鄧祖華，劉其偉

(1.江蘇建研建設(shè)工程質(zhì)量安全鑒定有限公司，江蘇南京 210008;2.東南大學(xué)交通學(xué)院，江蘇南京 210096)

其中包含n個線性代數(shù)方程式，從而解出n個節(jié)點溫度值。

將上述方程組寫成矩陣形式，即得到有限元法計算瞬態(tài)溫度場的基本方程為:

0 引言

熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值求解方法主要有差分法和有限元法。其中有限單元法是將一個表示結(jié)構(gòu)或連續(xù)體的求解域離散為若干個子域(單元)并通過它們邊界上的結(jié)點相互聯(lián)結(jié)成為組合體，對每一單元假定一個合適的、較簡單的近似解，然后推導(dǎo)求解域的滿足條件，從而得到問題的解，這個解不是準(zhǔn)確解，而是近似解。下面具體闡述利用有限單元法分析瀝青攤鋪作用下混凝土箱梁的溫度場。

1 混凝土溫度場計算基本原理

1.1 導(dǎo)熱微分方程

箱梁內(nèi)部和表面的某一點，在某一瞬間的溫度Ti，可以表示為:

該點的溫度Ti不僅與坐標(biāo) x，y，z有關(guān)，而且與時間t有關(guān)，對于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)可以近似當(dāng)作各向均為均質(zhì)、同性的固體，根據(jù)Fourier熱傳導(dǎo)理論，可導(dǎo)得下述三維非穩(wěn)定導(dǎo)熱方程:

式中:λ為混凝土的導(dǎo)熱系數(shù)，W/m·℃;c為混凝土的比熱，J/kg·℃;ρ為混凝土的容重，kg/m3;q為單位體積內(nèi)放出的熱量，J/m3。

當(dāng)不研究材料的水化熱，即q=0時，有:

僅考慮平面溫度場則:

1.2 初始條件和邊界條件的確定

熱傳導(dǎo)方程建立了物體溫度與時間、空間的關(guān)系，但滿足熱傳導(dǎo)方程的解有無限多，還應(yīng)該給出解決這一具體問題解的附加條件，稱為定解條件。對于非穩(wěn)態(tài)的導(dǎo)熱問題，定解條件有兩個方面，即給出初始時刻溫度分布的初始條件，以及給出箱梁邊界上溫度或換熱情況的邊界條件。

1.2.1 導(dǎo)熱方程的初始條件

為準(zhǔn)確對瀝青攤鋪橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，取攤鋪到試驗橋梁前橋梁結(jié)構(gòu)各位置的溫度值。

對于平面則:

上式表示的是在初始時刻結(jié)構(gòu)內(nèi)部溫度場分布為其截面坐標(biāo)的函數(shù)或為常數(shù)值，與時間參數(shù)無關(guān)。

1.2.2 導(dǎo)熱方程的邊界條件

鑒別的時候需要確認(rèn)魚腥味的程度、純凈度。魚粉應(yīng)該有較為強(qiáng)烈的魚腥味，但也因原料種類、加工方式及脂肪含量等差別而存在一定的差異，鑒定人員需要鑒別魚腥味中的細(xì)微差異。魚腥味的純凈度則是指是否含有魚腥味之外的其他味，非魚腥味應(yīng)該越少越好。

導(dǎo)熱問題常見的邊界條件可以歸納為以下三類:

1)規(guī)定了邊界上的溫度值，稱為第一類邊界條件，它的表達(dá)式如下:

式中:TΓ為物體的邊界;Tw為已知的邊界溫度值，℃;f1(x，y，t)為邊界上的溫度函數(shù)，隨位置和時間變化。

2)規(guī)定了邊界上的熱流密度值，稱為第二類邊界條件。此類邊界條件最簡單的典型例子就是規(guī)定邊界上的熱流密度保持特定值。對于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，這類邊界條件可以給出以下關(guān)系式:

式中:f2(x，y，t)為邊界上的熱流密度，隨位置和時間變化。

3)規(guī)定了邊界上物體與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)β及周圍流體的溫度Tf，稱為第三類邊界條件。第三類邊界條件可表示為:

瞬態(tài)導(dǎo)熱時，式中β及Tf均為時間的函數(shù)。

1.3 箱梁溫度場的非線性有限元解法

采用基于微分方程等效積分原理的Galerkin加權(quán)余量法，對熱傳導(dǎo)平面方程建立微分方程。

1.3.1 有限單元法熱傳導(dǎo)方程的建立及邊界條件的處理

利用加權(quán)余量法及格林公式，可得:

式(11)即為平面溫度場有限單元法計算的基本方程，對于其中的線積分項，可把邊界條件代入，從而滿足邊界條件。

對于第一類邊界條件，上式中的附加線積分項等于0;

對于第三類邊界條件，附加線積分項等于

1.3.2 有限單元法的總剛度矩陣的形成

有限元法的計算最終結(jié)果是要求出D中的溫度分布，把域D剖分成E個四邊形單元和n個節(jié)點，現(xiàn)在把單元對總體的貢獻(xiàn)綜合起來，最終把各個節(jié)點的溫度值求出。

單元總體合成如下:

其中包含n個線性代數(shù)方程式，從而解出n個節(jié)點溫度值。

將上述方程組寫成矩陣形式，即得到有限元法計算瞬態(tài)溫度場的基本方程為:

1.4 溫度場的求解

輸入各種相關(guān)數(shù)據(jù)，劃分單元網(wǎng)格后，依次計算每個單元的熱傳導(dǎo)矩陣、熱容矩陣和荷載列陣，并逐步疊加可形成總的熱傳導(dǎo)陣[K]，熱容矩陣[C]和熱傳導(dǎo)荷載陣{P}。在時間域上進(jìn)行有限差分就可以初步迭代計算出每一時刻的溫度場。采用向后差分法代入式(13)，化簡可得:

輸入初始溫度場{T}0后，逐步求解式(14)線性方程組，即可求出t時刻各節(jié)點的溫度值。

2 箱梁溫度場的理論計算

ANSYS有限元計算軟件熱分析模塊基于以上理論，本文分別采用第一邊界條件及第三邊界條件對箱梁截面進(jìn)行溫度場分析。

2.1 第一邊界條件求解二維溫度場

采用第一邊界條件，對測試斷面溫度場進(jìn)行分析。瀝青表層溫度和橋梁結(jié)構(gòu)表面溫度用溫度槍實測獲得。

圖1為根據(jù)荷載步列出的主要時刻的橋梁結(jié)構(gòu)溫度分布云圖。

根據(jù)理論計算結(jié)果做出特定時刻的溫度梯度曲線，并與實測曲線進(jìn)行比較，見圖2。

從圖2可知，理論計算結(jié)果與實測數(shù)值吻合情況良好，特別是各個測點所達(dá)到的最大溫度值非常相近，最大不超過0.8℃，可以認(rèn)為理論分析結(jié)果能滿足使用精度的要求。

2.2 第三邊界條件求解二維溫度場

采用第三類邊界條件對測試斷面溫度場進(jìn)行分析。結(jié)合測試斷面實測得到的數(shù)據(jù)和有限元分析結(jié)果，對實測值與理論值進(jìn)行分析比較，以證明理論計算的合理性和正確性，見圖3。

從圖3可以看出，使用第三類邊界條件處理橋梁結(jié)構(gòu)瀝青攤鋪過程的邊界條件與實測結(jié)果是吻合的，用第三類邊界條件是可以很好地對模型進(jìn)行分析，并得到正確的結(jié)果。

續(xù)圖3 距梁頂不同距離處的溫度實測值與理論值

3 結(jié)論

在理論求解定義的初始、邊界條件和材料特性熱工參數(shù)準(zhǔn)確的前提下，是可以通過理論計算得到符合實際的箱梁溫度場的。

采用第一類邊界條件和第三類邊界條件對試驗橋進(jìn)行數(shù)值分析，兩種方法的計算結(jié)果均與試驗結(jié)果吻合程度良好。

［1］王勖成.有限單元法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2003.

［2］彥啟森，趙慶珠.建筑熱工程［M］.北京:建筑工業(yè)出版社，1986.

［3］張朝暉.ANSYS8.0熱分析教程與實例解析［M］.北京:中國鐵道出版社，2005.