呂文平,李為民,謝 鑫

(空軍工程大學導彈學院,陜西 三原 713800)

0 引言

充足的預警時間是反導有效進行的必要前提,能保證反導武器系統(tǒng)有足夠的反應時間并最大限度地實現(xiàn)遠界攔截。反導預警時間窗口是反應預警時間表征,對該時間窗口的研究是預警時間的組成和關鍵因素分析的重要內(nèi)容[1]。

預警系統(tǒng)可分為天基預警系統(tǒng)、空基預警系統(tǒng)和面基預警系統(tǒng)。天基預警的覆蓋面廣、監(jiān)視區(qū)域大,能盡早發(fā)現(xiàn)來襲戰(zhàn)術(shù)彈道導彈(TBM),對其在反導作戰(zhàn)中的應用進行了大量研究。文獻[2、3]較系統(tǒng)地分析了國內(nèi)外天基導彈預警系統(tǒng),但主要側(cè)重于定性分析。文獻[4]對反導作戰(zhàn)信息流的時延進行了建模,但主要關注信息流程設計而非預警時間分析。文獻[1]對預警時間窗口進行了研究,但預警手段僅考慮了地基雷達,未考慮天基預警衛(wèi)星的支援。天基支援下反導預警時間窗口是指從天基預警衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)來襲的彈道導彈至防御方攔截系統(tǒng)最晚發(fā)射攔截彈經(jīng)歷的時間。本文對天基支援下反導預警時間窗口進行了仿真研究。

1 反導預警時間窗口數(shù)學描述

根據(jù)預警時間窗口的定義,預警時間窗口主要取決于發(fā)現(xiàn)目標時刻和攔截系統(tǒng)最晚發(fā)射攔截彈時刻。其中,前者主要由天基預警衛(wèi)星的探測距離、部署位置,以及掃描速率確定,后者則由攔截彈的殺傷區(qū)確定。基于天基預警衛(wèi)星的預警時間窗口如圖1所示。圖中：t0為TBM的關機點時間;taw為天基預警衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)目標時間;tw為攔截彈與TBM最晚遭遇點;tfw為攔截彈最晚發(fā)射時間點。

實際反導作戰(zhàn)中,反導預警時間窗口取決于攻防雙方諸多因素,與TBM目標特性、預警系統(tǒng)預警性能、火力攔截系統(tǒng)戰(zhàn)技性能及具體戰(zhàn)場環(huán)境均相關。

根據(jù)攔截彈的運動特性,假設攔截彈到達遭遇點的飛行時間為Δtw,則tfw=tw-Δtw,天基支援下反導預警時間窗口可表示為Tew=[taw,tfw]。

圖1 天基支援下反導預警時間窗口Fig.1 Early warning time window with support of space based early warning satellite

2 實體模型

2.1 TBM助推段彈道數(shù)學模型

TBM彈道即TBM質(zhì)心在空間的運動軌跡。在發(fā)射坐標系中對TBM助推段彈道進行建模。TBM助推段飛行受力又受控,運動特性較復雜,作用于彈體的力和力矩有發(fā)動機推力、控制力和控制力矩、空氣動力和空氣動力矩、重力,此外還需考慮地球自傳引起的牽連慣性力和柯氏慣性力。發(fā)射坐標系中TBM助推段質(zhì)心運動微分方程組(即TBM助推段彈道數(shù)學模型)可表示為

式中：vx,vy,vz為TBM飛行速度矢量v在發(fā)射坐標系各軸分量;x,y,z為TBM在發(fā)射坐標系中位置坐標;h為TBM飛行高度;為地球平均半徑;δφ,δφ為發(fā)動機當量擺動俯仰角和偏航角;Pe為發(fā)動機有效推力,與TBM彈體縱軸方向一致;R(為一對燃氣舵的控制力梯度;m,m0,分別為TBM飛行質(zhì)量、初始質(zhì)量和推進劑質(zhì)量秒流量;gx,gy,gz為重力G在發(fā)射坐標系各軸分量;為牽連加速度在發(fā)射坐標系各軸分量;為柯氏加速度在發(fā)射坐標系各軸分量;為彈體坐標系至發(fā)射坐標系的變換陣;為速度坐標系至彈體坐標系的變換陣;X,Y,Z為空氣動力R在速度坐標系各軸分量,相應為阻力、升力、側(cè)力[5]。

根據(jù)TBM助推段彈道數(shù)學模型式(1)～(5),以發(fā)射時刻tL為仿真零點,取仿真步長Δt=1 s,發(fā)射點大地經(jīng)緯度取東經(jīng)0°、北緯20°,大地瞄準方位角45°,則TBM助推段彈道仿真結(jié)果如圖2、3所示。由圖2可知：TBM助推段飛行過程中在ZL軸方向偏移量較小,可近似認為它僅在發(fā)射平面XLOLYL內(nèi)運動。

