張新春，劉 穎，李 娜

（1.華北電力大學(xué)機械工程系，河北 保定 071003；2.北京交通大學(xué)土建學(xué)院力學(xué)系，北京 100044）

由于具有獨特的力學(xué)性能和可設(shè)計性強等優(yōu)點，具有負泊松比效應(yīng)多胞材料將成為航空航天、汽車、鐵路和軍事等工程領(lǐng)域不可缺少的材料之一，已引起了廣泛關(guān)注［1－8］。多胞材料具有負泊松比現(xiàn)象的一種合理解釋是材料具有內(nèi)凹的胞元結(jié)構(gòu)（即胞元擴張角θ小于零），研究較多的是六邊形蜂窩及其相應(yīng)的內(nèi)凹結(jié)構(gòu)（見圖1）。多胞材料內(nèi)凹微結(jié)構(gòu)的存在，使它具有一些與實體材料不同的特殊性能。尤其在沖擊荷載作用下，胞元微拓撲結(jié)構(gòu)的改變對材料局部動態(tài)應(yīng)力演化過程的影響更加顯著。因此，如何建立內(nèi)凹微拓撲結(jié)構(gòu)參數(shù)與多胞材料動力學(xué)響應(yīng)間的關(guān)系，也是具有負泊松比效應(yīng)多胞材料力學(xué)性能研究的重要目標之一。

具有負泊松比效應(yīng)多胞材料最早由R.S.Lakes［2］制備，他通過對聚合物泡沫的三軸壓縮和熱處理，制備了具有內(nèi)凹胞體結(jié)構(gòu)的材料。目前已經(jīng)有了解釋該現(xiàn)象的多種力學(xué)模型［3－8］，并有對這種結(jié)構(gòu)性能進行的大量研究。例如，盧子興等［3］基于旋轉(zhuǎn)機制，提出了具有負泊松比效應(yīng)的二維多胞材料力學(xué)模型，并預(yù)測了模型的泊松比及剛度系數(shù)與胞元擴張角之間的關(guān)系；J.B.Choi等［4］對內(nèi)凹泡沫夾芯材料的楊氏模量進行了預(yù)測，指出具有負泊松比效應(yīng)泡沫材料的力學(xué)性能與胞元微拓撲結(jié)構(gòu)的改變（由外凸到內(nèi)凹）有關(guān)；D.W.Overaker等［5］研究了微拓撲性和胞元擴張角對六邊形蜂窩材料彈性性能的影響；H.Wan等［6］討論了胞元幾何參數(shù)對內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)泊松比的影響，指出該結(jié)構(gòu)的泊松比隨著應(yīng)變的改變而變化；J.N.Grima等［7］對泡沫材料中的拉脹特性進行了研究，并提出了一種新的解釋；E.J.Horrigan等［8］使用兩種不同的優(yōu)化工具，對具有負泊松比效應(yīng)隨機蜂窩結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能進行了優(yōu)化。可見，對具有負泊松比效應(yīng)多胞材料的大量研究已經(jīng)展開，但主要集中于靜力學(xué)特性的討論。與靜態(tài)及準靜態(tài)壓縮不同，在沖擊載荷作用下，結(jié)構(gòu)和慣性效應(yīng)將主要影響材料的動態(tài)響應(yīng)特性。如何建立胞元微拓撲結(jié)構(gòu)參數(shù)與材料宏觀動力學(xué)性能間關(guān)系，也是具有負泊松比效應(yīng)多胞材料力學(xué)特性描述中的一個重要問題。胞元內(nèi)凹微拓撲結(jié)構(gòu)的變化引起材料中豐富的動力學(xué)演化特性還有待于進一步澄清。

本文中，以內(nèi)凹六邊形蜂窩為研究對象，討論胞元擴張角和沖擊速度對蜂窩材料面內(nèi)沖擊性能和能量吸收機理的影響，以期建立具有負泊松比效應(yīng)多胞材料的宏觀動力學(xué)響應(yīng)與胞元擴張角和沖擊速度間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

