秦世強，蒲黔輝，施 洲

(西南交通大學 土木工程學院，成都 610031)

模態(tài)參數(shù)識別是橋梁健康監(jiān)測的重要組成部分，準確的識別模態(tài)參數(shù)，是進行有限元模型修正、結構損傷識別以及性能評定的前提。橋梁模態(tài)參數(shù)識別是指通過測得的動力響應，識別橋梁的固有振動頻率、阻尼比和振型的過程。環(huán)境激勵下的模態(tài)參數(shù)識別由于不需要外部激勵設備且不影響正常交通，已經(jīng)成為大型橋梁模態(tài)參數(shù)識別的主要方法。目前常用的方法有頻域法、時域法和時頻分析法［1]。

經(jīng)驗模態(tài)分解(Empirical mode decomposition，EMD)是由Huang等人提出的一種適用于非平穩(wěn)、非線性信號分解的方法，將多成分的復雜信號分解成一系列的單成分的本征模態(tài)函數(shù)(IMF)，突破了以傅里葉變換為基礎的穩(wěn)態(tài)分析;隨機子空間識別(Stochastic subspace identification，SSI)是一種環(huán)境激勵下結構模態(tài)參數(shù)識別的方法，由于只需要確定系統(tǒng)的階次，且不涉及迭代和收斂性問題，因此受到廣泛的關注。文獻［2] 利用EMD結合隨機減量技術識別了青馬橋的模態(tài)參數(shù)，并驗證了EMD在非平穩(wěn)信號模態(tài)參數(shù)識別中的優(yōu)勢;文獻［3] 利用HHT提取信號的瞬時特性，再結合自然激勵技術識別結構模態(tài)參數(shù);文獻［4] 和文獻［5] 研究了隨機子空間方法在結構模態(tài)參數(shù)識別中的應用，并探討了其系統(tǒng)階次的確定、虛假模態(tài)等問題。大型橋梁自振頻率低、模態(tài)密集，加之測試過程中的噪聲影響，在EMD過程中往往會出現(xiàn)模態(tài)混疊;單純的利用SSI方法識別模態(tài)參數(shù)又存在虛假模態(tài)的問題，因此嘗試從解決這兩個問題的角度出發(fā)，引入屏蔽信號以消除EMD中的模態(tài)混疊，將原始信號分解成一系列只包含結構某一階固有振動信息的IMF，然后再利用SSI識別橋梁的模態(tài)參數(shù)。

1 基本理論

1.1 經(jīng)驗模態(tài)分解

EMD通過一種稱為“篩”的算法［6]實現(xiàn):① 找出原始信號x(t)所有極值點，用三次樣條曲線分別擬合極大值點和極小值點，得到x(t)的上下包絡線，取其平均值為m1(t)，用原始信號x(t)減去m1(t)，可得到一個新的數(shù)據(jù)序列h1(t):

判斷h1(t)是否滿足IMF的兩個條件:① 在整個時間跨度內(nèi)，極值點和過零點的個數(shù)相等或者至多相差一個;② 在任意一點處，由極大值構成的上包絡線和由極小值構成的下包絡線的均值為零。一般情況下，h1(t)不是一個IMF，此時將h1(t)視作原始信號，重復上述過程 n 次，直至 h1n(t)=h1，n－1(t)－ m1n(t)滿足IMF的條件，則h1n(t)為原始信號的第一個IMF，記作c1(t)，表示原始信號中的最高成分;② 將原始信號x(t)減去c1(t)，得到一個新的序列r1(t)，對r1(t)重復步驟(1)，可以得到一系列頻率從高到低的cj(t)，和一個不可分解的余量rn(t)，它表示原始信號中的趨勢項。至此，原始信號x(t)可以表示為:

1.2 隨機子空間識別

線性振動系統(tǒng)的隨機狀態(tài)空間方程［4]為:

式中，xk表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量，yk為輸出向量，A為n×n的系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣，n表示系統(tǒng)的階次，C為輸出矩陣;wk、vk分別表示過程噪聲和測量噪聲，均假定為均值為0的白噪聲，相關函數(shù)為:

式中:E表示數(shù)學期望，δpq表示克羅內(nèi)克函數(shù)。由式(3)、式(4)兩式構成系統(tǒng)的隨機狀態(tài)空間模型，有多種方法可以實現(xiàn)振動系統(tǒng)識別，而SSI由于只需要確定系統(tǒng)階次一個參數(shù)，且計算過程引入QR分解和SVD分解，一般不涉及解的收斂性問題，因而廣受關注。SSI的主要目標是求解系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣C，為此，可以通過如下的算法［7]實現(xiàn):

(1)確定系統(tǒng)的Hankel矩陣;橋梁環(huán)境振動測試時，由于測點較多而測試設備數(shù)量有限，一般會選取固定的幾個參考點，進行連續(xù)的測試;而其它測點測試時間相對較短。

H∈R(m+n)i×j，m表示參考點的個數(shù)，n表示其他測點的個數(shù)。式中上標r表示參考點的輸出，下標p，f分別表示“過去”和“將來”，是Hankel矩陣劃分塊行的一種方式。

(2)計算“將來”輸入行空間在“過去”輸入行空間上的投影，并通過QR分解，在保持系統(tǒng)原有信息的情況下縮減數(shù)據(jù)。

式中，(·)+表示·的廣義逆。通過對H進行QR分解，Pi可以表示為:

投影的計算是隨機子空間算法的核心，它表示可以利用“過去”行空間的信息預測“將來”;

(3)對投影進行奇異值分解，并結合卡爾曼濾波理論計算系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣C;

(4)對A進行特征值分解，得到特征值和特征向量，求解系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

2 模態(tài)參數(shù)識別存在的問題及解決方法

2.1 EMD中的模態(tài)混疊

EMD能有效的處理非平穩(wěn)數(shù)據(jù)，并且是自適應的。從提出至今，EMD方法已經(jīng)在很多領域得到廣泛的運用［8－10]。由于沒有精確的數(shù)學模型，分解過程是一種以經(jīng)驗為基底的，EMD也存在一些問題限制了其進一步的推廣［11]。模態(tài)混疊就是其中一種。模態(tài)混疊是指原始信號存在斷續(xù)或畸變的情況下，不同頻率分量被分解到同一階IMF中或同一頻率分量被分解到不同的IMF中。文獻［12] 通過對信號進行傅里葉譜分析，在EMD過程中設置間斷頻率，使每一個IMF只包含頻率大于間斷頻率的成分，這種方法簡單易行，但FFT本身不適合分析非平穩(wěn)信號;文獻［13] 引入屏蔽信號消除了仿真信號的模態(tài)混疊;文獻［14] 利用EMD的二進濾波特性，結合屏蔽信號的使用，提出一種限制帶寬的EMD方法(Bandwidth Restricted EMD，BREMD)。大型橋梁結構尺寸大，模態(tài)通常較為密集，且測試過程受到噪聲干擾嚴重，如果直接應用EMD，一般會產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象。為此，利用限制帶寬的EMD消除模態(tài)混疊。為了使BREMD能更精確的提取實測信號的IMF，對其作部分改進，改進后算法如下:

(1)對原始信號x(t)做標準EMD，使其只分解出一階IMF1以及一個余量r1(t):

(2)對IMF1進行Hilbert變換，計算待加入的屏蔽信號的頻率，根據(jù)EMD的二進濾波特性，取帶寬系數(shù)為 1.42:

式中，a1(i)、f1(i)分別表示IMF1的瞬時幅值和瞬時頻率。

(3)構造屏蔽信號

(4)對信號y(t)=x(t)+s(t)進行標準的EMD分解，得到一階IMFs1和一個余量;

(5)判斷h1(t)=IMFs1－s(t)是否存在模態(tài)混疊，如不存在，則h1(t)即為原始信號的第一階IMF;如果仍然存在模態(tài)混疊，則把h1(t)當作x(t)重復式(1)～式(4)步驟n次，直至 h1n(t)不存在模態(tài)混疊，記作c1(t);判斷是否存在模態(tài)混疊的方法可以通過對h1(t)作Hilbert變換，查看其瞬時頻率在時間軸上的分布;

(6)從原始信號中減去第一階IMF，得到x1(t)=x(t)－c1(t)，重復上述過程，直至所有的IMF都分解出來。

為了驗證限制帶寬EMD在消除模態(tài)混疊中的效果，以一仿真信號作為算例。仿真信號中含有三種頻率成分，分別為 10 Hz、15 Hz和 18 Hz，y=sin(20πt)+sin(30πt)+sin(36πt)采樣頻率取為200 Hz，采樣時間為0 s～2.5 s。利用標準EMD和限制帶寬EMD分解的結果如圖1所示，圖中c1～c3表示標準EMD的前三階IMF，BR－c1～BR－c3表示 BREMD的前三階IMF，可以看出，c1和c3中存在較為嚴重的模態(tài)混疊，BR－c1～BR－c3基本能代表仿真信號中的三種頻率成分，因此BREMD顯著的改善了信號的模態(tài)混疊。

