鄭愛(ài)武 ，周建平

（1.北京航天飛行控制中心航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100094；

2.中國(guó)載人航天工程辦公室，北京100720；3.北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100083）

1 引言

月球獨(dú)特的空間位置、極具潛力的科學(xué)探索前景和豐富的可利用資源，決定了月球探測(cè)活動(dòng)是當(dāng)今世界航天領(lǐng)域中極具挑戰(zhàn)性和顯示度的領(lǐng)域之一。上個(gè)世紀(jì)50年代末以來(lái)，以美國(guó)和前蘇聯(lián)為首的世界航天大國(guó)開(kāi)展了大量月球探測(cè)活動(dòng)，取得了一系列成果，并帶動(dòng)了相關(guān)領(lǐng)域科技與應(yīng)用的快速發(fā)展。在1959年到1976年的第一次探月高潮中，美國(guó)成功實(shí)施了6次載人登月，前蘇聯(lián)成功實(shí)施了2次無(wú)人月面自動(dòng)巡視探測(cè)和3次無(wú)人采樣返回任務(wù)。20世紀(jì)90年代開(kāi)始，美國(guó)、俄羅斯、印度、日本和歐空局等主要航天國(guó)家和組織紛紛提出了新的月球與深空探測(cè)計(jì)劃。美國(guó)登月的側(cè)重點(diǎn)是資源方面，最終目的是火星，所以把月球當(dāng)成中間站；歐洲的側(cè)重點(diǎn)是技術(shù)，正在研究探月和登月的新方法和新技術(shù)；印度和日本的側(cè)重點(diǎn)則是關(guān)于月球科學(xué)的研究。

在月球探測(cè)任務(wù)中，軌道的設(shè)計(jì)問(wèn)題是所面臨的一個(gè)最基本的問(wèn)題，其設(shè)計(jì)的優(yōu)劣直接影響任務(wù)執(zhí)行的效果、甚至成敗。近年來(lái)國(guó)內(nèi)在載人登月軌道設(shè)計(jì)方面已取得了一些進(jìn)展。劉興隆基于圓錐曲線拼接法，從幾何與力學(xué)角度對(duì)自由返回軌道進(jìn)行了分析[1]。白玉鑄等人應(yīng)用分段受攝的高精度動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了搜索變量、約束條件與微分修正搜索算法，搜索得到了自由返回軌道和混合軌道[2]。黃文德等人給出了基于雙二體假設(shè)的軌道初步設(shè)計(jì)，對(duì)自由返回軌道的飛行時(shí)間、軌道傾角、近月距和軌道拼接點(diǎn)分布等參數(shù)進(jìn)行特性分析[3]，并在雙二體假設(shè)的基礎(chǔ)上，考慮月球運(yùn)動(dòng)的非圓性，給出了混合軌道的設(shè)計(jì)實(shí)例，對(duì)混合軌道的特性進(jìn)行了分析[4]。黃文德、陳海萍和郗曉寧等人還針對(duì)混合軌道的中止需求，在雙二體的假設(shè)下，建立了直接中止、多脈沖中止和借助自由返回軌道中止等三種中止方式的軌道計(jì)算模型。并分析了任務(wù)中止方式、中止軌道在能量需求和返回飛行時(shí)間等方面的特性[5-6]。

國(guó)外載人登月各個(gè)階段積累的成功經(jīng)驗(yàn)和失敗教訓(xùn)，可以為我國(guó)實(shí)施載人登月計(jì)劃提供思路和啟發(fā)。本文總結(jié)了國(guó)內(nèi)外載人登月軌道設(shè)計(jì)的方法以及相關(guān)的研究成果，重點(diǎn)概述了載人登月的軌道類型、設(shè)計(jì)方法、約束條件、優(yōu)化原則和飛行模式。

2 載人登月的軌道類型

根據(jù)Apollo載人登月的成功經(jīng)驗(yàn)，為保證航天員的安全，用于載人登月的軌道主要有兩種類型：自由返回軌道和混合（Hybrid）軌道。自由返回軌道已被美國(guó)應(yīng)用在Apollo 8，10，11任務(wù)中，從Apollo 12開(kāi)始的后續(xù)任務(wù)，包括Apollo 13在內(nèi)，采用的是混合軌道[7-8]。