圖2 TBM助推段彈道仿真結(jié)果Fig.2 Trajectory simulation of TBM on boosting phase

圖3 TBM助推段彈道仿真速度參數(shù)Fig.3 Velocity simulation of TBM on boosting phase

2.2 TBM被動段彈道數(shù)學模型

可依橢圓導彈理論對TBM被動段進行建模。其要點是由關機點參數(shù)構(gòu)造橢圓彈道計算被動段射程角、射程及飛行時間,并由開普勒方程解算橢圓彈道參數(shù)序列,即任意時刻t(tK≤t≤tC)TBM地心距rt、速度vt和俯仰角Θt。TBM被動段彈道數(shù)學模型詳細解算步驟如下[6]。此處：tK,tC分別為關機點和落點時刻。

a)構(gòu)造橢圓彈道

設TBM關機點參數(shù)為：地心距rK,速度vK,俯仰角ΘK,如圖4所示。則橢圓彈道參數(shù)半長軸a、半通徑p、偏心率e、半短軸b、半焦距c滿足

式中：μ為地球引力常數(shù)。

b)橢圓彈道參數(shù)序列生成

設任意時刻t(tK≤t≤tC)TBM的參數(shù)為地心距rt、速度vt、俯仰角Θt。取仿真步長為Δt,則求解橢圓彈道參數(shù)序列的方法步驟如下。

步驟a)：求解時間參數(shù)τ(即過近地點時刻)。由開普勒方程n(t-τ)=E-e sin E,可得

式中：n為平均角速度;E為偏近點角;EK為關機點偏近點角。

步驟b)：由開普勒方程采用迭代法,求解時刻t偏近點角Et。時刻t的平近點角

進行迭代計算,直至滿足迭代終止條件

為止。此處：ΔM為中間迭代變量;ε為門限值。則時刻t偏近點角。

步驟c)：由Et求解rt,vt,Θt。有

式中：vrt,vft分別為徑向與法向速度,且vrt=?。

步驟d)：取推進時間步長t=t+Δt,并判斷是否滿足終止條件t≥tC,若滿足,結(jié)束;否則繼續(xù)步驟b)～d)。

由上述TBM被動段彈道數(shù)學模型,對射程1 000 km的TBM,以tk為仿真零點,取仿真步長Δt=1 s,關機點參數(shù)為rK=90 000+m;vt=2 437 m/s;Θt=45°,則TBM被動段彈道仿真結(jié)果如圖5所示。需指出,上述橢圓彈道地心距、速度參數(shù)序列是在二維彈道平面解算而得的絕對值,若欲將其表示為參考時刻取關機點時刻tk的地心慣性(ECI)坐標,則還需進行坐標轉(zhuǎn)換。

圖5 TBM仿真彈道地心距、速度和俯仰角參數(shù)序列Fig.5 Trajectory simulation result of distance to earth center,velocity and up and down angle

2.3 攔截彈彈道模型

根據(jù)攔截彈飛行彈道方案,并參考固體火箭彈道設計有關資料,攔截彈飛行助推段的攻角

式中：t1為攔截彈垂直段結(jié)束時間;αm為攻角絕對值的最大值;λ為常系數(shù),且2λ=ln 2/(tm-t1);t2為攻角恢復為零的時刻;tk為發(fā)動機關機時刻[7]。

建立攔截彈的彈道模型時,按理想彈道模型進行計算,即不考慮地球扁率、大氣和控制系統(tǒng)等的影響。攔截彈的彈道模型可表示為

式中：φpτ(t)為俯仰角;θ為速度方向與發(fā)射點水平線的夾角;η為極坐標角;α(t)為攻角;g為當?shù)氐闹亓铀俣?g0為海平面重力加速度;Re為地球半徑;h為攔截彈的飛行高度;m(t)為TBM飛行質(zhì)量;P(t)為發(fā)動機推力;vgx,vgy分別為攔截彈在x、y向的速度分量;xg,yg分別為攔截彈在x、y向的坐標值;CD為阻力系數(shù);ρ為空氣密度;為升力系數(shù);S為導彈橫截面積[8]。

為保證在攔截不同斜距或不同高度目標時的計算可靠實時,可采用分段形式描述的擬合公式形式,給出攔截導彈飛至不同斜距及高度時的運動學特性,即以導彈飛至不同斜距R和高度H為參數(shù),給出它所對應的平均速度

3 預警時間窗口計算模型

由預警時間窗口的數(shù)學描述可知,預警時間窗口的求解需獲知參數(shù)taw,tfw。計算時,不考慮TBM在發(fā)射平面內(nèi)的橫向偏移。取初始時刻t0為TBM發(fā)射點時刻,計算步長為Δt,則t0及以后各時刻可表示為

式中：k=0,1,2,…,n。

3.1 預警衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)目標時間

因采用GEO預警衛(wèi)星,故可參照美DSP預警衛(wèi)星工作方式,即星載傳感器按一定角速度ωS循環(huán)往復地對特定區(qū)域進行圓周掃描,即對特定區(qū)域中任一TBM可能發(fā)射點,預警衛(wèi)星每隔60/ωSs可掃描1次。由此,假設預警衛(wèi)星星下點S地心經(jīng)緯度為αS,δS,TBM可能發(fā)射點B地心經(jīng)緯度為αL,δL;預警衛(wèi)星從時刻t0,由初始相位以ωS掃描監(jiān)測TBM可能發(fā)射點,如圖6所示。

