尚 勤， 秦 學(xué) 志， 張 悅 玫， 胡 友 群

（大連理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

巨災(zāi)死亡率債券是國際上新興的一種風(fēng)險(xiǎn)證券化產(chǎn)品.這類特殊的債券交易可以提升壽險(xiǎn)公司承保和抗風(fēng)險(xiǎn)能力，增強(qiáng)保險(xiǎn)業(yè)在救災(zāi)、搶險(xiǎn)以及災(zāi)后重建中的作用，減緩國家的財(cái)政壓力.同時(shí)，還可以為資本市場的投資者提供新的投資工具，有利于實(shí)現(xiàn)保險(xiǎn)業(yè)與資本市場的融合與共贏.2003年底瑞士再保險(xiǎn)公司發(fā)行了世界上第一只死亡率債券，成為死亡率風(fēng)險(xiǎn)證券化具有開創(chuàng)意義的嘗試.隨著世界范圍內(nèi)巨災(zāi)事件的增多，此類產(chǎn)品的研發(fā)已得到國際理論和實(shí)業(yè)界的強(qiáng)烈關(guān)注.但中國在此領(lǐng)域的研究還處于定性討論階段.目前，我國巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)不斷升級，保險(xiǎn)業(yè)發(fā)展滯后，此類產(chǎn)品定量研究的必要性和緊迫性不斷凸顯.

巨災(zāi)死亡率債券定價(jià)有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)或難點(diǎn)：一個(gè)是對合同中指定地區(qū)的人口死亡率風(fēng)險(xiǎn)的合理預(yù)測；另一個(gè)是定價(jià)的方法要適用于此類債券交易所處的不完全市場.有關(guān)人口死亡率的預(yù)測，最初采用的是靜態(tài)模型，并未考慮時(shí)間因素的影響，不能反映死亡率隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)變化.Lee等［1］考慮到死亡率變動(dòng)與年齡、時(shí)間的相關(guān)性，提出了Lee－Carter模型，給死亡率預(yù)測研究帶來了突破性進(jìn)展.隨后，一些學(xué)者對Lee－Carter模型進(jìn)行了擴(kuò)展和修正［2、3］.近年來，一些學(xué)者利用隨機(jī)過程理論更加細(xì)致地刻畫出了死亡率的波動(dòng)特征.如Milevsky等［4］通過It 死力過程來刻畫死亡率的隨機(jī)變動(dòng)；Dahl［5］應(yīng)用正隨機(jī)利率模型刻畫死亡率等.死亡率預(yù)測研究已經(jīng)取得較為豐碩的成果，但應(yīng)用于巨災(zāi)死亡率債券觸發(fā)指數(shù)的設(shè)計(jì)還存在一些不足.現(xiàn)有研究側(cè)重于單個(gè)地區(qū)死亡率的預(yù)測，而巨災(zāi)死亡率債券要預(yù)測的是多個(gè)地區(qū)的聯(lián)合死亡率狀況.巨災(zāi)發(fā)生時(shí)，有些地區(qū)的死亡率可能會(huì)出現(xiàn)跳躍，并且不同地區(qū)死亡率之間不可避免地會(huì)具有一定的相關(guān)性.現(xiàn)有研究均缺乏對這些特征的有效描述，難免會(huì)造成對死亡率風(fēng)險(xiǎn)的低估，影響巨災(zāi)死亡率債券定價(jià)的準(zhǔn)確性.另外，關(guān)于死亡率風(fēng)險(xiǎn)證券化產(chǎn)品具體定價(jià)方法的研究，已有學(xué)者進(jìn)行了嘗試.Friedberg等［6］應(yīng)用資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）和以消費(fèi)為基礎(chǔ)的資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CCAPM）計(jì)算死亡率風(fēng)險(xiǎn)的費(fèi)用，研究得出利用以上基于完全市場假設(shè)的定價(jià)理論度量死亡率風(fēng)險(xiǎn)會(huì)出現(xiàn)較大的誤差.Dahl等［7］將風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法應(yīng)用于死亡率風(fēng)險(xiǎn)證券化產(chǎn)品定價(jià)，在理論上得出了較好的結(jié)果，但還未能進(jìn)行實(shí)證研究.Wang提出一類均衡定價(jià)方法［8、9］，利用概率分布扭曲的方法實(shí)現(xiàn)了在不完全市場中的風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)，并且具有簡明的表達(dá)式，在實(shí)證研究中具有較明顯的優(yōu)勢.Lin等［10］將Wang變換方法引入巨災(zāi)死亡率風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)研究，并進(jìn)行了相關(guān)數(shù)據(jù)分析，驗(yàn)證了Wang變換方法在巨災(zāi)死亡率債券定價(jià)研究中的可行性和有效性.本文利用跳－擴(kuò)散過程刻畫死亡率的隨機(jī)波動(dòng)及其跳躍特征，引入Copula函數(shù)對不同地區(qū)死亡率之間的相關(guān)性進(jìn)行描述，以增強(qiáng)多個(gè)地區(qū)聯(lián)合死亡率預(yù)測的合理性；并在新的理論框架下運(yùn)用王變換，進(jìn)一步完善巨災(zāi)死亡率債券的定價(jià)模型.