2.1 自由返回軌道

自由返回軌道是載人登月任務(wù)首選的一類轉(zhuǎn)移軌道，也是載人登月軌道設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。如圖1所示，載人飛船只在地月轉(zhuǎn)移軌道入軌點(diǎn)（TLI）進(jìn)行一次變軌，其后不加機(jī)動(dòng)或略加修正，飛抵近月點(diǎn)后在引力作用下繞過(guò)月球并自動(dòng)返回地球附近。Apollo首選的自由返回軌道是一條近月點(diǎn)高度大約為60海里（111km）的軌道。

圖1 自由返回軌道示意圖

自由返回軌道的安全性高，如果航天員或飛船出現(xiàn)意外無(wú)法完成登月任務(wù)，那么這種軌道可以在不實(shí)施近月點(diǎn)制動(dòng)情況下使飛船自動(dòng)沿預(yù)先設(shè)計(jì)的軌道返回地球，從而挽救航天員的生命。但自由返回軌道的傾角有限，相對(duì)月球赤道面的傾角在大約10°以內(nèi)，因此著陸點(diǎn)也限制在月球赤道附近。

2.2 混合軌道

混合軌道由自由返回軌道與非自由返回軌道組合而成，如圖2所示。

圖2 混合軌道示意圖

混合軌道在實(shí)施TLI后先進(jìn)入一條自由返回軌道，該軌道的近月點(diǎn)高度有可能很高，從60海里（111km）到幾千海里。大約在TLI后一天（通常在半途之前），航天器進(jìn)行一次機(jī)動(dòng)，進(jìn)入一條近月點(diǎn)高度大約為60海里的轉(zhuǎn)移軌道，理論上該軌道不再是自由返回的。在Apollo計(jì)劃中根據(jù)預(yù)期的誤差傳播，該軌道可以通過(guò)機(jī)動(dòng)修正為自由返回模式，但修正的時(shí)機(jī)有限，一旦進(jìn)入月球影響球，僅通過(guò)服務(wù)艙反應(yīng)控制系統(tǒng)（SMRCS，推力很小，通常只用來(lái)進(jìn)行中途修正[9]）完成不了軌道修正任務(wù)，此時(shí)可利用登月艙下降推力系統(tǒng)（LM DPS）替代SMRCS進(jìn)行修正。因此，混合軌道設(shè)計(jì)還需要綜合考慮任務(wù)中止軌道設(shè)計(jì)的要求。

由于混合軌道月球軌道入軌（LOI）所需的燃料比自由返回軌道少，因此可達(dá)月球的范圍更寬。通常，混合軌道可達(dá)到的傾角從大約0°～15°（低能量）或者0°～30°（高能量）。Apollo計(jì)劃中，實(shí)施登月的Apollo 11-Apollo 17（除去未成功登月的Apollo 13）對(duì)月表的探測(cè)范圍都在南北緯30°之間。

在以下情況下將選擇混合模式而不是自由返回模式：

（1）當(dāng)自由返回模式需要過(guò)多的燃料時(shí)；

（2）當(dāng)自由返回模式到達(dá)月球的時(shí)間與一些限制條件發(fā)生沖突時(shí)（例如月球光照條件或特定地面站的覆蓋范圍）。

2.3 任務(wù)中止軌道

任務(wù)中止軌道不屬于正常的軌道類型，而是為了保障航天員的安全，必須考慮在飛行過(guò)程中任一點(diǎn)出現(xiàn)故障時(shí)，都能使航天員安全返回地球的應(yīng)急軌道。自由返回軌道具有很高的安全性，混合軌道除了自由返回軌道段具有自主返回的能力外，其它飛行段不具備自主返回的能力，因此，在設(shè)計(jì)時(shí)，必須同時(shí)考慮任務(wù)中止軌道的設(shè)計(jì)。實(shí)踐表明，“阿波羅”計(jì)劃的順利實(shí)施與前期進(jìn)行的任務(wù)中止軌道研究密不可分。在Apollo 13任務(wù)中，飛船在氧氣罐爆炸后不能使用服務(wù)艙推進(jìn)系統(tǒng)的情況下成功返回了地球[10]。

