呂 萍

0 引言

抽樣調(diào)查作為一種獲取統(tǒng)計(jì)資料的重要手段，日益受到政府各部門、企業(yè)、學(xué)術(shù)界和社會公眾的重視。由于中國各級政府都要管經(jīng)濟(jì)，各級行政長官都關(guān)心本地區(qū)的經(jīng)濟(jì)，都需要掌握有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，出現(xiàn)了如何滿足多層次調(diào)查的需要，也就是多層次抽樣調(diào)查的問題。此處的層次包含在抽樣設(shè)計(jì)中的為了提高抽樣效率利用輔助信息分的層，也包含行政設(shè)置中的省市、區(qū)縣、村居等的自然層，也稱為域，分層次調(diào)查問題是總體和各個層次（也稱為域、子總體）都需要估計(jì)的問題。尤其是大型的抽樣調(diào)查，例如中國科學(xué)素養(yǎng)調(diào)查、中國婦女的社會地位等大型綜合調(diào)查都需要在對全國的目標(biāo)變量進(jìn)行估計(jì)的基礎(chǔ)上也對各省(層次)的目標(biāo)變量進(jìn)行估計(jì)。

解決分層次調(diào)查問題的方法主要有直接估計(jì)方法和間接估計(jì)方法。其中直接估計(jì)方法主要有層層抽樣的方法、ABC法[1]、樣本追加法[2]。其中，層層抽樣和ABC三級[1]一套的樣本設(shè)計(jì)是一種自下而上的抽樣思路，簡單直接，但由于需要對所有的縣都進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)費(fèi)龐大從而違背了抽樣調(diào)查的經(jīng)濟(jì)性的優(yōu)勢，而且各個縣的工作效率以及調(diào)查和估計(jì)很難統(tǒng)一等缺點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中有很大的局限性。樣本追加方法是一種自下而上抽樣設(shè)計(jì)思路，是由馮世雍與秦懷振[3]于2002年提出的一種分層次抽樣設(shè)計(jì)方法，是在滿足上一級目標(biāo)變量估計(jì)精度需要的基礎(chǔ)上用樣本追加的方法來滿足下一級尤其是省級目標(biāo)變量估計(jì)精度的需要。間接估計(jì)方法是充分挖掘已有的樣本信息，充分利用間接信息和數(shù)據(jù)改進(jìn)各個層次的目標(biāo)變量的估計(jì)量，與傳統(tǒng)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的時間序列、回歸模型、貝葉斯統(tǒng)計(jì)等方法得到各個層次的目標(biāo)變量的有效估計(jì)量。

1 分層次調(diào)查的抽樣設(shè)計(jì)思路

在實(shí)踐中主要有兩種多層次調(diào)查問題。第一，總體和各層次的調(diào)查不同時進(jìn)行，即總體調(diào)查在前，省級調(diào)查在后。第二，總體與省級調(diào)查總體的調(diào)查同時進(jìn)行。從抽樣設(shè)計(jì)的角度，有兩種解決上述分層次調(diào)查問題的樣本追加方法，一種是用馮世雍與秦懷振于2002年提出的樣本追加方法，一種是利用永久隨機(jī)數(shù)的方法來進(jìn)行樣本追加。

1.1 分層次調(diào)查中的樣本追加方法

樣本追加方法的基本思想是按照某種特定的概率抽樣方法，從總體中抽取樣本對總體的目標(biāo)變量進(jìn)行估計(jì)。但對于其中的某些層或域，由于落入該層的樣本單元不能保證對該層或域的目標(biāo)量推斷的需要，即落入其中的樣本對該層或域沒有代表性，此時在該層內(nèi)按照某種抽樣方法追加部分樣本單元與原來落入該層或域的樣本（主體樣本）組成復(fù)合樣本來對該層的目標(biāo)量進(jìn)行推斷，通過樣本追加滿足來下一層目標(biāo)量估計(jì)的需要，兩級樣本相互兼容，同時利用這些追加的樣本還可以進(jìn)一步提高總體目標(biāo)量的估計(jì)精度。

這種方法的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在：（1）樣本追加可以很好地實(shí)現(xiàn)多級樣本的兼容，以提高樣本的使用效率，節(jié)約調(diào)查成本；（2）樣本追加避免各個層都要抽樣帶來的人力物力財(cái)力的浪費(fèi)，只在有推斷要求的層追加樣本。（3）樣本追加可以進(jìn)一步提高上級目標(biāo)變量的估計(jì)精度。