1 死亡率指數(shù)構(gòu)建

為了更加合理地構(gòu)造死亡率指數(shù)，本文從加強(qiáng)死亡率的跳躍性和相關(guān)性這兩個(gè)重要特征的刻畫，對現(xiàn)有研究進(jìn)行完善.

1.1 死亡率服從的跳－擴(kuò)散過程

首先，利用含Poisson頻率的跳－擴(kuò)散過程描述某個(gè)地區(qū)人口死亡率的隨機(jī)變化特征.此隨機(jī)過程能夠描述出巨災(zāi)發(fā)生時(shí)死亡率出現(xiàn)跳躍的特征，相對于不帶跳的隨機(jī)過程，更加符合死亡率隨機(jī)波動(dòng)的實(shí)際情況.

式中：αi為地區(qū)i死亡率指數(shù)瞬間變化的期望；σi為死亡率指數(shù)的瞬間方差為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；為參數(shù)為的泊松過程為跳躍頻率為跳躍幅度，服從對數(shù)正態(tài)分布期望值為υi＋1，即

死亡率指數(shù)在（t，t＋Δt）內(nèi)發(fā)生跳躍的概率為

需要說明的是含有跳躍項(xiàng)的隨機(jī)過程還有很多，本文綜合考慮隨機(jī)過程的代表性和運(yùn)算性質(zhì)選用了以上含Poisson頻率的跳－擴(kuò)散過程.當(dāng)然，根據(jù)實(shí)際需要利用其他帶跳的隨機(jī)過程對死亡率進(jìn)行刻畫時(shí)，本文的定價(jià)方法同樣適用.

1.2 基于Gumbel Copula函數(shù)的死亡率指數(shù)

由于地理或人文環(huán)境的相似性，不同地區(qū)的死亡率并不是相互獨(dú)立的，而是具有一定的相關(guān)性.缺乏死亡率之間相關(guān)性的刻畫是現(xiàn)有死亡率指數(shù)構(gòu)建存在的主要不足.事實(shí)上，巨災(zāi)爆發(fā)時(shí)相鄰災(zāi)區(qū)的死亡率協(xié)同變化明顯增強(qiáng)，甚至可能同時(shí)出現(xiàn)跳躍的極端情形.為了進(jìn)一步完善死亡率相關(guān)性特征的刻畫，本文引入Copula函數(shù).

Copula函數(shù)是探索隨機(jī)變量之間非線性相依結(jié)構(gòu)的有力工具.不同類型的Copula函數(shù)可以描述不同的相關(guān)性模式［11］.本文主要討論Archimedean Copula函數(shù)族.這類Copula函數(shù)處理尖峰厚尾特征的觀測樣本（人口死亡率普遍具有尖峰厚尾的分布特征）具有良好的性質(zhì)，其函數(shù)的具體表達(dá)式為

其中φ（·）稱為Archimedean Copula函數(shù)的生成元.按照生成元的不同，Archimedean Copula函數(shù)分為二十幾種.其中最具代表性的有3種，如表1所示.

表1 具代表性的Archimedean Copula函數(shù)Tab.1 Representative Archimedean Copula functions

圖1是3種Archimedean Copula函數(shù)分布密度圖.Clayton Copula函數(shù)分布密度上尾低，下尾高，對分布的下尾變化十分敏感，能快速捕捉到下尾相關(guān)的變化，可用于描述下尾相關(guān)性特征；Gumbel Copula函數(shù)密度分布上尾高，下尾低，對分布的上尾變化十分敏感，能快速捕捉到上尾相關(guān)的變化，可用于描述上尾相關(guān)性特征；而FrankCopula的分布密度具有對稱性，對上尾和下尾相關(guān)性描述都不敏感，難以捕捉到尾部相關(guān)性變化.

