趙曉宇，李 軍，李張苗

(1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240;2.河北工程大學(xué)土木學(xué)院，河北邯鄲056038)

結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析的目的是計(jì)算結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)和可靠度。由于地震活動的不確定性和地震波在地殼中傳播的隨機(jī)性，地面地震動參數(shù)都是隨機(jī)的，一般由隨機(jī)過程來描述。結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析則給出隨機(jī)地震荷載下結(jié)構(gòu)反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)、譜特性、邊緣或聯(lián)合概率分布等，為結(jié)構(gòu)的可靠度評估或抗震設(shè)計(jì)提供基本數(shù)據(jù)。

在地震作用下，結(jié)構(gòu)往往會進(jìn)入非線性狀態(tài)，因此，在結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析中，應(yīng)該考慮結(jié)構(gòu)的非線性行為，尤其是結(jié)構(gòu)恢復(fù)力的滯變特性［1]。然而，滯變結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)分析在目前來說仍然是一個困擾地震工程界的技術(shù)難題，盡管人們提出和發(fā)展了一些方法，但精確并有效的方法仍然在研究和開發(fā)過程中。本文回顧了目前存在的滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析的基本方法，探討了目前應(yīng)用最為廣泛的等價線性化方法及其誤差問題，為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的地震可靠度分析方法研究提供參考。

1 隨機(jī)地震荷載和結(jié)構(gòu)滯變恢復(fù)力

精細(xì)的隨機(jī)地震荷載模型需用隨機(jī)場來描述［1]。但由于隨機(jī)場模型往往給結(jié)構(gòu)分析帶來非常大的復(fù)雜性，且隨機(jī)場模型通常由一維隨機(jī)過程和相關(guān)函數(shù)或相干函數(shù)來合成，因此在結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)分析中經(jīng)常采用的是一維隨機(jī)過程模型。目前常用的一維隨機(jī)地震動荷載模型有平穩(wěn)隨機(jī)過程模型(如白噪聲過程模型、金井清和田治見模型以及Clough－Penzien模型等)、調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)過程模型(如調(diào)制金井清和田治見模型以及Clough－Penzien模型［2])和基于漸進(jìn)功率譜的完全非平穩(wěn)隨機(jī)過程模型等［3－4]。一般來說，上述模型能比較好地滿足不同層次的結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析的要求。

在地震荷載的往復(fù)作用下，構(gòu)件的恢復(fù)力與變形的關(guān)系曲線在加載和卸載過程中不沿著同一個路徑變化，表現(xiàn)出顯著的滯變特性。常用的結(jié)構(gòu)恢復(fù)力的滯變模型有雙線性模型、Clough三線性模型和能量模型［1]，但由于上述模型是不光滑的，給求解隨機(jī)偏微分振動方程帶來了非常大的困難，因此，在結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)分析中經(jīng)常采用光滑的滯變恢復(fù)力模型，其中最常用的是Bouc－Wen 模型［1]。

若將結(jié)構(gòu)恢復(fù)力表示為

式中:g(x，˙x)－滯變恢復(fù)力;x－變形;αkx－彈性力部分;(1－α)kz－滯變力部分;k－初始剛度;αk－第二剛度;α －第二剛度系數(shù)。

那么，光滑的Bouc－Wen滯變變形模型為

式中:A、B、γ－控制滯變變形初始剛度、幅值和滯變形狀參數(shù)。

2 滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析的主要方法

目前的滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析方法主要有擴(kuò)散理論方法、隨機(jī)平均法、攝動法、矩截?cái)喾?、?shù)字模擬方法和等價線性化法等［5－6]。

擴(kuò)散理論方法是在相應(yīng)的邊界條件與初始條件下求解?？耍绽士耍茽柲缏宸蚍匠?FPK方程)。對極少數(shù)問題，如白噪聲激勵下的Duffing振子，可以得到解析解［5－6]。但對一般的滯變結(jié)構(gòu)，尤其是常用隨機(jī)地震模型作用下的復(fù)雜滯變結(jié)構(gòu)，目前沒有解析解，只能通過近似方法(如隨機(jī)平均法［7－8])和數(shù)值方法進(jìn)行近似計(jì)算，而且計(jì)算量大且精度也很難保證［6]。因此，擴(kuò)散理論方法目前還未在工程中廣泛使用。

隨機(jī)攝動法是非線性確定性振動的攝動方法對隨機(jī)問題的直接推廣［9]。它可以用來確定弱非線性體系受隨機(jī)干擾的近似反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩，但不適用于強(qiáng)非線性的滯變結(jié)構(gòu)。