多層次調(diào)查中的樣本追加將抽樣設(shè)計(jì)分為主體設(shè)計(jì)，追加設(shè)計(jì)和終極設(shè)計(jì)。為確?？傮w推斷的可靠性而制定的抽樣設(shè)計(jì)稱為主體設(shè)計(jì)，為確保對某種層推斷的可靠性而為需要追加層制定的抽樣設(shè)計(jì)稱為域追加設(shè)計(jì)。主體設(shè)計(jì)和追加設(shè)計(jì)連同實(shí)施方案一起的抽樣設(shè)計(jì)稱為終極設(shè)計(jì)。

當(dāng)總體的抽樣設(shè)計(jì)與層的追加設(shè)計(jì)獨(dú)立進(jìn)行、獨(dú)立實(shí)施，利用終極樣本對總體以及需要估計(jì)的層（層）的目標(biāo)變量進(jìn)行估計(jì)的樣本追加方法稱為獨(dú)立樣本追加方法。在實(shí)施主體設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上在層進(jìn)行樣本追加，對總體以及層的目標(biāo)變量的估計(jì)稱為條件樣本追加。不管是獨(dú)立追加設(shè)計(jì)還是條件追加設(shè)計(jì)，其基本的設(shè)計(jì)思想是根據(jù)主體的抽樣設(shè)計(jì)和層的樣本追加設(shè)計(jì)分別構(gòu)造總體和層的參數(shù)估計(jì)并選擇合適的方差估計(jì)方法；然后構(gòu)造總體和層參數(shù)的估計(jì)類，在類內(nèi)選擇最優(yōu)偽估計(jì)，構(gòu)造漸進(jìn)局部最優(yōu)估計(jì)，從而得到層的目標(biāo)變量的最優(yōu)估計(jì)量。

在實(shí)際調(diào)查中，獨(dú)立樣本追加是易于操作的樣本追加方法，只需將主體設(shè)計(jì)和層的追加設(shè)計(jì)按照各自的抽樣方案獨(dú)立設(shè)計(jì)、獨(dú)立進(jìn)行、獨(dú)立設(shè)施，相當(dāng)于做了兩次獨(dú)立的抽樣調(diào)查，然后利用極小化方差的思想，在主體設(shè)計(jì)與追加設(shè)計(jì)都可測并滿足最小方差的前提下，基于主體樣本和追加樣本分別構(gòu)造總體的目標(biāo)變量的H－T估計(jì)量及其方差估計(jì)量，最后利用極小方差的方法在層的線性無偏類中找到目標(biāo)變量的最優(yōu)估計(jì)量。以總量估計(jì)為例，利用總體總量Y的H－T估計(jì)Y?π和層的總量YD的H－T估計(jì)Y?Dπ及其方差估計(jì)量，層追加樣本的總量估計(jì)量Y?+Dπ及其方差的無偏估計(jì)量；然后通過極小化方差的方法在YD的線性無偏類 {Y?D(θ)=θY?Dπ+(1-θ)Y?Dπ+;θ∈R}里找到局部最優(yōu)偽估計(jì)；最后通過估計(jì)其方差里的未知系數(shù)來構(gòu)造層總量的漸進(jìn)局部最優(yōu)估計(jì)。

由上得到

得到獨(dú)立追加在追加設(shè)計(jì)可測的情況下，層的估計(jì)量Y?D(θ)的最有方差估計(jì)量是

可以驗(yàn)證當(dāng) Cov(θ?opt,Y?Dπ-Y?Dπ+)→ 0 時，Y?Dopt是YD的漸進(jìn)無偏估計(jì)量。

利用獨(dú)立樣本追加設(shè)計(jì)還可以對總體的估計(jì)量進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)C＝UD為剩余層，則剩余層YC=Y-YD的基于主體設(shè)計(jì)的目標(biāo)變量的H－T估計(jì)量Y?Cπ=Y?π-Y?Dπ，可以得到終極設(shè)計(jì)下的總體總量 Y 的估計(jì) Y?bet(θ?opt)=Y?Cπ+Y?opt，可以驗(yàn)證Y的H－T估計(jì)量和最優(yōu)方差加權(quán)估計(jì)量 Y?(θ?opt)都是無偏的。由此，構(gòu)造總量Y?π的無偏估計(jì)類Y? ={Y?(α|θopt)= αYπ+(1- α)Y?bet(θ?opt),α ∈ R}，利用極小化方差V(α|θopt)求得最優(yōu)點(diǎn) αopt(θopt)，可得出