1 計算模型

1.1 有限元模型

圖2 蜂窩材料的沖擊加載示意圖Fig.2 Diagrammatic sketch for honeycombs under in－plane impact

面內(nèi)沖擊作用下蜂窩材料的計算模型如圖2所示。試件分別由具有相同壁長和壁厚、但不同擴張角θ（擴張角的定義與文獻［1］完全相同）的內(nèi)凹六邊形胞元所填充（見圖3）。在本文的討論中，胞元擴張角控制在0～－30°。需要指出的是，當胞元擴張角θ＝－30°時，試件變?yōu)橐?guī)則三角形結(jié)構(gòu)，不屬于本文的研究范疇?；w材料為金屬鋁，采用理想彈塑性模型，楊氏模量Es＝69GPa，泊松比μ＝0.33，屈服應(yīng)力σys＝76MPa，基體材料的密度ρs＝2.698t／m3。采用顯式動力學(xué)軟件LS－DYNA進行動力學(xué)特性模擬［9］，計算中使用Shell 163殼單元（4節(jié)點四邊形殼單元）進行離散，每條棱邊單元數(shù)為6（見圖4）。為了保證收斂，沿厚度方向取五個積分點。對于變形過程中可能的接觸，采用單面自動接觸算法。另外，剛性板表面與蜂窩試件的外表面均視為光滑，兩者接觸無摩擦。采用與文獻［10－11］相同的邊界條件，即當剛性板沿y方向沖擊蜂窩試件時，試件的底端固定，左右兩側(cè)自由。另外，為保證變形的平面應(yīng)變狀態(tài)，試件中所有節(jié)點面外位移均被限制。模型的面外（沿z方向）厚度b＝1mm。

圖4 規(guī)則蜂窩結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分Fig.4 Mesh division of a regular honeycomb

表1 具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料的性能參數(shù)Table1 Characteristic parameters for honeycombs with negative Poisson’s ratio effects

具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料的相對密度可表示為

式中：ρ＊是蜂窩材料的密度，li是第i個胞壁的長度，ti為相應(yīng)胞壁的厚度，L1、L2分別是整個試件的寬度和高度。根據(jù)方程（1），不同胞元擴張角蜂窩結(jié)構(gòu)的性能參數(shù)見表1。

1.2 模型可靠性分析

為了驗證有限元模型的可靠性，建立與文獻［10］完全相同的計算模型，討論規(guī)則六邊形蜂窩材料的面內(nèi)動態(tài)響應(yīng)特性。圖5中給出了剛性板沖擊速度v＝7m／s時，六邊形蜂窩在y方向的沖擊變形特性。由圖可見，在基體材料性能、邊界條件和加載條件完全相同的條件下，計算結(jié)果與文獻［10］中面內(nèi)變形模式基本吻合，證明了該模型的可靠性。

圖5 規(guī)則六邊形蜂窩沿y方向的面內(nèi)變形模式（v＝7m／s）Fig.5 In－plane crushing deformation of regular hexagonal honeycomb in the ydirection

圖6 規(guī)則蜂窩材料的動力響應(yīng)Fig.6 Dynamic response of regular honeycomb

此外，對于蜂窩材料面內(nèi)動力學(xué)特性的模擬，胞元填充數(shù)目對模擬結(jié)果也有一定的影響。如何有效地捕捉它的態(tài)變形特性并保證計算效率，在動態(tài)沖擊問題的模擬中十分重要。圖6中討論了剛性板的沖擊速度v＝7m／s時，胞元填充數(shù)目對六邊形蜂窩面內(nèi)動力響應(yīng)特性的影響。圖中名義應(yīng)力σ為剛性板作用在試件上的壓縮反力F與初始橫截面面積A 的比值，σ＝F／L1b，名義應(yīng)變ε為試件沿y方向的相對壓縮量，ε＝δ／L2，δ為沖擊方向剛性板的壓縮位移。研究表明，在x、y方向內(nèi)填充胞元的數(shù)目nx、ny超過10時，動態(tài)響應(yīng)趨于穩(wěn)定。

在對規(guī)則六邊形蜂窩材料研究的基礎(chǔ)上，本文中將系統(tǒng)地討論具有負泊松比效應(yīng)蜂窩（內(nèi)凹六邊形）材料的面內(nèi)沖擊動力學(xué)性能。

2 結(jié)果討論與分析

2.1 具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料的面內(nèi)沖擊響應(yīng)