圖3 混合軌道中止方式

如果故障發(fā)生在混合軌道的非自由返回軌道段，一般可以有兩類中止方式：一類是借助自由返回軌道返回，飛船經(jīng)歷一次繞月飛行后返回地球；另一類是直接進(jìn)入返回地球的軌道，也就是直接中止方式。直接中止方式中，根據(jù)變軌的方法，又可分為單脈沖方式和多脈沖方式。兩種中止返回方式如圖4、圖5所示。

圖4 單脈沖直接中止方式

圖5 雙脈沖直接中止方式

自由返回軌道是在推進(jìn)系統(tǒng)失效的情況下飛船能安全返回的最優(yōu)軌道。對(duì)于給定中止點(diǎn)，設(shè)計(jì)中止自由返回軌道的方法與正常飛行的條件下自由返回軌道的設(shè)計(jì)并無(wú)本質(zhì)區(qū)別，這里不再贅述。

在混合軌道的不同點(diǎn)位上，實(shí)現(xiàn)直接中止所需的能量不同。由于飛船所能提供的能量有限，在某些區(qū)域內(nèi)，實(shí)現(xiàn)單脈沖返回是不可能的[11]。而有些區(qū)域，具有充足的能量用于返回，即能量過(guò)剩。因此，需要通過(guò)能量的優(yōu)化，對(duì)于不能實(shí)現(xiàn)單脈沖中止的區(qū)域，利用多脈沖實(shí)現(xiàn)中止返回；對(duì)于能量過(guò)剩的區(qū)域，一方面，可以通過(guò)利用過(guò)剩的能量獲取高能返回軌道，減少返回時(shí)間；另一方面，可以利用過(guò)剩的能量對(duì)返回軌道進(jìn)行修正，使返回軌道末端處于再入走廊（由飛行航跡角決定）的中心地帶，提高返回精度和安全系數(shù)。

3 載人登月軌道設(shè)計(jì)方法

在過(guò)去幾十年的人類探測(cè)月球的活動(dòng)中，各國(guó)的研究人員研究、發(fā)展出了多種轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計(jì)技術(shù)，如脈沖轉(zhuǎn)移方式、連續(xù)推力轉(zhuǎn)移方式和基于弱穩(wěn)定邊界（WSB）的轉(zhuǎn)移方式。不同轉(zhuǎn)移方式需消耗能量的多少和轉(zhuǎn)移時(shí)間的長(zhǎng)短大不相同。

上世紀(jì)60～80年代期間所有的月球探測(cè)任務(wù)幾乎都采用了經(jīng)典的基于Hohman轉(zhuǎn)移的直接轉(zhuǎn)移方式，比如Luna和Apollo任務(wù)。典型的直接轉(zhuǎn)移通常需要2d～5d。航天器應(yīng)選擇在當(dāng)月球赤緯小于停泊軌道傾角（通常等于發(fā)射場(chǎng)的緯度）的時(shí)候發(fā)射[12]。九十年代提出了“返回月球”計(jì)劃后，在軌道設(shè)計(jì)上有了更多的變化，采用了一些新的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)方法來(lái)降低ΔV的需求[13-14]。例如，日本的“飛天”號(hào)（Hiten）任務(wù)同時(shí)使用了月球借力飛行（swing-by）和WSB的軌道設(shè)計(jì)方法捕獲并進(jìn)入大橢圓月球軌道。轉(zhuǎn)移時(shí)間為6個(gè)月[15]。低能軌道在對(duì)時(shí)間要求不高的無(wú)人采樣返回任務(wù)中具有廣闊的應(yīng)用前景[16]。

新的低能軌道設(shè)計(jì)方法可以大大節(jié)約燃料，如Ballistic轉(zhuǎn)移比常規(guī)的Hohmann轉(zhuǎn)移大約節(jié)省15%能量[17]。而且隨著目前一些新的進(jìn)展也使得飛行時(shí)間由原來(lái)的100d縮短到了13d～15d之間[18]。但對(duì)于載人登月來(lái)說(shuō)，低能軌道的飛行時(shí)間還是太長(zhǎng)，因此載人飛船的軌道設(shè)計(jì)方法還只能采用直接轉(zhuǎn)移方式。不過(guò)，未來(lái)的月球基地建設(shè)中，貨運(yùn)飛船的軌道設(shè)計(jì)可以考慮更省燃料的低能軌道。