2.2 穩(wěn)定圖中虛假模態(tài)的剔除

圖1 仿真信號的EMD和BREMDFig.1 The results of EMD and BREMD of simulation signal

如何確定系統(tǒng)階次是隨機子空間識別的一個難點，通常的做法是對系統(tǒng)階次分別取一個最小值nmin和最大值nmax，循環(huán)求解位于nmin和nmax之間所有階次系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，并將計算的結果繪在一個二維圖中，以頻率為橫坐標，系統(tǒng)階次為縱坐標。相鄰頻率點和阻尼點小于事先設定的容差的，合并為一點，形成系統(tǒng)的穩(wěn)定圖，在每一階頻率處會有較多的穩(wěn)定點構成穩(wěn)定軸。頻率和阻尼穩(wěn)定點的判據(jù)如下:

式中，fi、ξi分別表示識別的第 i階頻率和阻尼比;式(12)將阻尼比的判定相對容差放松至30%，這是由于目前對阻尼比的認知水平有限，計算中采取的假定與實際情況也不太一致;實橋識別的阻尼比通常偏差較大，因此適當放松阻尼比的判定標準［12]。受到測試過程中的噪聲影響，穩(wěn)定圖中會出現(xiàn)虛假模態(tài)，如何剔除這些虛假模態(tài)是穩(wěn)定圖方法應用的關鍵。分析知虛假模態(tài)是由于環(huán)境激勵不滿足白噪聲假設，使得原始信號中含有噪聲模態(tài)，加之系統(tǒng)模態(tài)密集，在穩(wěn)定圖中難以區(qū)分系統(tǒng)真實模態(tài)的穩(wěn)定軸和噪聲模態(tài)的穩(wěn)定軸。如果能將原始信號分解成只含有結構某一階固有振動信息的IMF，再利用穩(wěn)定圖方法，此時穩(wěn)定圖中主要包含這一階振動的穩(wěn)定軸，噪聲模態(tài)則離散成一些跳點，不會影響系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的識別。因此，相比利用原始信號作為SSI的輸入，利用IMF作為SSI的系統(tǒng)輸入會得到更為清晰的穩(wěn)定圖，后面將結合實例驗證這一判斷。

3 改進的模態(tài)參數(shù)識別流程

通過上面的分析知改進后的模態(tài)參數(shù)識別的關鍵問題是解決EMD的模態(tài)混疊。為此，首先對各個測點原始信號進行低通濾波，以消除信號中的高頻噪聲;對去噪后的信號進行BREMD，消除EMD過程中的模態(tài)混疊，使得每一階IMF只包含結構一階振動信息;然后組裝各個測點中含有相同頻率成分的IMF，利用隨機子空間方法，作系統(tǒng)的穩(wěn)定圖，通過拾取穩(wěn)定軸，識別結構的模態(tài)參數(shù)。具體的流程見圖2。

圖2 改進后的模態(tài)參數(shù)識別流程Fig.2 Process of improved method for modal parameters identification

4 實例分析

為了驗證本文方法在實橋模態(tài)參數(shù)識別中的有效性，結合贛龍鐵路上某特大橋環(huán)境振動實驗，識別了該橋的模態(tài)參數(shù)。

4.1 環(huán)境測試系統(tǒng)介紹

贛龍鐵路某特大橋主橋為預應力混凝土連續(xù)梁橋，跨徑布置為60 m+2×100+60 m，5號墩墩高100 m，屬于典型的高墩大跨鐵路橋梁。為了了解該類橋型的振動特性，對其進行了環(huán)境激勵實驗。實驗共布置49個測點，60 m跨的測點布置在跨度的八分點處，100 m跨測點布置在十六分點處。測試了各個測點的橫向和豎向位移，采樣頻率為20 Hz，采樣時間為5 min。橋跨及測點的布置圖見圖3。