矩函數(shù)截?cái)喾ㄊ且活惽蠼夥蔷€性系統(tǒng)反應(yīng)矩的方法。較常用的是高斯截?cái)喾ê屠鄯e量截?cái)喾?，適用于單個或多個自由度非線性系統(tǒng)受平穩(wěn)或非平穩(wěn)隨機(jī)激勵的情況［6，10]。矩函數(shù)截?cái)喾ㄒ驯挥糜跍兘Y(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩的初步估計(jì)之中，但該方法的精度尚有待進(jìn)一步提高。

數(shù)字模擬方法(Monte Carlo模擬方法和重要抽樣方法)與等價線性化法是目前應(yīng)用最為廣泛的滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析方法［11]。該方法利用隨機(jī)地震動的樣本和確定性滯變結(jié)構(gòu)的振動分析技術(shù)，獲得結(jié)構(gòu)反應(yīng)的樣本，然后統(tǒng)計(jì)樣本得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)、概率分布或其它概率特征。只要計(jì)算量允許，數(shù)字模擬技術(shù)適用于任何可以進(jìn)行確定性分析的結(jié)構(gòu)振動問題。然而，Monte Carlo模擬方法的確定性有限元分析數(shù)量往往數(shù)以十萬計(jì)，對大型結(jié)構(gòu)問題難以在可容忍的時間內(nèi)完成模擬過程，而重要抽樣方法的穩(wěn)定性問題也一直沒有得到很好地解決［12]。

隨機(jī)等價線性化方法是利用某個等價原則將所研究非線性系統(tǒng)等價變換為一個線性系統(tǒng)，通過分析等價線性系統(tǒng)的隨機(jī)反應(yīng)來預(yù)測原系統(tǒng)的隨機(jī)反應(yīng)。等價線性化方法是被認(rèn)為是目前最有效的滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析方法［13]。

3 滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析的等價線性化方法

上世紀(jì)50年代，從事控制論和自動化理論研究的 Kazakov［14]和 Booton［15]最早提出了隨機(jī)等價線性化方法，Caughey將其推廣到非線性隨機(jī)振動系統(tǒng)［16]。非線性隨機(jī)振動系統(tǒng)等價線性化的中心思想是將原來的非線性系統(tǒng)用一個等價的線性系統(tǒng)來代替，線性系統(tǒng)的參數(shù)通過利用原系統(tǒng)與線性系統(tǒng)之間的某個等價準(zhǔn)則來獲得，因此非線性隨機(jī)振動系統(tǒng)的等價線性化方法可按等價線性化準(zhǔn)則來進(jìn)行分類。

最早提出并且應(yīng)用最廣泛的線性化準(zhǔn)則是原系統(tǒng)響應(yīng)與等價系統(tǒng)響應(yīng)的均方差最小準(zhǔn)則。采用該準(zhǔn)則后，等價系統(tǒng)的參數(shù)可以通過計(jì)算原系統(tǒng)中非線性函數(shù)梯度的期望來確定［17]。這種隨機(jī)等價線性化方法主要是確定等價系統(tǒng)的剛度和阻尼參數(shù)，尤其是可以給出Bouc－Wen模型的等價參數(shù)［18]，使等價線性方程“最優(yōu)”的逼近原來的非線性方程的解［1]。均方差最小準(zhǔn)則下的等價線性化方法的具體過程是用帶有剛度參數(shù)和阻尼參數(shù)的線性系統(tǒng)近似代替非線性系統(tǒng)，將線性系統(tǒng)的響應(yīng)帶入線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)運(yùn)動方程中，得到兩方程之差，運(yùn)用兩系統(tǒng)響應(yīng)的均方差最小的原則，可以得到用來確定剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的矩陣方程，將該矩陣方程與線性系統(tǒng)動力方程聯(lián)立，可以求解出剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，對于bouc－wen模型系數(shù)可以通過迭代方法來計(jì)算［5]。剛度參數(shù)和阻尼參數(shù)直接與反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩有關(guān)，對于非平穩(wěn)反應(yīng)的問題，統(tǒng)計(jì)矩是時間的函數(shù)，等價參數(shù)也是隨時間變化的，宜將時間區(qū)間分成若干子區(qū)間，等價參數(shù)和體系的反應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩需要從等于時間步長大小的離散時刻起迭代求解［1]。

上述等價線性化方法可以稱為全局等價線性化方法，該類方法能夠較為簡單地確定等價線性系統(tǒng)的參數(shù)，但等價響應(yīng)的概率分布，特別是尾部概率分布的誤差較大。為了解決這個問題，人們提出了新的線性化準(zhǔn)則，主要包括局部等價線性化原則和無參數(shù)等價線性化準(zhǔn)則。