圖1 3種Copula函數(shù)分布密度Fig.1 Three kinds of Copula function distribution density

不同地區(qū)死亡率之間的相關(guān)性，主要表現(xiàn)在上尾相關(guān)性特征.即巨災(zāi)發(fā)生時(shí)一個(gè)地區(qū)死亡率上升，其他地區(qū)死亡率上升的概率增大的情形.例如印度洋海嘯事件，導(dǎo)致十多個(gè)國家的人口死亡率的協(xié)同上升.因此要利用能夠快速捕捉這種相關(guān)性特征的Gumbel Copula函數(shù)來刻畫不同地區(qū)死亡率的相關(guān)特征，以此完善死亡率指數(shù)的構(gòu)造.

現(xiàn)將二元Gumbel Copula函數(shù)擴(kuò)展到n元：

則由n個(gè)地區(qū)人口死亡率生成的n維隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布可寫成

其中

2 雙因子王變換下的巨災(zāi)死亡率債券定價(jià)模型

巨災(zāi)死亡率債券定價(jià)的基本原理與其他類型債券相似，都是計(jì)算債券預(yù)期未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值.由經(jīng)典的資產(chǎn)定價(jià)理論可知，在一個(gè)完全市場中，任何一種現(xiàn)金流均可由該市場中交易的某些證券組合加以復(fù)制［12］.而巨災(zāi)死亡率債券的現(xiàn)金流受地震、颶風(fēng)、洪水等自然災(zāi)害或其他保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)的影響，通常無法由股票、債券等傳統(tǒng)資產(chǎn)的組合來復(fù)制，只能在不完全市場的條件下對死亡率關(guān)聯(lián)債券進(jìn)行定價(jià).為克服不完全市場定價(jià)這一難點(diǎn)，本文利用王變換方法.

2.1 王變換

王變換定義扭曲算子（distortion operator）：

其中Φ（·）是正態(tài)分布函數(shù)，λ為參數(shù)，0＜u＜1.

設(shè)隨機(jī)變量Z為保險(xiǎn)市場中在區(qū)間［0，T］的負(fù)債，記F（z）為其分布函數(shù)，則扭曲分布

即為F（z）的單因子王變換（one－factor Wang transform）.

這里，λ為市場風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，反映了保險(xiǎn)市場中的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)或公司特有的不可對沖的風(fēng)險(xiǎn)水平.單因子王變換要求概率分布已知.然而，實(shí)際研究中概率分布經(jīng)常是根據(jù)有限的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)得到的，即使選擇很好的樣本和參數(shù)估計(jì)方法也不可避免地會(huì)出現(xiàn)參數(shù)估計(jì)結(jié)果不準(zhǔn)確的情況.為了解決這一問題，Wang給出了雙因子王變換（two－factor Wang transform）：

其中Q是t分布函數(shù).

王變換的意義在于產(chǎn)生了一條經(jīng)過“風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整”后的“價(jià)格曲線”F＊（z）.用F＊（z）替代原累積函數(shù)F（z）求期望，再通過折現(xiàn)計(jì)算，就可以得到不完全市場中負(fù)債的公平價(jià)格.

2.2 巨災(zāi)死亡率債券的定價(jià)模型

本文利用Gumbel Copula函數(shù)構(gòu)造的死亡率指數(shù)，只能通過參數(shù)估計(jì)得到其分布情況.為了減少由于參數(shù)不確定性帶來的誤差，下面通過雙因子王變換為巨災(zāi)死亡率債券定價(jià).

設(shè)單位本金在t時(shí)刻的損失為

其中1＜a＜2，1＜b＜2且a＜b.

則到期日債券的價(jià)值

設(shè)r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，則面值為F的巨災(zāi)死亡率債券的價(jià)值

其中死亡率指數(shù)聯(lián)合分布為

1) 從通航凈高尺度看，與橋梁凈高相關(guān)。根據(jù)《運(yùn)河通航標(biāo)準(zhǔn)》[10]規(guī)定，長三角地區(qū)二～四航道等級的水上過河建筑物通航凈高尺度為7 m，對標(biāo)大運(yùn)河全線7 m以上凈高橋梁，目前共計(jì)342座，占比85.3%(見表7)，相比2006年發(fā)布《辦法》前增長13個(gè)百分點(diǎn)，但仍有50座非標(biāo)橋梁存在，主要分布在浙江內(nèi)河四級航道，但按照浙江段三級航道整治工程計(jì)劃，橋梁改建后凈高均為7 m。對于其余河段非標(biāo)橋梁，或因沉降略微下降高度或可通過其他航道繞行，因此運(yùn)河全線通航凈高以7 m為限。

E＊為聯(lián)合概率分布C雙因子王變換為C＊后的期望值，

3 實(shí)證分析

本文利用汶川地震受災(zāi)最為嚴(yán)重的兩個(gè)省份——四川省和甘肅省的人口死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的實(shí)證分析.