圖6 GEO預警衛(wèi)星對TBM發(fā)射點探測Fig.6 Detection of TBM's launch point with using of GEO early warning satellite

圖6中,預警衛(wèi)星初始相位取零相位,即正東。則在任意時刻t,可用

判斷GEO預警衛(wèi)星是否能掃描到發(fā)射點B。若由式(32)算得k為一整數(shù),則說明預警衛(wèi)星在時刻t能掃描到發(fā)射點B,否則不能。此處：ΔtB為預警衛(wèi)星從初始相位(零相位)開始掃描至第一次掃描到發(fā)射點B所經(jīng)歷的時間,且

式中：σB為赤道圈與大圓弧SB之間的夾角(即預警衛(wèi)星掃過的角),且

此處：Δα=αL-αS;Δδ=γL-δS。

則可知,若時刻t,TBM可能發(fā)射點B恰好發(fā)射一枚TBM,則星載傳感器通過接收助推TBM火箭發(fā)動機噴焰的紅外輻射信號,便可探測到該TBM發(fā)射。依據(jù)仿真需要,對星載傳感器探測紅外輻射信號進行了簡化：即判斷TBM紅外輻射波長λ是否靠近傳感器峰值波長λp,有

式中：Δλ1,Δλ2分別為傳感器在峰值波長λp附近有效敏感的下移波長浮動量和上移波長浮動量,即傳感器對波長的敏感范圍為(λp-Δλ1,λp+Δλ2)。若式(34)成立,則判斷星載傳感器能探測到助推段TBM火箭發(fā)動機噴焰的紅外輻射信號,否則不能。

3.2 攔截彈最晚發(fā)射時間

設攔截彈的部署位置在TBM彈道平面上,即攔截彈發(fā)射點坐標為(XL,YL),TBM飛行過程中時刻t位置為(XB(t),YB(t))。由殺傷判定原則,攔截彈最晚發(fā)射時間與攔截彈的殺傷低界和近界斜距兩個戰(zhàn)技參數(shù)有關。則TBM相對攔截發(fā)射點的高度

TBM至攔截彈發(fā)射點斜距為

若已知攔截導彈在攔截過程中的速度v(R(t),H(t)),則攔截彈飛至目標時刻t位置所需時間

攔截彈最晚發(fā)射時間計算判斷準則為R(t)≥Rmin,H(t)≥Hmin。此處：Hmin為攔截彈的殺傷低界;Rmin為攔截彈近界斜距。若上述條件中有任何一個不滿足,則最晚早發(fā)射時刻計算結(jié)束,即

這樣,預警時間窗口可表示為

4 算例

設攔截彈戰(zhàn)技參數(shù)為Hmin=25 km,Rmin=30 km,攔截彈的發(fā)射位置部署在TBM落點附近。

當TBM的射程R分別為500,1 000,2 000,3 000 km時,天基預警支援下對不同射程TBM的預警時間窗口進行仿真,結(jié)果如圖7所示。圖中,對天基支援下不同射程的TBM均有較好的預警時間窗口,所得最大預警時間窗口為913 s,基本能滿足作戰(zhàn)需求。所探測的TBM射程越短,天基支援的效用就越大,主要表現(xiàn)為對TBM初始段的有效預警。本文仿真中,對射程500 km的TBM,天基預警支援下能獲得315 s的預警時間窗口,可見天基預警支援作用明顯。

圖7 不同射程TBM天基支援下反導預警時間窗口仿真結(jié)果Fig.7 Simulation result of antimissileearly warning time window for early warning satellite with different firing range TBM as target

為分析天基預警的支援作用,有無天基預警支援時(均有地基遠程預警雷達)的預警時間窗口進行了仿真。取TBM射程2 000 km,結(jié)果如圖8所示。圖中：r為地基雷達部署距離。由圖可知：地基雷達部署距離越遠,天基預警衛(wèi)星的支援作用則越明顯,支援下能獲得較地基雷達平均長120 s的預警時間窗口。分析其原因,一是地基遠程預警雷達的作用距離有限且受地球曲率和地面障礙物的影響,導致其遠程、中遠程TBM的初始段探測能力相對較弱;二是因為天基預警衛(wèi)星憑借其紅外探測原理和居高臨下的優(yōu)勢,對TBM初始段有較強的探測能力,基本不受TBM射程的影響。

圖8 有無天基支援下反導預警時間窗口比較Fig.8 Comparison result antimissile early warning time window between useof early warning and no use satellite

5 結(jié)束語

本文對天基支援下反導預警時間窗口進行了仿真分析。結(jié)果表明：天基支援能明顯擴展反導預警時間窗口;TBM射程越遠,天基支援所提供的預警時間窗口擴展凈值越大;TBM射程越近,天基支援所提供的預警時間窗口擴展作用反有所增加。

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