蘇景順

(河北建筑工程學院，河北張家口075000)

在電容器極板間或金屬導體電極間，通常需要填充絕緣材料，以防止擊穿或短路.理想絕緣材料的電導率為零，但在實際中使用的絕緣材料電導率并不為零.因此，在電容器極板間或金屬導體電極間存在著一定的電導，存在著一定的漏電流.物理學定義:電極間漏電流I與電極間電壓u之比，為絕緣材料的漏電導G.漏電導G的倒數(shù)，為絕緣電阻R(或稱“漏電阻”).

絕緣電阻是設計電路或選擇材料時的重要參數(shù)，下面介紹幾種計算絕緣電阻的基本方法.

1 直接積分法

直接積分法，一般要將絕緣材料的整個電介質分為無數(shù)個微電阻，總電阻是這些微電阻串、并聯(lián)的結果.在已知等位面和電流線的情況下，微電阻可視為等位面和電流管圍起來的體積元的電阻.根據電阻定律，絕緣電阻R與沿漏電流方向電介質材料的長度dl成正比，與垂直于漏電流方向電介質材料的橫截面積S成反比，與材料的電導率成反比.因此，對于給定的絕緣材料，絕緣電阻可以根據下式直接計算.

例如，內、外半徑分別為R1、R2的同軸電纜，其間充滿電導率為γ的絕緣材料，單位長度的絕緣電阻R為

直接積分法較為簡單，適用于結構簡單便于積分的絕緣材料.對于結構復雜或需要了解電位、場強分布等相關信息的情況，應采用其他方法.

2 拉普拉斯法

通常絕緣材料內無自由電荷，故絕緣材料中的電位φ滿足拉普拉斯方程

在給定邊界條件下，解拉普拉斯方程，可以得到絕緣材料中的電位函數(shù)φ.再根據電場強度與電位梯度的關系

可以得到絕緣材料中的電場強度E.在電導率γ已知的條件下，根據歐姆定律，絕緣材料中的漏電流密度J為

絕緣材料中的漏電流I為

在電極間電壓u為已知的條件下，由式(1)可以得到絕緣電阻R.

例如，內半徑為a，外半徑為b的球形電容器，其間充滿電導率為γ的絕緣材料，顯然滿足拉普拉斯方程式(4)，選擇球坐標，式(4)為

顯然，式(8)的解為

由此得到絕緣材料中電位函數(shù)φ為

由邊界條件:r=a，φ=u;r=b，φ=0.得到

由式(5)得到絕緣材料中的電場E為

由式(6)得到絕緣材料中的漏電流密度為

由式(7)得到絕緣材料中的漏電流為

由式(1)得到球形電容器的絕緣電阻為

3 類比法

眾所周知，相似的邊界條件、相似的基本方程，具有形式相似的解.靜電場與恒定電流場有著相似形式的基本方程，必然有形式相似的解.因此，可以應用類比的方法，由靜電場的物理量得到恒定電流場與之對應的物理量，由靜電場的已知公式，得到恒定電流場的相應公式.采用這種類比方法，可以簡單地計算絕緣電阻.

已知靜電場與恒定電流場有如下相同形式的電壓定義，

靜電場的高斯定理與恒定電流場的高斯定理有如下相似形式的基本方程，

靜電場的電容與恒定電流場的電導有如下相似形式的定義，

比較式(16)～式(20)可以得到

由此可以得到穩(wěn)恒電流場的絕緣電阻R與靜電場的電容c有如下關系

利用已知的電容公式，即可直接得出相應的絕緣電阻公式.例如，已知球形電容器的電容c為

由式(22)可以直接得到球形電容器的絕緣電阻R為

已知圓柱形電容器的電容c為

由式(22)可以直接得到同軸電纜單位長度的絕緣電阻R為

在上述三種方法中，拉普拉斯法相對復雜，但可以獲得場強、電勢分布的相關信息.類比法相對簡單，但要求了解靜電場與恒定電流場相關物理量的對應關系.

［1］楊儒貴.電磁場與電磁波［M］.北京，高等教育出版社，2003.63.

［2］謝處方.饒克謹.電磁場與電磁波［M］.北京，高等教育出版社，1999.71.