載人登月軌道設(shè)計(jì)的基本方法還是先采用簡(jiǎn)化的動(dòng)力學(xué)模型快速獲得軌道初始解，作為后續(xù)高精度軌道設(shè)計(jì)的初值，計(jì)算中采用相應(yīng)的優(yōu)化算法和搜索算法。直接轉(zhuǎn)移初步設(shè)計(jì)方法有Hohmann轉(zhuǎn)移、雙橢圓轉(zhuǎn)移、橢圓-雙拋物線轉(zhuǎn)移以及拼接圓錐法。這里主要介紹最常用的Hohmann轉(zhuǎn)移和拼接圓錐法。

3.1 Hohmann轉(zhuǎn)移

1925年Walter Hohmann得到了在限制性二體問(wèn)題下，兩條圓軌道之間最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道的一個(gè)解析解，該解被稱為Hohmann轉(zhuǎn)移軌道，它可以實(shí)現(xiàn)探測(cè)器在兩個(gè)共面圓軌道之間最小能量的轉(zhuǎn)移（R2/R1＜11.94時(shí)，R1、R2分別為兩圓軌道的半徑）。如果將月球的公轉(zhuǎn)軌道近似為圓軌道，也不考慮航天器如何被月球捕獲的問(wèn)題，那么，對(duì)從地球圓軌道出發(fā)的航天器而言，Hohmann轉(zhuǎn)移是一種最便利的轉(zhuǎn)移方式。

圖6給出了利用Hohmann轉(zhuǎn)移實(shí)現(xiàn)地月轉(zhuǎn)移的基本過(guò)程（這里設(shè)地球停泊軌道的半徑為R1，月球停泊軌道的半徑為R2），其主要步驟為：

圖6 地心系下Hohmann最小能量地月轉(zhuǎn)移軌道

（1）第一步與普通的Hohmann轉(zhuǎn)移相同，就是航天器在地球停泊圓軌道上運(yùn)行到“1”處時(shí)施加第一個(gè)速度脈沖ΔV1，將軌道變?yōu)槔@地球的橢圓軌道，其近地點(diǎn)就是“1”，其遠(yuǎn)地點(diǎn)位置在月球軌道附近。

由圖6可以得到轉(zhuǎn)移橢圓的半長(zhǎng)軸amin：

其中R1也是轉(zhuǎn)移橢圓軌道的近地點(diǎn)地心距 ，V1是地球停泊圓軌道上的速度，VE1是近地點(diǎn)的速度，VE2是遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度，D=384400 km是地月距，可以看作常數(shù)。

（2）第二步與普通的Hohmann轉(zhuǎn)移不相同，因?yàn)榈诙蚊}沖不是為了使航天器進(jìn)入半徑為D-R2的圓軌道而是進(jìn)入月球停泊軌道，因此在轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)“2”處施加的第二個(gè)速度脈沖ΔV2與航天器的運(yùn)動(dòng)方向相反，如圖7所示。

圖7 Hohmann最小能量地月轉(zhuǎn)移軌道月球段

這次制動(dòng)航天器進(jìn)入半徑為R2的繞月圓軌道。VL2是遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度相對(duì)月球的速度：

其中VMoon是月球繞地球公轉(zhuǎn)的軌道速度，MMoon為月球質(zhì)量。

由于Hohmann轉(zhuǎn)移過(guò)程是在二體問(wèn)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，且將月球繞地球的公轉(zhuǎn)軌道也看作圓，其所給出的轉(zhuǎn)移軌道和所需的速度增量與實(shí)際情況相差較大，因此，Hohmann轉(zhuǎn)移常被用于地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)的最初階段，作為下一階段設(shè)計(jì)的初始值。

3.2 拼接圓錐曲線

拼接圓錐曲線方法是地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)中經(jīng)常采用的方法，計(jì)算結(jié)果的精度比Hohmann轉(zhuǎn)移高，因此可以為后續(xù)的高精度軌道設(shè)計(jì)提供更好的初值，有利于搜索算法收斂。拼接圓錐曲線法引入了月球影響球的概念，它將地月轉(zhuǎn)移軌道分成兩段，如圖8所示：地心軌道段與月心軌道段，這兩段軌道在影響球邊界上經(jīng)適當(dāng)拼接后形成滿足要求的飛行軌道[19]。

