王延偉，劉 驥，于會(huì)鳳

(哈爾濱理工大學(xué)工程電介質(zhì)及其應(yīng)用技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江哈爾濱150080)

0 引言

鐵心電抗器的優(yōu)化設(shè)計(jì)是指在滿足規(guī)定的電磁性能指標(biāo)條件下，確定某一目標(biāo)，運(yùn)用一定的優(yōu)化算法，尋求出最優(yōu)的產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案［1］。目前，許多算法被引入電氣產(chǎn)品的設(shè)計(jì)領(lǐng)域，如隨機(jī)試驗(yàn)法、蟻群算法、粒子群算法等［2］，但這些算法對(duì)鐵心電抗器的優(yōu)化設(shè)計(jì)而言，都不是很理想，不可避免地存在一定的局限性，如運(yùn)算量大，求解效率低;算法本身不能確保全局尋優(yōu);算法通用性差，程序不能方便的進(jìn)行移植;算法對(duì)于復(fù)雜的混合離散變量?jī)?yōu)化問題無能為力等等［3－5］。因此，在20世紀(jì)60年代中期，美國(guó)著名科學(xué)家 J．H．Holand提出了遺傳算法(GA)，它是一類模擬生物進(jìn)化過程與機(jī)制求解問題的自適應(yīng)人工智能技術(shù)，是模擬自然界生物進(jìn)化過程的一類自組織、自適應(yīng)的全局優(yōu)化算法。它具有很強(qiáng)的解決問題能力和廣泛適應(yīng)性。近年來，遺傳算法已被成功的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理、交通運(yùn)輸、工業(yè)設(shè)計(jì)等不同領(lǐng)域，并且在逐步地成熟和完善［6］。

1 遺傳算法

1.1 遺傳算法的原理

遺傳算法以達(dá)爾文的生物進(jìn)化論為基礎(chǔ)，遵循適者生存的原則，合適的個(gè)體被保留，不合適的個(gè)體被淘汰。遺傳算法的尋優(yōu)過程是一個(gè)反復(fù)迭代過程［7］。在這種機(jī)制中，每一代中各個(gè)個(gè)體(各個(gè)設(shè)計(jì)方案)的基本特征可以通過基因轉(zhuǎn)換機(jī)制被遺傳到下一代中，也就是說在一個(gè)給定的代中，代表著一個(gè)群體的設(shè)計(jì)方案相互之間可以復(fù)制和交叉，并以一定的概率發(fā)生變異，交叉傾向于由群體中最為優(yōu)秀的個(gè)體來承擔(dān)，這種群體中相互匹配的個(gè)體的最好特性的結(jié)合使產(chǎn)生的子代比父代有更加優(yōu)良的特性，產(chǎn)生好的解。如果變異后的子代性能不佳，則其在以后的選擇中將被淘汰。遺傳算法是一種隨機(jī)搜索方法，它的搜索范圍遍及整個(gè)解空間因而能以較大的概率求得全局最優(yōu)解或近似最優(yōu)解［8－9］。

1.2 遺傳算法的特點(diǎn)

遺傳算法對(duì)問題的求解并不依賴于所求問題的性質(zhì)，不要求目標(biāo)函數(shù)具有諸如連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)存在和單峰等性質(zhì)。與其它傳統(tǒng)優(yōu)化方法相比較，遺傳算法具有的特點(diǎn):遺傳算法以決策變量的編碼作為運(yùn)算對(duì)象，而不使用參數(shù)本身;遺傳算法僅使用由目標(biāo)函數(shù)值變換來的適應(yīng)度函數(shù)值進(jìn)一步確定搜索方向和搜索范圍，無需目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值或其他輔助信息;遺傳算法同時(shí)使用多個(gè)點(diǎn)的搜索信息，因而具有一種內(nèi)在的并行性;遺傳算法使用概率搜索技術(shù)，因而更具有靈活性。實(shí)踐與理論證明，在一定條件下，遺傳算法以概率收斂于問題的最優(yōu)解。

1.3 遺傳算法計(jì)算過程

如果工程優(yōu)化問題為約束型，則先將其轉(zhuǎn)化為無約束問題(一般采用懲罰函數(shù)法)，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造適應(yīng)函數(shù)，通過反復(fù)執(zhí)行選擇、交叉和變異三個(gè)遺傳運(yùn)算過程，迭代尋優(yōu)。遺傳算法實(shí)施的基本步驟為:確定尋優(yōu)參數(shù)，進(jìn)行編碼;隨機(jī)生成一組原始群體;計(jì)算解群體中各個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值及相應(yīng)的適應(yīng)度值;根據(jù)解群體中各個(gè)基因鏈的適應(yīng)值，通過選擇運(yùn)算形成匹配集;通過交叉、變異運(yùn)算產(chǎn)生下一代群體;終止條件驗(yàn)證。如不滿足終止條件，返回，進(jìn)行循環(huán)迭代;如滿足，程序結(jié)束。遺傳算法的計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 遺傳算法計(jì)算流程圖