局部等價線性化準(zhǔn)則的一種典型方法是Casciati和Faravelli提出的原系統(tǒng)響應(yīng)與等價系統(tǒng)響應(yīng)的平均穿越率相等準(zhǔn)則方法［19]。對滯變結(jié)構(gòu)研究時雖然無法明確得到原系統(tǒng)位移和速度的概率密度分布，但在能量損耗很小的情況下，可以運(yùn)用隨機(jī)平均方法得到能量包線的Fokker－Planck方程，運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)獲得位移和速度反應(yīng)的聯(lián)合概率分布近似值，從而可以得到滯變結(jié)構(gòu)的穿越概率。利用等價線性化方法，將原來的滯變結(jié)構(gòu)用等價的線性結(jié)構(gòu)來替代，可以得到等價的線性結(jié)構(gòu)的穿越概率，這個穿越概率是有關(guān)等價線性參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。利用原系統(tǒng)響應(yīng)與等價系統(tǒng)響應(yīng)的平均穿越率相等的準(zhǔn)則，最終可得到等價參數(shù)。平均穿越率相等方法能針對特定的反應(yīng)水平值給出不同的等價線性系統(tǒng)參數(shù)，局限性在于需要知道原系統(tǒng)位移和速度反應(yīng)的聯(lián)合邊緣概率密度函數(shù)以便計(jì)算原系統(tǒng)反應(yīng)的平均穿越率，這對于非線性結(jié)構(gòu)特別是多自由度的非線性結(jié)構(gòu)而言比較困難，這限制了該方法的廣泛應(yīng)用。

無參數(shù)等價線性化準(zhǔn)則的一種典型方法是Kiureghian提出的尾部等價線性化方法［20]。其等價原則是等價線性系統(tǒng)的尾部概率與非線性系統(tǒng)的尾部概率相等。具體過程是先把隨機(jī)激勵離散成有限個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，然后考察一般線性系統(tǒng)在這個離散化的隨機(jī)激勵作用下的響應(yīng)情況，從而定義出一個與非線性系統(tǒng)響應(yīng)的尾部概率相等的尾部等價線性系統(tǒng)。獲得等價的線性系統(tǒng)后，非線性系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值可以由對等價的線性系統(tǒng)響應(yīng)的分析得到，包括在某一時刻下的概率密度函數(shù)和累計(jì)概率分布函數(shù)、平均穿越率、在一定時間間隔內(nèi)的最大響應(yīng)分布等。尾部等價線性化方法無需計(jì)算等價系統(tǒng)的阻尼和剛度參數(shù)，也不需要解決最優(yōu)化的問題，只需要保證在相同的時間設(shè)計(jì)點(diǎn)，非線性系統(tǒng)響應(yīng)的切平面與等價的線性系統(tǒng)響應(yīng)的超平面重合。

尾部等價線性化方法適用于各類具有有理譜密度的隨機(jī)地震荷載和各類滯變恢復(fù)力模型，且在時域分析和頻域分析中都可使用。例如在海洋結(jié)構(gòu)問題中［21]，波浪激勵通常用頻域形式表示，為了便于進(jìn)行頻域隨機(jī)振動分析，用頻率響應(yīng)函數(shù)來定義尾部等價線性系統(tǒng)，在計(jì)算過程中需要對激勵進(jìn)行頻域離散化，頻率響應(yīng)函數(shù)可以直接由非線性響應(yīng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)運(yùn)算得到。采用尾部等價線性化方法進(jìn)行頻域分析的一大優(yōu)點(diǎn)就是尾部等價線性系統(tǒng)不受激勵大小的影響，即不同的浪高有相同的等價線性系統(tǒng)，這大大簡化了對海洋結(jié)構(gòu)的運(yùn)算分析。尾部等價線性化方法在工程方面可以運(yùn)用在地震分析中［22]，進(jìn)行非線性結(jié)構(gòu)地震易損性計(jì)算。因?yàn)閷ξ膊康葍r線性系統(tǒng)進(jìn)行線性隨機(jī)振動分析即可產(chǎn)生非線性結(jié)構(gòu)的易損性曲線，所以避免了反復(fù)的時程分析，簡化了運(yùn)算。

