楊廷力 沈惠平 劉安心 羅玉峰

(1常州大學，江蘇 常州 213164;2.解放軍理工大學，江蘇 南京 213007;3.南昌大學，江西 南昌 330031)

0 前言

機械系統(tǒng)經(jīng)歷了蒸汽化時代、電氣化時代之后，進入了信息化時代，以機器人與數(shù)控機床為代表的信息化機械系統(tǒng)的發(fā)展推動著現(xiàn)代機構學的發(fā)展。150多年以來，機器人機構學發(fā)展先后形成了基于桿－副單元的機構學理論體系(德國學派)，基于Assur組的機構學理論體系(俄國學派)，以及基于回路單元的機構學理論體系(美國學派)，現(xiàn)在進入了構建現(xiàn)代機構學的新時期。近20多年來，機器人機構學研究取得了突破性進展，作者提出且已形成基于單開鏈單元的機器人機構學新理論體系，即，基于單開鏈單元的機構拓撲學、運動學與動力學三者統(tǒng)一建模的系統(tǒng)理論與方法。［1］

機構學理論的突破性進展總是伴隨著研究方法的變化，文章試圖在機構學理論進展的更高層面的方法論方面進行思考與理解，以期對相關科學、學術研究有所啟示。

1 機器人機構學理論體系的基本架構

1.1 理論物理學體系的基本架構

愛因斯坦認為:“構成理論物理學完整體系的是概念和被認為對這些概念確立的基本定律，以及經(jīng)過邏輯推理而獲得的結論……”，“這些不能通過邏輯過程進一步還原的基本概念和假設組成了理論的實質(zhì)部分，它們是推理所接觸不到的。一切理論的崇高目標就在于使這些不能再還原的要素盡可能簡單和少……”，［2］圖1是對這段論述的一種理解方式。

圖2 機構學理論體系的基本架構【1】

圖1 理論物理學體系的基本架構

1)基本概念是導出基本定律以及其他結論的基石，影響整個理論體系。

2)基本概念是不能通過邏輯推理導出的，應盡可能簡單和少。

3)基于基本概念導出的基本定律是物理學理論架構的骨干，具有簡潔性。

4)基于基本定律、根據(jù)邏輯推理提出的基本方法，具有普遍性。

1.2 機構學理論體系的基本架構

由機構學理論進展可知，機構學理論體系的基本架構如圖2所示。

機構學理論體系的核心內(nèi)容如下:

1)3個新概念:尺度約束類型、POC集、SOC單元。［1，3］

2)3個拓撲學基本方程:串聯(lián)機構POC方程、并聯(lián)機構 POC 方程、DOF 公式［1，3－4］，這些拓撲學基本方程揭示了機構拓撲結構、POC集與DOF三者之間的映射關系(圖3(a))。

3)基于“SOC單元”建模的機構運動學方程［5－9］，這些運動學方程揭示了機構尺度參數(shù)、運動輸入與輸出三者之間的映射關系(圖3(b))。

4)基于“SOC單元”建模的機構動力學方程［5－6，9］，這些動力學方程揭示了機構慣性參數(shù)、輸入扭矩與工作阻力三者之間的映射關系(圖3(c))。

圖3 機構學基本方程的映射關系【1】

2 基本概念——理論體系的基石

2.1 引入新概念的必要性

基于非邏輯思維引入的3個新概念是構建機構學理論體系的基石。

1)尺度約束類型用于描述機構拓撲的幾何結構［1，3］，如圖 4 所示。

圖4 尺度約束的6種基本類型

引入尺度約束類型的必要性:

①使機構拓撲結構具有運動過程不變性，是導出POC方程的依據(jù)之一。

②使機構拓撲結構與定坐標系和運動位置無關，是導出POC方程的依據(jù)之一。

2)POC集用于描述兩構件運動的相對方位特征。［1，3］

POC集包含的信息有運動輸出類型、獨立運動輸出數(shù)和運動輸出的方位特征。

①POC集是機構的基本功能之一，是構建POC方程的依據(jù)之一。

②POC集與定坐標系和運動位置無關，是導出機構POC方程的依據(jù)之一。

3)SOC單元用于描述機構拓撲的有序結構。［1，3］

引入單開鏈單元的必要性:

①只需構建串聯(lián)和并聯(lián)機構的POC方程，可確定機構任意構件的POC集。

②基于SOC單元的機構組成原理，可建立機構拓撲學、運動學與動力學三者統(tǒng)一建模的機構學新理論體系，它區(qū)別于已有的基于桿－副單元構建的機構學理論體系，基于Assur運動鏈構建的機構學理論體系，以及基于回路單元構建的機構學理論體系(圖5)。

圖5 機構組成原理與機構學理論體系

2.2 新概念的特點

1)基于非邏輯思維提出的3個新概念，不能由現(xiàn)有知識通過邏輯推理得到。

2)提出新概念是一個定性分析過程，又是一個從經(jīng)驗升華為概念的抽象思維過程。

3)基于3個新概念導出機構學基本方程，影響遍及整個理論體系。

4)基于非邏輯思維提出的新概念一般源于直覺、靈感與頓悟等，具有偶然性;對美的欣賞、理解與共鳴能激發(fā)出新的直覺與靈感，因為大自然的多樣性之美、情感的純真之美與科學中心法則的簡潔之美是相通的;新概念的出現(xiàn)有一個孕育過程，也總會伴隨一個饒有趣味的故事。

3 中心法則——理論體系的支柱

基于概念確立的基本定律(或稱中心法則)是理論體系架構的支柱(圖1)，中心法則可以是定量公式，半定量公式或定性規(guī)則。以下論述發(fā)現(xiàn)中心法則的簡潔之美的基本思想。

3.1 系統(tǒng)的不變性(量)

基本思想:系統(tǒng)不變性(量)與基本規(guī)律的對應性。

“萬物的不斷變化是絕對的，但需要找出變化中保持不變的規(guī)律，無論是社會科學還是自然科學，都會尋求某種不變性，在科學上稱之為守恒，在數(shù)學上就是不變量”。

例如，對于機構學，機構的拓撲結構具有運動過程不變性(對非奇異位置)，相應地，發(fā)現(xiàn)多種拓撲結構特征不變量及其數(shù)學表示［1］如下:

其中，確定不變量POC集的POC方程和確定不變量DOF的DOF方程成為機構拓撲學的基本方程組。

3.2 非線性問題的線性化

基本思想:非線性問題的線性化及映射關系。

運動過程的非線性問題通過微分轉(zhuǎn)化為瞬時線性問題，可由線性運算得到瞬時解，但應通過較簡單的映射關系，將瞬時線性解化為非線性問題的解。

例如，機構拓撲綜合3種方法的基本思想都是非線性問題的線性化方法，其差別在于如何將瞬時線性解映射為運動過程的非線性解。

1)基于POC集的方法得到線性解，再通過VC集與POC集的對應性原理，得到非線性解，即非瞬時機構，該方法能覆蓋位移子群機構和子流形機構(圖 6(a))。［1，5］

2)基于位移子群的方法得到線性解，再通過指數(shù)映射得到非線性解，即非瞬時機構，但該方法尚不能覆蓋子流形機構，因該類機構不存在指數(shù)映射關系(圖 6(b))。［1，5］

3)基于螺旋理論的方法得到線性解(瞬時機構)，需判定其非瞬時性，但尚未給出判定的一般方法(圖 6(c))。［1，5］

圖6 機構拓撲綜合方法的基本思想【1】

3.3 幾何化與代數(shù)化

基本思想:幾何化提供更多的信息。

大自然界是幾何化的，而代數(shù)形式僅是幾何化世界的一種理解方式，幾何化有利于揭示更簡潔的中心法則。

例如，引入尺度約束類型使機構拓撲結構幾何化，引入POC集使運動方位特征幾何化，從而使機構的拓撲結構和POC集皆與運動位置無關，并由此導出POC方程及其幾何化運算規(guī)則。

基于POC集的方法可視為描述機構運動副軸線的線矢簇(表 1)的幾何方法［1，5］，與定坐標系無關，亦與機構運動位置無關;而基于Plucker坐標的螺旋理論方法是描述線矢簇的代數(shù)方法［10］，與定坐標系有關，亦與機構運動位置有關。

