陳友余

（湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院 工商管理系，湖南 長(zhǎng)沙410205）

變起點(diǎn)GM（1，1）馬爾可夫鏈模型在我國(guó)農(nóng)村人均純收入預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

陳友余

（湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院 工商管理系，湖南 長(zhǎng)沙410205）

以擴(kuò)展我國(guó)農(nóng)村人均純收入預(yù)測(cè)方法和提高預(yù)測(cè)精度為目標(biāo)，采用變起點(diǎn)模型對(duì)傳統(tǒng)GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)建立一個(gè)預(yù)測(cè)模型群，從中挑選精度最高、擬合程度最好的模型作為后續(xù)的預(yù)測(cè)模型，通過(guò)實(shí)際應(yīng)用的確提高了預(yù)測(cè)精度和擬合程度；然后在此基礎(chǔ)上對(duì)后續(xù)的預(yù)測(cè)模型的殘差進(jìn)行分類，計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣，從而得出由區(qū)間和概率組成的預(yù)測(cè)范圍，較大的增強(qiáng)了預(yù)測(cè)的可操作性和可信性。

GM（1，1）；變起點(diǎn)GM（1，1）；馬爾科夫鏈；農(nóng)村人均純收入

一、引言

農(nóng)業(yè)是國(guó)民經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)，農(nóng)民問(wèn)題是“三農(nóng)”工作的重心。農(nóng)村人均純收入呈現(xiàn)持續(xù)增長(zhǎng)的同時(shí)，城鄉(xiāng)收入差距較大,影響和制約農(nóng)民收入增長(zhǎng)的因素仍然存在?；诖?，本文依據(jù)2000～2010年農(nóng)村人均純收入數(shù)據(jù)，運(yùn)用改進(jìn)的灰色馬爾科夫鏈模型對(duì)我國(guó)農(nóng)村人均純收入進(jìn)行預(yù)測(cè)。

灰色系統(tǒng)理論是鄧聚龍教授首次提出的，解決了學(xué)術(shù)界一直無(wú)人解決的微積分方程建模問(wèn)題。其研究對(duì)象是“部分信息已知，部分信息未知”的小樣本、貧信息的不確定性系統(tǒng)，具有建模過(guò)程簡(jiǎn)單，建模表達(dá)式簡(jiǎn)潔等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、生物、農(nóng)業(yè)、醫(yī)藥、水利等領(lǐng)域，但其模型有一定的缺陷，不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了一定程度的改進(jìn)，殘差GM（1，1）模型在實(shí)際應(yīng)用廣泛。本文在傳統(tǒng)GM（1，1）模型的基礎(chǔ)上采用變起點(diǎn)方法進(jìn)行改進(jìn)，建立了一個(gè)預(yù)測(cè)群，從預(yù)測(cè)群中挑選最優(yōu)的模型用于預(yù)測(cè)，這種方法一方面提高了預(yù)測(cè)精度和擬合程度，一方面增強(qiáng)了預(yù)測(cè)的可操作性和實(shí)用性。

二、變起點(diǎn)GM（1，1）模型

在實(shí)際預(yù)測(cè)建模中，不一定用原始序列中全部的數(shù)據(jù)來(lái)建模。在原始序列中有規(guī)律挑選一部分?jǐn)?shù)據(jù)（數(shù)據(jù)至少為4個(gè)），就可建立一個(gè)模型。為了提高傳統(tǒng)GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)精度和擬合程度，建模數(shù)據(jù)中應(yīng)為包含x（0）在內(nèi)的一個(gè)等時(shí)距序列，基于這種思想，以x（0）為建模取值的終點(diǎn)，從后往前不斷取值，可以建立一個(gè)預(yù)測(cè)模型群，從預(yù)測(cè)模型群中挑選最優(yōu)的模型用于以后的預(yù)測(cè)，其建模和求解如下：

（1）給定原始時(shí)間序列x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），其中n為原始數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；

（2）用x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））建立的GM（1，1）模型為全部數(shù)據(jù)模型；用 x（0）=（x（0）（i），x（0）（i+1），…，x（0）（n））（i叟2）建立的GM（1，1）模型為部分?jǐn)?shù)據(jù)模型；

（3）由于最短時(shí)間序列中數(shù)據(jù)至少為4個(gè)，于是可建立一個(gè)4維子序列：（x（0）（n-3），x（0）（n-2），x（0）（n-1），x（0）（n）），依次往下，最后可建立一個(gè)n維子序列（即原時(shí)間序列），總共可建立n-3個(gè)子序列；

（4）對(duì)各子序列按傳統(tǒng)GM（1，1）模型方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，并進(jìn)行精度檢驗(yàn)和擬合度檢驗(yàn)，從模型群中挑選最優(yōu)的模型應(yīng)用于預(yù)測(cè)。

三、馬爾可夫鏈模型

從變起點(diǎn)GM（1，1）模型得到的預(yù)測(cè)結(jié)果，可通過(guò)馬爾可夫鏈方法對(duì)殘差進(jìn)行分類，精確估計(jì)每類情況可能出現(xiàn)的概率，得出由區(qū)間和概率組成的預(yù)測(cè)范圍，從而較大的增強(qiáng)了預(yù)測(cè)的可操作性，更有利于保證預(yù)測(cè)的可信性。