圖7中給出了不同沖擊速度下內(nèi)凹六邊形蜂窩在名義應(yīng)變ε＝0.4時的面內(nèi)沖擊變形模式。計算結(jié)果表明，由于胞元內(nèi)凹，蜂窩材料的局部應(yīng)力分布發(fā)生了改變。當胞元擴張角較?。ㄈ绂龋剑?°）時，在低速沖擊（v＝7m／s）作用下，局部變形帶主要集中在沖擊端和固定端，變形帶內(nèi)的胞元沿橫向（x方向）表現(xiàn)出局部剛化的特性。從試件的整體變形模態(tài)可知，靠近自由邊界的胞元處于受拉狀態(tài)，而處于縱向?qū)ΨQ軸附近中部的胞元處于受壓狀態(tài)。這也導(dǎo)致了試件的面內(nèi)動力響應(yīng)表現(xiàn)為某種軟芯材料（見圖7（a）中虛線）。隨著胞元擴張角的增加（θ＝－15°），由于塑性絞發(fā)生在各個結(jié)點處，更容易調(diào)動各個胞元發(fā)生整體變形，試件沖擊端和固定端局部變形帶消失，表現(xiàn)為整體均勻的變形模式。隨著胞元擴張角的進一步增加（θ＝－25°），試件的相對密度增大（見表1），固定端的胞元首先發(fā)生變形，當固定端胞元被壓潰之后，沖擊端胞元才開始變形。

隨著沖擊速度的增加（v＝20m／s），不同胞元擴張角蜂窩材料表現(xiàn)出各異的變形模態(tài)。當擴張角較?。é龋剑?°）時，變形主要集中在沖擊端，并且表現(xiàn)為V型剪切變形模式。隨著擴張角的增加，V型剪切變形帶逐漸減弱。當胞元擴張角更大（θ＝－25°）時，變形主要集中在沖擊端和固定端，且以沖擊端變形為主，與規(guī)則三角形蜂窩變形類似［11］。當沖擊速度接近或超過沖擊波速（v＝120m／s）時，慣性效應(yīng)增強，變形帶主要集中在沖擊端，對應(yīng)著從沖擊端到固定端I型逐層壓潰變形模式，這與其他微結(jié)構(gòu)蜂窩材料基本類似［10－11］。可見，在沖擊荷載作用下，具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料的面內(nèi)沖擊響應(yīng)主要依賴于胞元擴張角和沖擊速度。

圖7 具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料在不同沖擊速度下的變形模式Fig.7 Deformation modes of honeycombs with negative Poisson’s ratio effects under different impact velocities

圖8中給出了具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料沖擊端剛性板的面內(nèi)沖擊響應(yīng)曲線。計算結(jié)果表明，具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料的動態(tài)響應(yīng)規(guī)律與一般多胞材料相同，即開始階段，材料動態(tài)響應(yīng)近似于線性；隨后進入穩(wěn)定的平臺變形區(qū)，直至試件逐漸壓縮密實［1］。由于胞元擴張角的不同，蜂窩材料的動態(tài)響應(yīng)各異。胞元擴張角的絕對值越大，試件的平臺應(yīng)力越高，但由于相對密度的增加，鎖定應(yīng)變卻相應(yīng)減小，這種現(xiàn)象隨沖擊速度增加而更加明顯（見圖8）。圖9中給出了具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料在固定端的動態(tài)響應(yīng)曲線。在低速沖擊荷載（v＝7m／s）作用下，動態(tài)響應(yīng)規(guī)律與沖擊端基本類似（見圖8（a）、圖9（a））。隨著沖擊速度的增加，胞元擴張角對固定端動態(tài)響應(yīng)影響逐漸明顯，胞元擴張角的絕對值越小，固定端輸出應(yīng)力越小。尤其在高速沖擊荷載作用下，這種現(xiàn)象尤為顯著（見圖9（c）、9（d））。

圖8 具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料在沖擊端的名義應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.8 Nominal stress－strain curves for honeycombs with negative Poisson’s ratio effects at the impact end

圖9 具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料在固定端的名義應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.9 Nominal stress－strain curves for honeycombs with negative Poisson’s ratio effects at the supporting end