圖8 軌道拼接示意圖

圖中B點(diǎn)為地月轉(zhuǎn)移軌道與月球影響球的交點(diǎn)（即入口點(diǎn)），C點(diǎn)為航天器飛出月球影響球時(shí)與影響球的交點(diǎn)（即出口點(diǎn)）。L為入口點(diǎn)時(shí)刻月球的位置，L′為出口點(diǎn)時(shí)刻的月球位置，E為地球。AB和CD段為地心圓錐曲線，即忽略月球的影響，理論上地心段圓錐可以是橢圓、拋物線或雙曲線。但橢圓所需要的速度增量最小。BC段在月球引力場(chǎng)內(nèi)，此時(shí)忽略地球的影響，將航天器軌道看作繞月球的Kepler軌道（一般為雙曲線軌道）。

當(dāng)給定六個(gè)獨(dú)立的軌道參數(shù)：地月轉(zhuǎn)移軌道的近地距、加速點(diǎn)航跡角、入口點(diǎn)B的經(jīng)、緯度、月心軌道傾角以及航天器在入口點(diǎn)處月心速度矢量與位置矢量反方向夾角時(shí)，可以利用解析公式求出地心軌道轉(zhuǎn)移初速、加速點(diǎn)地心位置矢量、入口點(diǎn)B的地心位置和速度矢量、入口點(diǎn)B的月心位置和速度矢量。由入口點(diǎn)B的月心位置和速度矢量，可以求得出口點(diǎn)C的月心位置和速度矢量。然后通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到出口點(diǎn)C的地心位置和速度矢量。再由地心位置和速度矢量求出月地轉(zhuǎn)移軌道段在地心坐標(biāo)系中的傾角和近地距。

拼接圓錐曲線方法也是基于二體問(wèn)題完成的，它在最初的軌道設(shè)計(jì)中是一種很好的近似，與精確軌道設(shè)計(jì)相比，除了對(duì)軌道力模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化（未考慮攝動(dòng)力的影響）之外，兩者在其它方面都是一致的。在雙二體假設(shè)下得到的軌道，可以作為精確設(shè)計(jì)的初值，提高設(shè)計(jì)效率。不過(guò)，由于太陽(yáng)引力場(chǎng)的干擾，以及第一段中月球引力場(chǎng)和第二段中地球引力場(chǎng)的干擾，這種近似在月球影響球部分是有顯著誤差的[19]。

3.3 高精度軌道設(shè)計(jì)

前述方法都是解析法，對(duì)軌道模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，也沒(méi)有考慮攝動(dòng)項(xiàng)的影響。事實(shí)上，在地月系統(tǒng)的軌道設(shè)計(jì)中，攝動(dòng)項(xiàng)的影響是非常大的。高玉東以雙二體假設(shè)下得到的一條月地轉(zhuǎn)移軌道為標(biāo)稱軌道，分析了攝動(dòng)因素對(duì)軌道計(jì)算精度的影響程度，如表1所示[20]。

因此，雖然解析法的計(jì)算速度快，但精度不高，都只能作為高精度軌道設(shè)計(jì)的初值。高精度軌道設(shè)計(jì)還是需要基于高精度的軌道模型采用數(shù)值法積分。在開(kāi)始軌道設(shè)計(jì)之前，需要綜合考慮軌道設(shè)計(jì)的各種約束條件，尋求各種約束條件的平衡。

表1 各項(xiàng)攝動(dòng)因素對(duì)月地轉(zhuǎn)移軌道近地點(diǎn)時(shí)刻參數(shù)的影響

3.3.1 載人登月軌道設(shè)計(jì)的約束條件

參考Apollo11任務(wù)，在正常的載人登月軌道設(shè)計(jì)中需要考慮的約束條件包括[7]：運(yùn)載火箭運(yùn)載能力、發(fā)射窗口要求、發(fā)射場(chǎng)經(jīng)緯度及發(fā)射方位角限制、入軌精度要求、航天器燃料量和航天器的推力系統(tǒng)和推力大小、月球著陸點(diǎn)的選擇、月球著陸時(shí)的光照角要求、地球著陸時(shí)的光照角要求、測(cè)控覆蓋范圍、航天器軌道壽命或最長(zhǎng)運(yùn)行時(shí)間、航天器發(fā)熱極限、航天器能否過(guò)月夜的能力、航天器過(guò)載限制、最大再入速度和再入走廊、著陸場(chǎng)選擇、落點(diǎn)精度要求和飛行時(shí)間等等。如果航天器由使用運(yùn)載火箭直接送入地月轉(zhuǎn)移軌道，則發(fā)射方案和運(yùn)載火箭決定了轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn)高度和轉(zhuǎn)移軌道傾角。

