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用變量代換法求解一類非齊次熱傳導方程Cauchy問題①

2012-09-27 14:26:12陳敏江趙書銀賈麗萍
關(guān)鍵詞:傅氏泊松熱傳導

陳敏江, 趙書銀, 賈麗萍, 于 坤

(1.石家莊經(jīng)濟學院數(shù)理學院,河北 石家莊 050031;2.河北建筑工程學院數(shù)理系,河北 張家口 075024;3.中核第四研究設計工程有限公司,河北 石家莊 050021)

0 引言

數(shù)學物理方程問題不僅形式變化多樣,而且涉及了較深的數(shù)學內(nèi)容,故其求解比較困難.另外,在本學科中,處理問題的方法具有很強的針對性,若方程的形式或條件做稍許修改,求解問題的思路及方法可能相差甚遠.雖然部分定解問題有現(xiàn)成的求解公式,但其中有些項的計算非常復雜,不易記憶.

考慮如下熱傳導方程的Cauchy問題

其中f(x,t)∈C2,1(R ×[0,+ ∞)),φ(x)∈C(R)∩ L∞(R).

由傅氏變換,可得Cauchy問題(1)的解

很顯然,公式(2)的形式復雜,不易記憶,況且?guī)в泻瑓⒘康亩胤e分計算極易出錯.

本文將指出,當非齊次項具有如下形式

時,我們通過變量代換法可將問題(1)中方程齊次化,再由泊松公式求出其解.這樣做的最大優(yōu)點避免了公式(2)的繁雜計算,而且求解過程簡單明了、易于接受.

1 主要結(jié)果

考慮如下熱傳導方程Cauchy問題

其中函數(shù)g(t)∈C1([0,+∞)),φ(x)∈C(R)∩L∞(R)均已知,k,b為常數(shù).

我們希望找到一個具有如下形式的函數(shù)v(x,t)=(k1x+b1)g1(t),通過變量代換,得

再適當?shù)剡x擇 k1,b1,g1(t),將定解問題中的非齊次方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于w(x,t)的齊次方程.

注:在上述表達式中,g1(t)=∫g(t)d t只需取不帶常數(shù)的g(t)的原函數(shù)[3].

則Cauchy問題(1)中的非齊次方程經(jīng)變量代換轉(zhuǎn)化成齊次方程,即有如下形式

其中

由熱傳導方程的泊松公式可得

結(jié)合(3),(4),(6)可求得Cauchy問題(1)的解

2 舉 例

例1 求解下列熱傳導方程Cauchy問題

變量代換,w(x,t)=u(x,t)- v(x,t).

由(5)得Ψ(x)=φ(x)-(kx+b)g1(0)=x-0=x,

得到關(guān)于w(x,t)的齊次Cauchy問題

由熱傳導方程的泊松公式可得

其中 k=1,b=0,g(t)=et

由公式(4),可得k1=k=1,b1=b=0,g1(t)=∫etd t=et

即 v(x,t)=(k1x+b1)g1(t)=xet.變量代換,w(x,t)=u(x,t)- v(x,t).

由(5)得

得到關(guān)于w(x,t)的齊次Cauchy問題

由熱傳導方程的泊松公式可得

故原方程的解為

3 結(jié) 論

1)本文所給出的方法較之傳統(tǒng)的傅氏變換方法,一則計算量小,二則簡單明了、易于接受.

2)在Cauchy問題(1)中,當非齊次項具有形式f(x,t)=(kt+b)g(x)時,用變量代換法完全可以求解.

3)本文所提出的思想可應用于波動方程、Laplace方程的類似問題.

[1]姜禮尚,陳亞浙,劉西恒,等.數(shù)學物理方程講義[M].北京:高等教育出版社,1996.

[2]王元明.數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[3]張東.變量代換法在求解微分方程問題中的應用[J].遼寧交通高等??茖W校學報,2003.

[4]Lawrence C.Evans,Partial Differential Equation[M].American Mathematical Society,1998.

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