4.2 模態(tài)參數(shù)識別

高墩大跨橋梁的橫向振動效應明顯，因此選取橫向位移作為原始信號，識別橋梁前四階橫向振動模態(tài)。為了驗證識別的效果，在模態(tài)參數(shù)識別時采用了三種方法:基于FFT譜分析的峰值拾取法(Peak Peaking，PP法)、隨機子空間識別方法以及文中敘述的方法，并將三種分析方法的結果與有限元計算結果進行了對比。

圖3 橋跨及測點布置圖(cm)Fig.3 The configuration of bridge span and measuring points(cm)

圖4 為測點5處的橫向位移的傅里葉頻譜圖，圖中幅值比為FFT變換后的實部與虛部表示的復數(shù)的模長與序列長度的比值，它代表各階頻率所占能量的相對比值;圖5為單純利用隨機子空間識別得到的穩(wěn)定圖，二者均能識別橋梁橫向前四階振動模態(tài)，但FFT是一種總體平均的概念，在分析非平穩(wěn)信號時缺乏物理意義，且模態(tài)較為密集;而SSI識別的穩(wěn)定圖中的虛假模態(tài)已經(jīng)嚴重干擾到真實模態(tài)的拾取，因此利用FFT頻譜圖和SSI穩(wěn)定圖識別模態(tài)參數(shù)時均存在較多的人工干預。對于模態(tài)密集的大型橋梁，這種人工干預往往并不容易。另一方面，由于關心的頻段在0～3Hz之間，對原始信號進行截止頻率為3 Hz的低通濾波。并對每個測點的信號都作限制帶寬的EMD，圖6顯示了測點5處的橫向位移信號的BREMD結果，從圖中可以看出，通過引入限制帶寬的屏蔽信號，各階IMF的模態(tài)混疊得到了很好的抑制。組裝相同參考點的同頻率成分的IMF，再利用隨機子空間識別其模態(tài)參數(shù)，并作出如圖7所示的穩(wěn)定圖。為了方便對比，將傅里葉譜以一定的比例放入穩(wěn)定圖中，可以看出穩(wěn)定圖中只有一個清晰的穩(wěn)定軸，而噪聲模態(tài)離散成一些跳點，為模態(tài)參數(shù)的提取提供了便利。

圖4 測點5橫向位移的傅里葉譜Fig.4 FFT spectrum of lateral displacement of measuring point 5

圖5 隨機子空間識別的穩(wěn)定圖Fig.5 Stabilization diagram of SSI

該橋橫向前四階模態(tài)識別結果如表1所示，表中列出了有限元計算結果、PP法識別結果、SSI識別結果以及本文方法識別的結果。理論振型特征是通過各個自由度上振型參與向量值所判定的。相比識別結果，有限元計算結果偏大，一方面是有限元計算中對約束和支撐剛度的模擬比實際中的大所導致，另一方面是由于未將實測結果對理論計算模型進行反饋修正，使得理論模型不能完全反映真實情況;而PP法、SSI與本文方法識別結果吻合良好。相比PP和SSI識別結果，利用本文方法作出的穩(wěn)定圖穩(wěn)定軸清晰，在識別模態(tài)參數(shù)時減少了人工干預，更適合自振頻率低、模態(tài)較為密集的大型橋梁的模態(tài)參數(shù)識別。

5 結論

通過分析EMD和SSI穩(wěn)定圖在模態(tài)參數(shù)識別中存在的問題，建立一種了大型橋梁模態(tài)參數(shù)識別的方法，并成功應用于實橋環(huán)境振動實驗模態(tài)參數(shù)識別中。該方法在EMD中引入了限制帶寬的屏蔽信號，使得EMD的模態(tài)混疊得到顯著抑制，每一階IMF代表結構的某一階固有振動，使得穩(wěn)定圖中只有一個較為清晰的穩(wěn)定軸，能夠更準確的識別結構模態(tài)參數(shù)。與PP法和SSI識別結果的對比知，該方法識別的結果具有一定精度，且不存在模態(tài)密集導致模態(tài)參數(shù)識別困難的問題，具有一定的應用前景。

圖6 測點5橫向位移的BREMD結果Fig.6 BREMD of lateral displacement at measuring point 5

表1 模態(tài)參數(shù)識別結果Tab.1 Results of modal parameters identification

圖7 BREMD后隨機子空間識別的穩(wěn)定圖Fig.7 Stabilization diagrams of SSI after BREMD

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