料構(gòu)成的雙層結(jié)構(gòu)的反系數(shù)的表達式。對于TE模式的光波經(jīng)過單負(fù)雙層結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)的表達式為：

其中，mi，j（i，j＝1，2）為光波經(jīng)過雙層單負(fù)材料的傳輸矩陣的矩陣元，

其中，A表示電單負(fù)材料，B表示磁單負(fù)材料。因為我們選擇的單負(fù)材料的結(jié)構(gòu)長度遠小于波長，所以可以近似認(rèn)為|kAz|a＝1，|kBz|b＝1，這樣，可以圍繞|kjz|dj進行以下的Taylor近似展開。

由于表達式比較冗長，所以將一些常量用簡單的字母代替表示，假定電單負(fù)材料的相對介電常數(shù)為εA＝-α（α＞0），當(dāng)磁單負(fù)材料的相對磁導(dǎo)率接近于零時，我們將式（6）近似寫作：

這樣，就可以計算反射率R為：

圖4 TE模式的電單負(fù)和磁單負(fù)雙層結(jié)構(gòu)的不同入射角度的反射譜

通過公式（11），理解法諾散射的機制，在公式中的變量函數(shù)ζ（β）對應(yīng)于表征法諾振動非對稱程度的非對稱參數(shù)q，而且隨著平行方向傳播常數(shù)β的增大，其數(shù)值是增加的。變量函數(shù)Ω（ω，β）也是β的函數(shù)。圖4中從上到下的三幅圖中，可以看到對稱性反射譜的形狀強烈依賴于入射角。在我們計算的入射角范圍為π蛐18-4π蛐9內(nèi)，隨著入射角的增大β值的增大，導(dǎo)致了對稱參數(shù)q值的增大，我們找到了與圖1中對應(yīng)的變化趨勢，隨著法諾因子的增加，反射譜由反射峰變化到對稱反射譜的低谷。我們還計算了透射譜，見圖5。

圖5 TE模式的電單負(fù)和磁單負(fù)雙層結(jié)構(gòu)的不同入射角度的透射譜

從圖5中可以看到，由于計算過程中選取了小的損耗系數(shù)所以得到了非對稱的透射譜。最后，我們還計算了圖4（a）中的反射谷的頻率（299.5THz）處的電磁場強度的分布，假定入射場的強度為1，計算結(jié)果見圖6。從圖6中會發(fā)現(xiàn)，比較奇特的事情是在磁單負(fù)層內(nèi)的局域的磁場的幅值相比較于入射場的近42倍。下面分析一下物理原因，對于TE模式的電磁波，磁感應(yīng)強度的縱向分量Bz＝μHz，要滿足邊界條件中的連續(xù)性。當(dāng)μ值趨于零時，使得界面兩側(cè)的材料的磁導(dǎo)率有嚴(yán)重的區(qū)別，所以磁場強度的z分量就會在邊界處有巨大的跳躍變化。如果磁單負(fù)材料具有克爾型非線性，那么磁場強度z分量的很強的增大會很好的促進非線性效應(yīng)，更有利于實現(xiàn)光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)。

圖6 在2.995THz點單負(fù)雙層結(jié)構(gòu)中的電磁場布圖

3 結(jié)論

通過與原子系統(tǒng)的類比，我們證明了，在色散型單負(fù)特異材料雙層結(jié)構(gòu)中，由于分離式的反射共振和寬帶的強反射之間發(fā)生的法諾型干涉，在反射譜中出現(xiàn)了非對稱法諾譜。當(dāng)光斜入射到單負(fù)特異材料異質(zhì)結(jié)時，分離式的反射共振發(fā)生在單負(fù)特異材料色散磁導(dǎo)率接近于零的頻率點。通過解析和數(shù)值分析得到，法諾型反射的非對稱因子與入射角是密切相關(guān)的。在量子系統(tǒng)中，原子能級間的躍遷和退級是不能調(diào)節(jié)的，而在雙層單負(fù)特異材料系統(tǒng)中，對應(yīng)的參量可以通過改變結(jié)構(gòu)常數(shù)和入射角進行系統(tǒng)的調(diào)節(jié)，從而方便地研究這些參量對法諾共振現(xiàn)象的影響。另外，當(dāng)磁單負(fù)特異材料的磁導(dǎo)率趨于零時，在磁單負(fù)特異材料里的局域磁場振幅會增強到入射場的42倍。這樣如果磁單負(fù)特異材料具有克爾型非線性，將會促進光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)的實現(xiàn)，而且使得非線性法諾共振現(xiàn)象變得更容易。

［1］Fano U.Effects of configuration interaction on intensities and phase shifts［J］.Phys Rev，1961，124：1866-1878.