1.4 遺傳算子

遺傳算法使用3種遺傳算子，即選擇、交叉、變異。

本文采用的選擇算子是最基本的比例選擇算子，它是一種有退還的隨機(jī)選擇，也叫做賭盤選擇。執(zhí)行過程是:先計(jì)算出群體中所有個(gè)體的適應(yīng)度總和，再計(jì)算出每個(gè)個(gè)體的相對(duì)適應(yīng)度大小，最后使用模擬賭盤操作，即通過產(chǎn)生0或1隨機(jī)數(shù)來確定各個(gè)個(gè)體被選中的次數(shù)。

交叉算子中最常用、最基本的的是單點(diǎn)交叉，執(zhí)行過程是:對(duì)群體中的個(gè)體進(jìn)行兩兩隨機(jī)配對(duì)，然后對(duì)每一對(duì)個(gè)體隨機(jī)設(shè)置某一基因座之后為交叉點(diǎn)，再依照設(shè)定的交叉概率在其交叉點(diǎn)處相互互換兩個(gè)個(gè)體的部分染色體，從而產(chǎn)生出兩個(gè)新的個(gè)體，其過程如圖2所示。

圖2 交叉操作

變異算子是以一個(gè)小概率隨機(jī)改變?nèi)旧w串上的某些位，對(duì)于本文所使用的二進(jìn)制編碼就是相應(yīng)位從1變?yōu)?，或從0變?yōu)?，變異算子能增加群體的多樣性，其過程如圖3所示。

圖3 變異操作

2 鐵心電抗器優(yōu)化模型分析

鐵心電抗器通過選擇合適的優(yōu)化設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)以及約束條件，可描述為

式中:X為優(yōu)化變量;Ω為解空間;f(X)為目標(biāo)函數(shù);gi(X)為約束函數(shù);m為約束函數(shù)的個(gè)數(shù)。

2.1 設(shè)計(jì)變量的選擇

設(shè)計(jì)變量選擇的原則是選取對(duì)電抗器的性能、目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)影響大，且能相應(yīng)確定其他有關(guān)參量的獨(dú)立設(shè)計(jì)參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量。

2.2 目標(biāo)函數(shù)的選擇

對(duì)于電抗器的優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)可以取電抗器的有效材料成本、損耗、溫升等。本文選取電抗器的有效材料成本最低為優(yōu)化目標(biāo)，將性能指標(biāo)條件作為約束函數(shù)處理，關(guān)系式表示為

式中:C1、C2分別為硅鋼片和銅(或鋁)線的單價(jià)，G1、G2分別為硅鋼片和銅(或鋁)線的重量;C0為與設(shè)計(jì)變量無關(guān)的固定費(fèi)用。

2.3 約束條件及處理方法

約束條件主要包括電抗器的主要性能指標(biāo)和實(shí)際變量上下限約束，如磁通密度、電流密度、損耗、鐵芯和繞組溫升等限制。

由于遺傳算法屬于無約束的優(yōu)化方法，所以本文采用罰函數(shù)法對(duì)約束條件進(jìn)行處理，將約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題?；舅枷胧?針對(duì)每一個(gè)條件約束，在目標(biāo)函數(shù)中增加一個(gè)相應(yīng)的懲罰因子得到一個(gè)廣義的目標(biāo)函數(shù):

式中Ri為懲罰因子，根據(jù)各約束的性質(zhì)不同而取不同的值。

2.4 算法的實(shí)現(xiàn)與改進(jìn)措施

標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法存在計(jì)算速度較慢、計(jì)算量較大等問題，特別是對(duì)于電磁優(yōu)化這類復(fù)雜非線性問題的尋優(yōu)，當(dāng)搜索空間不能準(zhǔn)確定位時(shí)，算法很容易陷入局部最優(yōu)(稱之為“早熟”現(xiàn)象)，或者浪費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間而得不到最優(yōu)解。因此，在遺傳算法的具體實(shí)現(xiàn)過程中，采用一些必要的技術(shù)可以使遺傳算法更快、更好的收斂。

1)各懲罰項(xiàng)因子的確定以及懲罰函數(shù)的構(gòu)造必須合適，使懲罰項(xiàng)的值接近實(shí)際設(shè)計(jì)值。太小時(shí)起不到懲罰作用;懲罰過度則會(huì)導(dǎo)致算法得不到正確的搜索信息，從而在接近最優(yōu)值時(shí)不易收斂，所以需要進(jìn)行多次試驗(yàn)以確定合理的值。