由此得到Y(jié)?π的最優(yōu)估計(jì)量是 αoptYπ+(1-αopt)Y?bet(θ?opt)。

1.2 利用永久隨機(jī)數(shù)進(jìn)行的分層次抽樣設(shè)計(jì)

上述樣本追加方法都需要進(jìn)行二次抽樣，有時會導(dǎo)致樣本單元的過量抽取和使用，利用永久隨機(jī)數(shù)技術(shù)可以有效處理樣本追加問題。永久隨機(jī)數(shù)技術(shù)，即抽樣框中的每個單元都被賦予從區(qū)間（0，1）產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，永久隨機(jī)數(shù)和這個單元同時產(chǎn)生，同時改變，同時消亡。永久隨機(jī)數(shù)技術(shù)實(shí)施起來非常方便，可以有效地解決多目標(biāo)、分層次、與規(guī)模成比例的不等概抽樣調(diào)查以及實(shí)現(xiàn)連續(xù)調(diào)查中的樣本輪換等問題。將永久隨機(jī)數(shù)技術(shù)和樣本追加方法結(jié)合起來，可以有效地解決分層次調(diào)查中的樣本兼容問題，方便的實(shí)現(xiàn)樣本追加，使抽到的樣本對總體有更好的代表性。抽樣方法按照樣本量是否固定分為兩類，隨機(jī)樣本量和固定樣本量的抽樣方法。隨機(jī)樣本量的抽樣方法有Poisson抽樣、Bernoulli抽樣、配置抽樣、PoMix抽樣和Mpps抽樣，其中以Poisson抽樣為代表。固定樣本量的抽樣方法有序貫Srswor抽樣、序貫Poisson抽樣、Pareto抽樣和序貫PoMix抽樣，其中以序貫Poisson抽樣為代表。

利用永久隨機(jī)數(shù)抽樣技術(shù)可以方便地解決實(shí)際調(diào)查中存在的總體與層調(diào)查同時進(jìn)行以及總體調(diào)查與層調(diào)查不同時進(jìn)行的分層次抽樣調(diào)查。

2 總體調(diào)查與各層調(diào)查同時進(jìn)行

利用永久隨機(jī)數(shù)法的分層次調(diào)查是對總體中每一個單位賦予永久隨機(jī)數(shù)，確定樣本的排列順序，使各層次的樣本能有較高的兼容共享性，也避免了二次抽樣和樣本重復(fù)抽樣的情況。針對分層次調(diào)查中總體和層同時抽樣的情況，即其中層與總體同時進(jìn)行調(diào)查，此時只需對層進(jìn)行調(diào)查，總體樣本的數(shù)據(jù)也就能夠從層中獲得。此處我們利用永久隨機(jī)數(shù)抽樣法中隨機(jī)樣本量的Poisson抽樣方法或固定樣本量的序貫Poisson抽樣方法來處理，因?yàn)镻oisson抽樣法是一種與規(guī)模成比例的不等概抽樣方法，更符合實(shí)踐中復(fù)雜抽樣的設(shè)計(jì)。其中Poisson抽樣法由于樣本量的隨機(jī)性，最終實(shí)現(xiàn)的樣本量與期望的樣本量有一定的差異，可以通過永久隨機(jī)數(shù)的修勻來減少隨機(jī)樣本量的變動情況。下面介紹總體與層調(diào)查同時進(jìn)行的兩階段分層次調(diào)查。

將總體的每一個單元賦予永久隨機(jī)數(shù)，并將總體U劃分為M個層，其中若干個層和總體同時進(jìn)行估計(jì)，不失一般性，假設(shè)U1,U2,...Ur和U同時調(diào)查，總體的樣本容量為n。

（1）當(dāng)r=M時，即所有的層都與總體同時調(diào)查，利用永久隨機(jī)數(shù)法，只需要對U1,U2,...Ur進(jìn)行調(diào)查即可，因此首先在U1,U2,...Ur中分別利用永久隨機(jī)數(shù)得到U1,U2,...Ur各自的樣本，由永久隨機(jī)數(shù)法的性質(zhì)可知總體的樣本一定在U1,U2,...Ur樣本的并集中，此時只需在U1,U2,...Ur樣本的并集中，按照總體樣本的排列順序選定前n個單元就可，因此無需再抽樣就可以完成總體和各層的抽樣。