3.1 數(shù)據(jù)說明

人口數(shù)據(jù)來自中國人口信息網(wǎng)、《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》和《新中國五十年統(tǒng)計(jì)資料匯編》.無風(fēng)險(xiǎn)利率初值的選取為2007－12－29發(fā)布的1年期Shibor 5日均值4.569 7%，相關(guān)數(shù)據(jù)來自http：／／www.shibor.orgshibor／web／shiborDefDownIFrame.jsp.

由圖2可以看出，自建國以來兩省的人口死亡率均呈現(xiàn)下降趨勢，且具有相類似的波動(dòng)形態(tài).在1959～1962年3年自然災(zāi)害時(shí)期，兩省同時(shí)出現(xiàn)死亡率的跳躍.

圖2 四川省和甘肅省人口的死亡率Fig.2 Total population death rate of Sichuan and Gansu provinces

表2描述的是兩組樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征，偏度均大于0，峰度均大于3.可以判斷兩組數(shù)據(jù)的分布均具有尖峰、厚尾和右偏的特征.進(jìn)一步檢驗(yàn)兩個(gè)省人口死亡率的相關(guān)性，利用SPSS軟件計(jì)算得出，Kendall相關(guān)系數(shù)τb為0.614，說明兩組數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)相關(guān)性.

表2 統(tǒng)計(jì)特征描述Tab.2 Statistical characterization description

3.2 參數(shù)估計(jì)

巨災(zāi)死亡率債券定價(jià)模型復(fù)雜且存在死亡率數(shù)據(jù)不足的問題，為減少參數(shù)估計(jì)的誤差，本文整合現(xiàn)有參數(shù)估計(jì)方法的優(yōu)勢，分階段估計(jì)參數(shù).首先，采用Lee等［13］的跳辨識(shí)方法估計(jì)式（1）中的跳躍項(xiàng)參數(shù).把跳躍項(xiàng)參數(shù)估計(jì)結(jié)果代入式（1）再利用 MCMC算法［14］，估計(jì)剩余的參數(shù)αi和σi.進(jìn)一步，利用Lin等［10］的方法估計(jì)市場風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值λ，通過Kendall相關(guān)系數(shù)估計(jì)參數(shù)θ［15］.結(jié)果如表3所示.

表3 巨災(zāi)死亡率債券定價(jià)模型中的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.3 Results of parameter estimation for pricing model of catastrophe mortality bonds

3.3 定價(jià)實(shí)例

設(shè)計(jì)票面價(jià)值10億元人民幣的5年期本金有風(fēng)險(xiǎn)的巨災(zāi)死亡率債券.該債券2007年底發(fā)行，2013－01－01到期.債券給付與四川省和甘肅省的聯(lián)合人口死亡率指數(shù)qt相關(guān)聯(lián).

四川省和甘肅省人口總數(shù)比近似為7∶3（中國人口信息網(wǎng)），設(shè)四川省人口死亡率在死亡率指數(shù)中的權(quán)重為70%，甘肅省人口死亡率的權(quán)重為30%.用表示2007年四川省人口死亡率乘以表示甘肅省人口死亡率乘以1 000.由2008年《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》可知6.65.則2007年實(shí)際死亡率指數(shù)為如果死亡率指數(shù)累積惡化程度超過2007年實(shí)際死亡率指數(shù)的10%，壽險(xiǎn)公司就可以按比例減少對投資者的本金支付，作為死亡率風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償.如果累積死亡率超過2007年死亡率指數(shù)的30%，就可以提取全部本金支付.單位本金損失的表達(dá)式為

利用Gumbel Copula函數(shù)描述兩省死亡率的相關(guān)性特征，進(jìn)一步通過雙因子王變換得出巨災(zāi)死亡率債券的定價(jià)公式：

式中：E＊是qt服從概率分布為C＊的期望值，其 中

由于V＊沒有顯式表達(dá)式，下面通過Monte Carlo模擬計(jì)算債券價(jià)格，步驟如下.