任務(wù)中止軌道設(shè)計(jì)也受到多方面的約束，包括：再入走廊、可使用的速度增量大小、返回時(shí)間、著陸區(qū)域、發(fā)射窗口、返回著陸時(shí)刻等[21]。再入走廊約束是任務(wù)中止軌道設(shè)計(jì)的最基本約束，無(wú)論以什么方式返回都必須滿足。速度增量約束和返回時(shí)間約束是最主要的約束。如當(dāng)飛船的推力系統(tǒng)出現(xiàn)故障時(shí)，可利用的速度增量有限，以最小速度增量返回就是最主要的目標(biāo)。而當(dāng)飛船上的生保用品不足或設(shè)備故障可能危及到航天員生命時(shí)，以最少時(shí)間返回又成了最重要的要求。這兩個(gè)約束是相互矛盾的。當(dāng)用最小速度增量返回時(shí)，所耗費(fèi)的時(shí)間必然就長(zhǎng)，而考慮最少時(shí)間返回時(shí)，所需要的速度增量也最大。通常要將最小速度增量和最少時(shí)間進(jìn)行折衷，使任務(wù)中止軌道達(dá)到最優(yōu)性能。如果在某個(gè)時(shí)刻進(jìn)行任務(wù)中止的最小速度增量仍然超過(guò)了飛船現(xiàn)存推力系統(tǒng)的能力，那么在這個(gè)時(shí)刻就不能進(jìn)行任務(wù)中止機(jī)動(dòng)。這樣就存在一個(gè)任務(wù)中止的可行性區(qū)間的問(wèn)題。在可行區(qū)間內(nèi)，可以直接進(jìn)行任務(wù)中止，否則就必須等飛船進(jìn)入可行區(qū)間后才能進(jìn)行任務(wù)中止。

3.3.2 高精度動(dòng)力學(xué)模型

通常情況下，在地月空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的航天器受力包括：地心引力與月心引力、地球與月球非球形攝動(dòng)、其他天體引力攝動(dòng)、太陽(yáng)光壓攝動(dòng)、大氣阻力攝動(dòng)以及地球潮汐攝動(dòng)等。目前地月間最常用的動(dòng)力學(xué)模型還是根據(jù)月球影響球進(jìn)行分段的受攝二體模型。

根據(jù)Laplace的建議，以月球?yàn)橹行牡挠绊懬虬霃綖椋?/p>

其中D為地月距，mmoon為月球質(zhì)量，m⊕為地球質(zhì)量。

分段受攝高精度動(dòng)力學(xué)模型分為地心段和月心段：

地心段考慮地心引力、地球非球形攝動(dòng)、日月引力攝動(dòng)、太陽(yáng)光壓攝動(dòng)與大氣阻力攝動(dòng)，月球和太陽(yáng)的星歷采用DE405，在理想慣性坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程如下：

其中，μe、μm和μs分別是地球、月球和太陽(yáng)的引力常數(shù)和→分別為月球、太陽(yáng)和航天器相對(duì)于地心的矢徑，和分別表示航天器到月球和太陽(yáng)的矢徑為地球非球形攝動(dòng)，為太陽(yáng)光壓攝動(dòng)為大氣阻尼攝動(dòng)，相應(yīng)的計(jì)算公式可參見(jiàn)文獻(xiàn)[22]。

月心段（月球影響球內(nèi)）考慮月心引力、月球非球形攝動(dòng)、日地引力攝動(dòng)與太陽(yáng)光壓攝動(dòng)，動(dòng)力學(xué)方程如下：

3.3.3 軌道優(yōu)化原則

經(jīng)典軌道設(shè)計(jì)的優(yōu)化條件一般都是燃料最省原則。為了使所需能量最省，即總速度增量的模最小，需要對(duì)軌道設(shè)計(jì)過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化處理。比如在自由返回軌道設(shè)計(jì)中，可以結(jié)合近月距和對(duì)月傾角等約束條件，取目標(biāo)函數(shù)為：