［2］Faist J，Sirtori C，Capasso F，et al.Tunable Fano interference in intersubband absorption［J］.Opt Lett，1996，21（13）：985-987.

［3］Schmidt H，Campman K L，Gossard A C，et al.Tunneling induced transparency：Fano interference in intersubband transitions［J］.Appl Phys Lett，1997，70：3455.

［4］Kroner1 M，Govorov A O，Remi S，et al.The nonlinear Fano effect［J］.Nature，2008，451：311.

［5］Mingaleev S F，Miroshnichenko A E，Kivshar Yu S.Coupled-resonator-induced reflection in photonic crystal waveguide structures ［J］.Opt Express，2008，16：11647-11659.

［6］Fan S H.Sharp asymmetric line shapes in side-coupled waveguide-cavity systems［J］.Appl Phys Lett，2002，80：908-910.

［7］Hao F.Symmetry breaking in plasmonic nanocavities：Subradiant LSPR sensing and a tunable Fano resonance［J］.Nano Lett，2008，8：3983-3988.

［8］luk′yanchuk1 B，nikolay I Z，stefan A M，et al.the Fano resonance in plasmonic nanostructures and metamaterials［J］.Nature Materials，2010，9：707-715.

［9］Rybin M V，Khanikaev A B，InoueM，et al.Bragg scattering induces Fano resonance in photonic crystals［J］.Photonics and Nanostructures-Fundamentals and Applications，2010，8：86-93.

［10］Pendry J B，Holden A J，Stewart W J，et al.Extremely low frequency plasmons in metallic mesostructures［J］.Phys Rev Lett，1996，76（25）：4773-4776.

［11］Zhang S，F(xiàn)an W J，Minhas B K，et al.Midinfrared resonant magnetic nanostructures exhibiting a negative permeability［J］.Phys Rev Lett，2005，94（3）：037402.

［12］Moerland R J，van Hulst N F，Gersen H，et al.Probing the negative permittivity perfect lens at optical frequencies using near-field optics and single moleculedetection［J］.Opt Express，2005，13：1604-1614.

［13］Yen T J，Padilla W J，F(xiàn)ang N，et al.Terahertz magnetic response from artificial materials［J］.Science，2004，303：1494-1496.

［14］Alù A，Engheta N.Pairing an epsilon-negative slab with a mu-negative slab：Resonance，tunneling and transparency［J］.IEEE Trans Antennas Propagat，2003，51，2558-2571.

［15］Alù A，Silveirinha M G，Salandrino A，et al.Epsilon-near-zero metamaterials and electromagnetic sources：Tailoring the radiation phase pattern［J］.Phys Rev B，2007，75：155410.

〔責(zé)任編輯 李海〕

Fano Resonances in a Bilayer Structure Composed of two Kinds of Dispersive Metamaterials

LIU Yan-hong，LIU Li-xiang，DONG Li-juan，SHI Yun-long
（Institute of Solid State Physics，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

We theoretically find that a bi-layer structure composed of two kinds ofdispersive metamaterials can possess an asymmetric reflection spectrum due toFano-type interference between a discrete reflection resonance and a broadbandstrong reflection.The discrete reflection resonance appears at the frequency around which the dispersive permeability is near to zero at oblique incidence.Based onanalytical and numerical analysis，the asymmetric factor in the Fano-type reflection is found to be linked with the angle of incidence.

single negative metamaterial；Fano resonance；Fano paremeter

O571.5

A

1674-0874（2012）05-0021-05

2012-05-25

山西省教育廳高校高科技項目［20111119］

劉艷紅（1979-），女，山西文水人，博士，講師，研究方向：凝聚態(tài)物理。