（一）馬爾可夫鏈與K步轉(zhuǎn)移概率矩陣定義

設(shè)隨機(jī)過(guò)程{x（i），i∈I}的狀態(tài)空間S為R中的可列集，對(duì)應(yīng)I中任意參數(shù)i1＜i2＜i3，以及使P{x（i1）=m1，x（i2）=m2，…，x（in-1）=mn-1}＞0成立的S中的任意狀態(tài) m1，m2，…，mn，均有P{x（in）=mn｜x（i1）=m1，x（i2）=m2，…，x（in-1）=mn-1}=P{x（in）=mn｜x（in-1）= mn-1}，則稱{x（i），i∈I}為馬爾可夫鏈，并記：I，j∈S，表示在時(shí)刻m系統(tǒng)處于狀態(tài)i條件下，在時(shí)刻m+k系統(tǒng)處于狀態(tài)j的概率，將依次排序，可得m×n階轉(zhuǎn)移概率矩陣：，該矩陣稱為馬爾可夫鏈的K步轉(zhuǎn)移概率矩陣，其中P（k）ij叟0

（二）劃分狀態(tài)，計(jì)算轉(zhuǎn)移概率

劃分狀態(tài)是將數(shù)據(jù)數(shù)列劃分成若干個(gè)大致均等的區(qū)間范圍，其中任一狀態(tài)區(qū)間Ei=[E1i，E2i]，其中i=1，2，…，n，式中E1i，E2i為狀態(tài)邊界。如果數(shù)據(jù)序列由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的次數(shù)共為mij次，狀態(tài)Ei出現(xiàn)的次數(shù)共為mi次，則可計(jì)算出此時(shí)的轉(zhuǎn)移概率

（三）根據(jù)轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行預(yù)測(cè)

根據(jù)狀態(tài)Ei，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，估計(jì)未來(lái)轉(zhuǎn)向狀態(tài)Ej的可能性，即若目前預(yù)測(cè)對(duì)象處于狀態(tài)就描述了目前狀態(tài)Ei在未來(lái)轉(zhuǎn)向狀態(tài)Ej的可能性，按最大概率原則，選擇Pij中最大者對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為預(yù)測(cè)結(jié)果，即當(dāng)Max={Pi1，Pi2，…，Pin}=Pij（i=1，2，…，n）時(shí)，可以預(yù)測(cè)下一步系統(tǒng)將轉(zhuǎn)向狀態(tài)Ej?；蚴侨糁涝摃r(shí)間所處的狀態(tài)向量為A（t）=（a1（t），a2（t），…，ai（t）），則時(shí)刻A（t+m）=A（t+m-1），根據(jù)A（t+m）可以為預(yù)測(cè)者提供預(yù)測(cè)依據(jù)。當(dāng)比較復(fù)雜或是要求精確結(jié)果時(shí)我們往往選用后一種計(jì)算方式。

四、灰色馬爾科夫鏈模型在我國(guó)農(nóng)村人均純收入預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

21世紀(jì)開(kāi)局以來(lái)，我國(guó)農(nóng)村人均純收入見(jiàn)下表，數(shù)據(jù)均來(lái)至于《全國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》。

表1 ：我國(guó)2000～2010年農(nóng)村人均純收入（單位：元）

（一）變起點(diǎn)GM（1，1）模型

由于n=11，首先可建立8個(gè)子序列；然后對(duì)各子序列按傳統(tǒng)GM（1，1）模型方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，得各模型對(duì)應(yīng)的離散響應(yīng)函數(shù)，計(jì)算平均相對(duì)誤差、后驗(yàn)差比值和小誤差頻率，計(jì)算結(jié)果均見(jiàn)表2；最后對(duì)各子模型進(jìn)行精度比較和擬合程度比較，選擇8維子序列作為預(yù)測(cè)模型。

（二）改進(jìn)的灰色馬爾科夫鏈模型

首先，將8維子序列的殘差劃分為5種狀態(tài)：狀態(tài)1：呈明顯高估狀態(tài)，即差額與實(shí)際值的比例低于-5%；狀態(tài)2：呈高估狀態(tài)，即差額與實(shí)際值的比例在-5%到-2%之間；狀態(tài)3：較為準(zhǔn)確，即差額與實(shí)際值的比例的絕對(duì)值在2%以內(nèi)；狀態(tài)4：呈低估狀態(tài)，即差額與實(shí)際值的比例在2%到5%之間；狀態(tài)5：呈明顯低估狀態(tài)，即差額與實(shí)際值的比例超過(guò)5%。

其次，計(jì)算我國(guó)農(nóng)村人均純收入年?duì)顟B(tài)表，得到轉(zhuǎn)移概率矩陣。由于狀態(tài)1與狀態(tài)5沒(méi)有出現(xiàn)，可將55階轉(zhuǎn)移概率矩陣簡(jiǎn)化為33階轉(zhuǎn)移概率矩陣，得最后，根據(jù)轉(zhuǎn)移概率矩陣求出相應(yīng)的狀態(tài)向量，并進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而得到由區(qū)間和概率組成的預(yù)測(cè)范圍。

五、結(jié)論

本文采用變起點(diǎn)對(duì)傳統(tǒng)GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)，建立一個(gè)預(yù)測(cè)模型群，從預(yù)測(cè)模型群中結(jié)合精度要求和擬合程度要求挑選了最優(yōu)的8維子序列作為后續(xù)的預(yù)測(cè)模型，然后在此基礎(chǔ)上將8維子序列的殘差分為了5類，計(jì)算了相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣，從而得到由區(qū)間和概率組成的預(yù)測(cè)范圍。這種方法既提高了預(yù)測(cè)精度和擬合程度，又增強(qiáng)了預(yù)測(cè)的可操作性和實(shí)用性。

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