其中，r、r0分別表示實(shí)際近月距和要求達(dá)到的近月距，i、i0分別表示實(shí)際相對(duì)月球的軌道傾角和要求達(dá)到的軌道傾角。Kv、Kr和Ki為常數(shù)系數(shù)，分別用于調(diào)整三者之間的權(quán)重。于是，可以建立滿足約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題，應(yīng)用最優(yōu)化方法進(jìn)行求解，得到滿足約束條件的軌道。

一旦航天器發(fā)射升空，確保任務(wù)成功就是遠(yuǎn)比節(jié)省燃料更重要的問(wèn)題了，特別是在任務(wù)發(fā)生故障或進(jìn)入應(yīng)急的情況下，因此軌道設(shè)計(jì)的優(yōu)化條件也需要進(jìn)行調(diào)整。在故障和應(yīng)急情況下以燃料最省為原則沒(méi)有意義。機(jī)動(dòng)后沒(méi)有使用的燃料最終也會(huì)被拋棄或返回地球。所以，在故障和應(yīng)急情況下，主要是將可用的燃料作為一個(gè)限制條件而不是優(yōu)化條件，對(duì)使任務(wù)更有風(fēng)險(xiǎn)的其他參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，比如返回時(shí)間，機(jī)動(dòng)次數(shù)，或再入速度[23]?？偠灾?，主要目標(biāo)是減少機(jī)動(dòng)次數(shù)，其次是使飛行時(shí)間最短。

3.3.4 載人登月的飛行模式

載人登月的軌道設(shè)計(jì)還與載人登月的飛行模式緊密相關(guān)。優(yōu)化載人登月的飛行模式，可以合理規(guī)劃登月模塊數(shù)量、規(guī)模和總體方案，明確火箭運(yùn)載能力需求、發(fā)射次數(shù)，降低載人登月工程的研發(fā)難度，縮短研制周期，提高載人登月大系統(tǒng)工程的可靠性，節(jié)省研制經(jīng)費(fèi)。Apollo采用了單次發(fā)射（人貨混運(yùn)）+月球軌道交會(huì)（Lunar Orbit Rendezvous，LOR）返回登月模式，星座計(jì)劃選用兩次發(fā)射（人貨分離）地球軌道交會(huì)（Earth Orbit Rendezvous，EOR）+LOR 返回登月模式，歐洲提出了四次發(fā)射，3次EOR+LOR返回登月模式。由于缺少超重型運(yùn)載火箭，俄羅斯能源公司載人登月方案采取運(yùn)載火箭7次發(fā)射，EOR（5次），+1次LOR返回登月的飛行模式[24]。盛英華等人基于載人登月飛行模式、飛行模塊質(zhì)量、可靠性和研制難度的分析，初步研究認(rèn)為兩次發(fā)射EOR+LOR返回登月模式是我國(guó)載人登月工程的較佳路線，但目前運(yùn)載能力無(wú)法滿足需求[25]。因此，較好的方案是三次發(fā)射（人貨分離），兩次EOR+LOR返回登月模式。

4 結(jié)束語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō)，國(guó)內(nèi)關(guān)于載人登月軌道設(shè)計(jì)考慮的約束條件都還比較簡(jiǎn)單，比如僅考慮了近月點(diǎn)高度和環(huán)月軌道傾角，對(duì)月面著陸點(diǎn)位置、發(fā)射窗口、軌道兩端的光照條件和地面測(cè)控等約束條件還需要進(jìn)一步進(jìn)行研究。

載人登月工程是一項(xiàng)技術(shù)含量高、復(fù)雜度大的大科學(xué)工程，具有極高的風(fēng)險(xiǎn)性。國(guó)外載人登月研究和實(shí)踐積累的成功經(jīng)驗(yàn)和失敗教訓(xùn)，值得我們跟蹤和研究，為我國(guó)實(shí)施載人登月計(jì)劃提供思路和啟發(fā)。本文總結(jié)了國(guó)內(nèi)外載人登月軌道設(shè)計(jì)的方法以及相關(guān)的研究成果，詳細(xì)介紹了載人登月自由返回軌道、混合軌道和任務(wù)中止軌道等三種類型軌道設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)思想、約束條件和優(yōu)化原則。希望本文的工作能為我國(guó)未來(lái)的載人登月工程的任務(wù)軌道設(shè)計(jì)以及任務(wù)中止軌道設(shè)計(jì)工作提供參考。 ◇

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