2)在遺傳算法執(zhí)行的過程中，同一代中各個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值、適應(yīng)值都越來越接近，使得遺傳算法的搜索速度變慢，為解決這個(gè)問題，設(shè)計(jì)了適應(yīng)度函數(shù):

式中，f(X)為適應(yīng)度函數(shù)，Cmax為該代中最大的目標(biāo)函數(shù)值，F(xiàn)(X)為待求個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值。這樣就使得個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)值之間的差異變大，從而使遺傳算法在選擇操作時(shí)變得容易，加速了算法的搜索效率。

3)由于遺傳算法選擇的隨機(jī)性，即使最優(yōu)良的個(gè)體也可能在選擇運(yùn)算中被淘汰，或最差的個(gè)體也可能被選中，因而在遺傳算法中采用保留最優(yōu)模型的技術(shù)會(huì)大大改進(jìn)算法的性能。一般保留當(dāng)前代中前10個(gè)最優(yōu)個(gè)體直接加入下一代群體中，這樣在遺傳過程中，就不會(huì)破壞最佳模式。

4)為了避免算法過早的收斂，在每次產(chǎn)生新一代群體的操作中，人為地向其中加入一定數(shù)量新的隨機(jī)生成的染色體，由于這些個(gè)體遍布在整個(gè)搜索空間中，這樣就增加了染色體中基因模式的種類，可以避免算法過早的收斂于局部最優(yōu)解。

3 優(yōu)化算例

以實(shí)際應(yīng)用中典型鐵心電抗器為例，比較優(yōu)化前后的主要技術(shù)指標(biāo)和經(jīng)濟(jì)性能，算例電抗器的主要技術(shù)參數(shù)如表1所示。

表1 技術(shù)參數(shù)

求解該問題的遺傳算法的構(gòu)造過程:

1)確定決策變量和約束條件

選取鐵心直徑、鐵心磁通密度、線圈電流密度作為決策變量。約束條件有:損耗P0＜39．7 kW，溫升T＜100 K，扁導(dǎo)線寬厚比為ab∈［1.4，8］，電流密度 j∈［2，2.4］，鐵心磁密 B∈［1.2，1.6］，鐵心直徑D∈［420，460］。

2)建立優(yōu)化模型

將已知量帶入式(2)整理成關(guān)于決策變量的函數(shù)關(guān)系式，并作為目標(biāo)函數(shù)式

3)確定編碼方法

用長(zhǎng)度為10位的二進(jìn)制編碼串來分別表示三個(gè)決策變量。10位二進(jìn)制編碼串可以表示從0到1 023之間的1 024個(gè)不同的數(shù)，故將三個(gè)決策變量的定義域離散化為1 023個(gè)均等的區(qū)域，例如D∈［420，460］，從離散點(diǎn)420到460依次讓它們分別對(duì)應(yīng)于從0000000000(0)到1111111111(1023)之間的二進(jìn)制編碼。再分別將表示三個(gè)決策變量的三個(gè)10位長(zhǎng)的二進(jìn)制編碼串連接在一起，組成一個(gè)30位長(zhǎng)的二進(jìn)制編碼串，即構(gòu)成了該問題的染色體編碼方法。

4)確定解碼方法

解碼時(shí)需先將30位長(zhǎng)的二進(jìn)制編碼串切斷為三個(gè)10位長(zhǎng)的二進(jìn)制編碼串，然后分別將它們轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制整數(shù)代碼，記為y1、y2和y3，此處將鐵心直徑、鐵心磁密、電流密度分別記為x1、x2和x3，則將yi轉(zhuǎn)換為變量xi的解碼公式分別為:

表2 優(yōu)化結(jié)果

5)設(shè)定遺傳算子

選擇運(yùn)算使用比例選擇算子;

交叉運(yùn)算使用單點(diǎn)交叉算子;

變異算子使用基本位變異算子。

6)確定遺傳算法的運(yùn)行參數(shù)

對(duì)于本例，設(shè)定遺傳算法的參數(shù)如下:

群體大小:M=100。

終止代數(shù):T=500。

交叉概率:Pc=0．6。

變異概率:Pm=0．001。

上述步驟完成了對(duì)本例遺傳算法的構(gòu)造，使用該方案進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)后的結(jié)果如表2所示。

4 結(jié)論

1)針對(duì)傳統(tǒng)遺傳算法存在的早熟現(xiàn)象、收斂速度慢等缺點(diǎn)，提出了相應(yīng)的改進(jìn)措施，獲得了良好的改進(jìn)效果。

2)建立了鐵心電抗器的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，將遺傳算法這種尋優(yōu)方法加入設(shè)計(jì)中，通過對(duì)典型樣例的優(yōu)化可以看出，優(yōu)化效果明顯。

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