隨機(jī)等價線性化方法的應(yīng)用主要有兩個方面。一方面，有些學(xué)者將等價線性化方法與其它方法進(jìn)行結(jié)合，來提高分析的效率和精度。Spanos、Sofi和Paola綜合利用等價線性化方法和Fokker－Planck方程進(jìn)行非線性振子的非平穩(wěn)響應(yīng)包絡(luò)概率密度分析，在范德波振子和杜芬振子的應(yīng)用中，取得了良好效果［23]。Pradlwarter、Schueller和Schenk將等價線性化方法嵌入有限元方法中，對有上千個自由度的大型有限元模型進(jìn)行了非線性隨機(jī)振動分析［24]。另一方面，等價線性方法已廣泛應(yīng)用于建筑、橋梁、離岸平臺和車輛的非線性隨機(jī)振動分析以及隨機(jī)荷載建模、結(jié)構(gòu)可靠度和自動化控制等領(lǐng)域，特別是對于大型混凝土結(jié)構(gòu)的地震可靠度問題，等價線性化是目前唯一有效的分析方法。Schueller運(yùn)用這種方法來研究八層辦公樓在雙向地震激勵作用下的反應(yīng)［25]，Emam將這種方法運(yùn)用在了六層建筑一維滯回以及三層建筑二維滯回情況下的反應(yīng)分析之中［26]。朱東生將等價線性化方法運(yùn)用到鉛芯橡膠支座(LRB)隔震橋梁的設(shè)計(jì)中［27]，孔德怡針對系統(tǒng)阻尼對橋梁設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的影響，以一座實(shí)橋?yàn)槔?，通過與非線性時程分析比較，對各個等價線性化方法進(jìn)行了評價［28]。Qian計(jì)算波浪力對結(jié)構(gòu)的作用，考慮了一個三維的離岸平臺模型，利用等價線性化方法獲得響應(yīng)特性［29]。Zhang研究了車輛的隨機(jī)概率響應(yīng)曲線，提出了一種用來獲得線性化系數(shù)和響應(yīng)特性的逐步線性化方法［30]。

4 等價線性化的誤差及修正

目前只有很少的文獻(xiàn)研究了近似誤差的問題。大多數(shù)學(xué)者選用特殊系統(tǒng)進(jìn)行研究而后采用與確定解或數(shù)值模擬結(jié)果相比較的方法獲得近似誤差，尚不存在等價線性化誤差修正的理論方法。

一般而言，等價線性化方法的數(shù)值誤差存在于用線性系統(tǒng)代替非線性系統(tǒng)的等價近似過程中，主要分為平穩(wěn)誤差和非平穩(wěn)誤差兩個部分。平穩(wěn)誤差通常是由對位移、速度、滯回位移等各種響應(yīng)變量的高斯假定產(chǎn)生的，非平穩(wěn)誤差主要體現(xiàn)在永久塑性變形的積聚方面。Young J.Park通過誤差分析量化了數(shù)值誤差，并在大量的Monte Carlo數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上提出了一個實(shí)用的誤差修正方法［31]。

在平穩(wěn)誤差方面，誤差大小和后屈服剛度比有著重要關(guān)系。后屈服剛度比如果較大，平穩(wěn)誤差則較小，同時表明在這種情況下高斯假定對結(jié)果的影響較小;但當(dāng)后屈服剛度比非常小時，平穩(wěn)誤差受后屈服剛度比影響的敏感性也會非常小。Young J.Park的平穩(wěn)誤差修正方法是，當(dāng)?shù)葍r線性化方法計(jì)算出的位移與屈服位移的比值小于0.5時，平穩(wěn)誤差很小可以視為零;比值在0.5到1之間時，誤差是關(guān)于位移和后屈服剛度比的函數(shù);當(dāng)比值大于1后，誤差基本呈現(xiàn)出的是有關(guān)后屈服剛度比的一個常數(shù)。

在非平穩(wěn)誤差方面，后屈服剛度比對非平穩(wěn)誤差的影響要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于對平穩(wěn)誤差的影響，其他參數(shù)如粘性阻尼系數(shù)等對誤差的影響十分微小;當(dāng)后屈服剛度比大于0.05時，非平穩(wěn)誤差十分微小。Young J.Park得到的非平穩(wěn)誤差修正方法是當(dāng)位移與屈服位移的比值小于0.5時，非平穩(wěn)誤差可以忽略不計(jì);比值大于0.5時，由數(shù)值模擬得到的非平穩(wěn)誤差是有關(guān)后屈服剛度比、位移和標(biāo)準(zhǔn)化時間的關(guān)系式。

通過分別對平穩(wěn)誤差部分和非平穩(wěn)誤差部分進(jìn)行修正，最終歸結(jié)為總的數(shù)值誤差修正，總的誤差修正值可以綜合平穩(wěn)誤差和非平穩(wěn)誤差來得到。

5 結(jié)語

與常用的滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動分析方法，如擴(kuò)散理論方法、隨機(jī)平均法、攝動法、矩截?cái)喾椒ê蛿?shù)字模擬方法等相比，等價線性化方法因概念簡單，計(jì)算量較少，具有良好的實(shí)用性。尤其是近年來發(fā)展出來的局部等價線性化方法和無參數(shù)等價線性化方法，既提高了預(yù)測原系統(tǒng)反應(yīng)尾概率的精確性和計(jì)算效率，又適用于分段和光滑的滯變恢復(fù)力模型。面對未來可能發(fā)生的地震，陳舊混凝土結(jié)構(gòu)具有潛在的巨大災(zāi)害，將等價線性化方法運(yùn)用到結(jié)構(gòu)的地震安全性評估之中，對城市的抗震減災(zāi)工作具有重要意義。

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