第1步 生成n個(gè)服從（0，1）獨(dú)立均勻分布的隨機(jī)向量（v1v2）T.

第2步 生成（u1u2）T：令u1＝v1；u2是如下方程的解：

這里，由于u2沒有封閉解，采用牛頓迭代法求解.

t＝1 時(shí)可得從而得到q1＝

t＝2 時(shí)可得從而得到q2＝

t＝5 時(shí)可得從而得到q5＝

第4步 重復(fù)第1～3步k次，就可以用算術(shù)平均來估計(jì)qt.

第5步 代入價(jià)值公式（7）計(jì)算V.

利用Matlab軟件編程計(jì)算，當(dāng)模擬次數(shù)達(dá)到10 000次時(shí)結(jié)果趨于穩(wěn)定，可得債券的價(jià)值為6.570 8×108.由于價(jià)格計(jì)算采用固定利率折現(xiàn)，計(jì)算結(jié)果的可靠度主要取決于通過Monte Carlo模擬得到的死亡率指數(shù).利用K－S檢驗(yàn)對死亡率指數(shù)的擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn).在0.95的置信水平下，P值為0.726 3，遠(yuǎn)大于0.05，通過檢驗(yàn).說明Monte Carlo模擬10 000次預(yù)測的死亡率指數(shù)與真實(shí)值擬合優(yōu)度良好，進(jìn)而驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的有效性和一致性.

3.4 參數(shù)敏感度分析

下面分析定價(jià)模型中主要參數(shù)的敏感度.圖3（a）是參數(shù)a和b單個(gè)變動(dòng)或同時(shí)變動(dòng)對巨災(zāi)死亡率債券價(jià)格的影響，可以為債券設(shè)計(jì)中a和b的取值提供一定的參考.圖3（b）分析的是死亡率的跳躍參數(shù)的敏感度，可以看出死亡率跳躍參數(shù)對債券價(jià)格的影響是顯著的，從而也驗(yàn)證了本文對死亡率跳躍特征的描述是必要的.

圖3 參數(shù)變動(dòng)下V＊的趨勢圖Fig.3 Tendency graph of V＊ under the change of parameters

4 結(jié) 語

本文從我國巨災(zāi)嚴(yán)重、保險(xiǎn)業(yè)發(fā)展滯后的客觀實(shí)際出發(fā)，設(shè)計(jì)了一類巨災(zāi)死亡率債券，意在大幅度提高保險(xiǎn)公司對巨災(zāi)保險(xiǎn)的承保能力，扭轉(zhuǎn)長期依賴國家財(cái)政的被動(dòng)局面.在債券的設(shè)計(jì)和定價(jià)上，主要從死亡率指數(shù)的構(gòu)造和不完全市場定價(jià)方法兩個(gè)方面彌補(bǔ)了國際上現(xiàn)有研究存在的不足.利用含Poisson頻率的跳－擴(kuò)散過程和Copula函數(shù)構(gòu)造的死亡率指數(shù)，涵蓋了死亡率的跳躍性和相關(guān)性特征的描述，較已有研究對未來死亡率風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)測更為合理.在定價(jià)方法上，通過王變換實(shí)現(xiàn)了在不完全市場中給巨災(zāi)死亡率債券定價(jià)的方法，避免了基于完全市場假設(shè)的定價(jià)方法可能產(chǎn)生的偏差.在理論推進(jìn)的基礎(chǔ)上，本文針對我國災(zāi)害多發(fā)區(qū)四川省和甘肅省兩省的人口死亡率數(shù)據(jù)，給出巨災(zāi)死亡率債券的定價(jià)實(shí)例，并通過價(jià)格計(jì)算、參數(shù)敏感度分析等實(shí)證分析驗(yàn)證了定價(jià)模型的可行性和有效性.巨災(zāi)死亡率債券不僅可以實(shí)現(xiàn)死亡率風(fēng)險(xiǎn)的有效管理，還能為資本市場帶來巨大商機(jī)，在我國擁有無限的潛力和發(fā)展空間.隨著我國資本市場的成熟，不久的將來，巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)證券化可能會(huì)成為巨大災(zāi)害的風(fēng)險(xiǎn)管理機(jī)制中的重要環(huán)節(jié).

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