3.4 系統(tǒng)論

基本思想:借助子系統(tǒng)探索系統(tǒng)功能與結構之間的映射關系。

該方法涉及子系統(tǒng)的劃分方式、子系統(tǒng)的有序性、子系統(tǒng)中心法則與系統(tǒng)整體中心法則之間的映射關系等。

表1 線矢和旋量在不同幾何空間下的最大線性無關數(shù)

1)子系統(tǒng)的劃分方式。如，以Assur組、桿－副、回路或SOC分別為機構的子系統(tǒng)，如圖7所示可分別揭示機構的若干拓撲結構特征(表2)。

2)子系統(tǒng)的有序性。如，以SOC為子系統(tǒng)且考慮其有序性，可揭示機構新的拓撲結構特征(表 2)［5，9］。

3)子系統(tǒng)的對稱性。當子系統(tǒng)類型具有對稱性時，得到 DOF 公式為:［1，4］

當子系統(tǒng)類型具有非對稱性時，得到DOF公式為［1，4］:

而式(1)僅為式(2)之特例。

表2 子系統(tǒng)的層次結構與機構拓撲結構特征［5］

3.5 機構學與數(shù)學

基本思想:在非常復雜的物理現(xiàn)象中提出其精髓，然后把這種精髓通過很簡單但深入的想法，用數(shù)學方法表示出來。

機構學與數(shù)學之間的關系:

1)數(shù)學方法的直接應用。如，將圖論、線性代數(shù)、螺旋理論、李群、微分流形、多頂式理論、迭代法、連續(xù)法等，直接用于解決機構學問題。

2)數(shù)學方法與機構學規(guī)律相結合。如，Newton迭代法與有序SOC單元的拓撲結構結合，使方程維數(shù)降為最低，有利于迭代法得到全部實數(shù)解。［7，9］又如，對 6R 串聯(lián)機構的逆位置問題:基于5R串聯(lián)機構的逆位置解的唯一性，用一維搜索得到全部實數(shù)解。［8］

3)對相關數(shù)學方法的拓寬與改進。

①對圖論有關概念與理論的拓寬。將機構組成原理以及揭示的拓撲結構特征，分別抽象為圖論的有關概念、理論與有關算法等，從而拓寬了圖論的有關概念、理論與有關算法，如圖7所示。［11－12］

圖7 拓寬圖論的相關概念

②對消元法的改進。在Grobner基法和吳文俊消元法的基礎上，提出主項解耦消元法［13－14］，其主要特點如表3所示。

④對集合論有關概念與理論的改進。數(shù)學集合不含非獨立元素，而機構拓撲學的POC集含非獨立元素。因此，POC集的“并”與“交”運算規(guī)則包括獨立元素判定準則(表4)，數(shù)學集合的“并”的維數(shù)公式僅是POC集“并”的維數(shù)公式的特例。［1］

表3 3種消元法的主要特點［13］

表4 含非獨立元素的集合及其運算［1］

4 結論

基于單開鏈單元的機構學新理論體系的研究進展，文章對其研究方法進行了較系統(tǒng)的分析與總結:

1)機構學理論應闡述機構系統(tǒng)的總體結構與性能之間的關系，并進一步揭示它與其他學科知識的相互關系。

2)基于非邏輯思維引入的3個新概念(尺度約束類型、POC集、SOC單元)是機構學新理論體系的基石，其影響遍及整個理論體系。

3)基于單開鏈單元導出的機構拓撲學、運動學與動力學基本方程是機構學新理論體系的支柱，是機構拓撲學、運動學與動力學設計方法的理論基礎。

4)揭示簡潔中心法則的基本思想包括以下方面:揭示系統(tǒng)的不變性(量)，拓撲結構的幾何化，非線性問題的線性化，系統(tǒng)單元的層次結論、有序性與對稱性，數(shù)學與機構學內(nèi)在規(guī)律的結合以及對數(shù)學方法的改進等，機構學理論進展總伴隨著研究方法的變化。

5)機構學的任何一種理論都是對機械系統(tǒng)的不同理解方式，未來一定會出現(xiàn)新的理解方式，即高一層的更具有簡潔之美的理論體系。

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