（2）當(dāng)r＜M 時，將U 劃分為兩個子集U(1)和U(2)，樣本量分別為n1和n2。

在（2）中，若事先已知總體U 的兩個子集U(1)和U(2)的樣本量為n1和n2，則由永久隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)，則兩部分的樣本之和即為總體中隨機(jī)數(shù)最小的n個永久隨機(jī)數(shù)對應(yīng)的單元，為總體的樣本。若事先不知道總體U的兩個子集U(1)和U(2)的樣本量為n1和n2，則首先按照（1）的方法在U(1)中選取永久隨機(jī)數(shù)最小的n個單元作為總體U的樣本，然后與U(2)中的單元的永久隨機(jī)數(shù)進(jìn)行比較，如果對應(yīng)的永久隨機(jī)數(shù)小于U(1)中的n個樣本單元對應(yīng)的永久隨機(jī)數(shù)，則將Ui(2)迭代進(jìn)入樣本，將U(1)中的最大的那個隨機(jī)數(shù)迭代出來，以此方式迭代下去，即得到總體U的n個樣本單元。

多階段的分層次抽樣其方法是類似的，只考慮需要估計(jì)的層和其下的一個層次，視為兩階段的分層次抽樣調(diào)查即可。

3 總體調(diào)查與層調(diào)查不同時進(jìn)行

當(dāng)總體調(diào)查與層調(diào)查不同時進(jìn)行時，同樣對總體中的每一個單元賦予永久隨機(jī)數(shù)，具體實(shí)施思路如下，仍以兩階段的分層次調(diào)查為例。假設(shè)第一次對總體進(jìn)行調(diào)查時此層的樣本量為n1，由于此樣本對于該層缺乏代表性，所以需要進(jìn)行第二次抽樣調(diào)查，即對該層進(jìn)行樣本追加，若追加的樣本量為n2，利用永久隨機(jī)數(shù)方法只需在選擇n1個永久隨機(jī)數(shù)對應(yīng)的樣本的基礎(chǔ)上再選擇n2最小永久隨機(jī)數(shù)對應(yīng)的樣本單位即可，大于兩層的多層次調(diào)查的方法類似。

4 利用永久隨機(jī)數(shù)法的參數(shù)估計(jì)

通過上述分析，可以看到永久隨機(jī)數(shù)方法有效地解決了各個層次的調(diào)查的樣本兼容問題，很好地解決了多層次調(diào)查的樣本的抽取問題，但是從抽樣框中抽取樣本不是抽樣調(diào)查的目標(biāo)，而是如何有效地對總體進(jìn)行有一定精度的估計(jì)。

分層次抽樣調(diào)查中的永久隨機(jī)數(shù)抽樣方法，一般是Poisson或序貫Poisson抽樣方法。此處我們應(yīng)用在Poisson抽樣中利用廣義回歸估計(jì)量計(jì)算目標(biāo)變量的無偏估計(jì)量，得到層的估計(jì)量是

運(yùn)用復(fù)雜方差的棄一的Jackknife方差估計(jì)方法，得到方法估計(jì)量

其中

隨機(jī)組的劃分是Jackknife方法的關(guān)鍵，隨機(jī)組的具體劃分要取決于調(diào)查的具體抽樣設(shè)計(jì)。

5 總結(jié)

文章主要針對實(shí)際調(diào)查中的分層次調(diào)查問題展開討論，現(xiàn)在許多大型的調(diào)查都需要在對總體的目標(biāo)變量進(jìn)行估計(jì)的基礎(chǔ)對各個層次也進(jìn)行有效的估計(jì)。本文主要介紹了馮世雍與秦懷振的樣本追加方法和利用永久隨機(jī)數(shù)的樣本追加方法。

[1]秦懷振.抽樣調(diào)查中若干理論與實(shí)踐問題的研究[M].北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社,2003.

[2]Rao,J.N.K.Small Area Estimation[M].New York:Wiley,2003.

[3]馮士雍.中國抽樣調(diào)查應(yīng)用中的若干問題[J].中國統(tǒng)計(jì),2001，(11).

[4]林才生.分層次復(fù)合pps抽樣設(shè)計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2006,(13)