2.2 平臺應(yīng)力與質(zhì)量能量吸收

作為一種高效的阻尼材料，輕質(zhì)多胞材料已被廣泛地應(yīng)用于各種能量吸收結(jié)構(gòu)中，從各種器件的包裝到航空航天飛機的能量吸收器。評估多胞材料與結(jié)構(gòu)能量吸收能力大小的一個重要指標就是質(zhì)量能量吸收率（即比能量）［12］

式中：εd為鎖定應(yīng)變，可由名義應(yīng)力再次達到初始應(yīng)力峰值時所對應(yīng)的應(yīng)變確定；εcr為屈服應(yīng)變，為名義壓縮應(yīng)力達到第一個應(yīng)力峰值時的名義應(yīng)變，本文中取εcr＝0.02，以達到較高的計算精度；σ（ε）為隨名義應(yīng)變而變化的名義應(yīng)力。基于方程（3），圖10中給出了不同沖擊速度作用下具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料在沖擊端和固定端的平臺應(yīng)力。計算結(jié)果表明，沖擊端蜂窩材料的平臺應(yīng)力都隨沖擊速度的增加而增大，與沖擊速度的平方幾乎成正比。對于相同的沖擊速度，蜂窩材料的平臺應(yīng)力隨胞元擴張角絕對值的增加而增大（見圖10（a）、圖11），這也從另一方面反映了蜂窩材料應(yīng)力分布的不均勻性。與蜂窩材料在沖擊端的平臺應(yīng)力類似，固定端平臺應(yīng)力也隨胞元擴張角的增加而增大，但隨沖擊速度的增加卻基本保持不變（見圖10（b））。

圖10 不同沖擊速度下具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料的平臺應(yīng)力Fig.10 Plateau stress for honeycombs with negative Poisson’s ratio effects under different impact velocities

圖11 蜂窩材料沖擊端的平臺應(yīng)力隨擴張角的變化Fig.11 Variation of plateau stress with respect to expanding angles for honeycombs at the impact end

基于方程（2），圖12中給出了具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料質(zhì)量能量吸收率與名義應(yīng)變的關(guān)系。由圖12可見，在胞元幾何尺寸（壁長和壁厚）、材料的相對壓縮量和沖擊速度不變的前提下，胞元擴張角的絕對值越大，蜂窩材料的吸收質(zhì)量能量越高。一方面，由于胞元擴張角的增加，相對密度相應(yīng)增加；另一方面，胞元擴張角越大，試件面內(nèi)變形更加困難。當胞元擴張角增加到一定值時，試件質(zhì)量吸收能量變化很小。另外，由圖12也可見，隨著沖擊速度的增加，慣性效應(yīng)增強，在名義應(yīng)變一定的條件下，具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料表現(xiàn)出更強的能量吸收能力。

圖12 具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料的能量吸收特性Fig.12 Energy absorption characteristics for honeycombs with negative Poisson’s ratio effects

3 結(jié) 論

針對具有相同幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)（胞元壁長和壁厚）、但不同胞元擴張角的內(nèi)凹六邊形蜂窩，研究了不同沖擊荷載作用下蜂窩材料的面內(nèi)動態(tài)沖擊特性。研究結(jié)果表明，具有負泊松比效應(yīng)蜂窩材料的面內(nèi)變形模式主要依賴于胞元擴張角和沖擊速度。胞元擴張角的不同改變了蜂窩材料中應(yīng)力波的傳播特性，材料的局部變形模式發(fā)生了變化，進而影響了材料的宏觀動態(tài)響應(yīng)。在中低速沖擊作用下，隨著胞元擴張角的增加，試件的動力學(xué)響應(yīng)或者表現(xiàn)為某種軟芯材料（θ＝－5°），或者表現(xiàn)為整體變形模式（θ＝－15°），或者表現(xiàn)為局部剪切變形帶主要集中在沖擊端和固定端 （θ＝－25°）。在胞元壁長和壁厚、名義應(yīng)變以及沖擊速度一定的前提下，胞元擴張角的絕對值越大，沖擊端蜂窩材料的平臺應(yīng)力越高。與蜂窩材料在沖擊端的平臺應(yīng)力類似，固定端的平臺應(yīng)力也隨胞元擴張角的增加而增大，但平臺應(yīng)力隨沖擊速度的增加卻基本保持不變。另外，隨著沖擊速度的提高，在名義應(yīng)變一定的條件下，蜂窩材料表現(xiàn)出更強的能量吸收能力。

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