劉 易，任學(xué)敏

（同濟(jì)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，上海 200092）

隨著全球經(jīng)濟(jì)一體化的進(jìn)程，各國(guó)貨幣的兌換變得更為便捷.本國(guó)公司在貸款時(shí)，可根據(jù)實(shí)際情況或需求在本幣貸款和外幣貸款中進(jìn)行選擇.前者是直接借入本幣，在貸款到期日按本幣還款；而后者是公司借入外幣，將其兌換成本幣用于投資經(jīng)營(yíng)，在貸款到期日兌換回外幣用以還款.當(dāng)外幣的利率低于本幣，且貨幣可自由兌換時(shí)，公司通常會(huì)采用外幣貸款來(lái)降低貸款成本.如在東南亞金融危機(jī)前泰國(guó)實(shí)行盯住美元的匯率制度，因而當(dāng)美元由貶值轉(zhuǎn)向升值時(shí)，泰銖相應(yīng)升值.泰國(guó)央行被迫不斷提高利率，本幣貸款成本上升，大量泰國(guó)公司尋求外幣貸款以降低融資成本，且由于盯住制度（金融實(shí)務(wù)中又稱佩齊制）屏蔽了匯率風(fēng)險(xiǎn)，而使得外幣貸款備受追捧.然而危機(jī)爆發(fā)后，泰國(guó)政府宣布放棄盯住制度，泰銖的大幅度貶值使得公司資產(chǎn)兌換成外幣后資產(chǎn)價(jià)值急劇下降，公司無(wú)力償還外幣貸款額，造成資不抵債而違約.由此可見(jiàn)，當(dāng)外國(guó)利率較低時(shí)，本國(guó)公司采用外幣貸款在降低公司的貸款成本的同時(shí)，可能的匯率風(fēng)險(xiǎn)也增加了公司潛在的風(fēng)險(xiǎn).本文試圖在此情況下，對(duì)公司本、外幣貸款時(shí)公司違約概率和貸款價(jià)值建立相應(yīng)的模型.匯率和公司資產(chǎn)值相關(guān)性分析表明，當(dāng)兩者存在正相關(guān)或負(fù)相關(guān)程度較小時(shí)，公司采用外幣貸款時(shí)公司違約概率相對(duì)較大；反之當(dāng)兩者負(fù)相關(guān)程度較大時(shí)，采用外幣貸款的違約概率反而相對(duì)較小.因而從違約概率的角度出發(fā)，給出公司選擇本、外幣貸款的一個(gè)基本標(biāo)準(zhǔn)，即當(dāng)某外國(guó)的利率較低，且兩國(guó)匯率與本國(guó)公司資產(chǎn)存在負(fù)相關(guān)程度較大時(shí)，本國(guó)公司采用外幣貸款要優(yōu)于本幣貸款.

對(duì)公司貸款的定價(jià)主要有兩種方法：約化方法和結(jié)構(gòu)化方法.在約化方法中，違約時(shí)間是由一個(gè)外生的跳過(guò)程來(lái)刻畫的，用Poisson過(guò)程來(lái)描述，如Jarrow and Turnbull［1］，Duffie and Singleton等［2］.結(jié)構(gòu)化方法是以期權(quán)定價(jià)理論為基礎(chǔ)的，Merton［3］通過(guò)公司的資本和負(fù)債的變動(dòng)過(guò)程來(lái)刻畫違約.Black ＆Cox［4］對(duì)其進(jìn)行推廣提出了首次通過(guò)模型，當(dāng)公司資產(chǎn)值下降到事先約定的違約邊界時(shí)發(fā)生違約.Zhou［5］引入了跳擴(kuò)散過(guò)程，使得即使臨近到期日公司也可能由其資產(chǎn)的大幅下降而造成違約.

本文采用結(jié)構(gòu)化模型中的首次通過(guò)模型，假設(shè)公司除此份本幣或外幣貸款外無(wú)其他債務(wù).對(duì)于本幣貸款，公司的違約邊界如Black ＆Cox［4］所示，采用公司本幣的負(fù)債值的貼現(xiàn)來(lái)刻畫，一旦公司資產(chǎn)首次觸及違約邊界，公司即因資不抵債而違約.而對(duì)于外幣貸款，由于公司在貸款到期日需以外幣還款，因而違約邊界為外幣還款額的貼現(xiàn).當(dāng)公司資產(chǎn)兌換成外幣后的資產(chǎn)價(jià)值小于違約邊界時(shí)，公司因資不抵債而違約.當(dāng)公司違約時(shí)，貸款者只能回收得到部分的貸款還款額；反之，則在貸款到期日收到全部的貸款還款額.文中對(duì)上述情形分別給出了相應(yīng)的偏微分方程定解問(wèn)題，通過(guò)求解得到定價(jià)公式并對(duì)公司違約概率和貸款價(jià)值進(jìn)行比較.分析了借款公司的資產(chǎn)與匯率之間的相關(guān)性對(duì)公司違約概率和貸款價(jià)值的影響，從公司違約概率的角度出發(fā)，給出了公司選擇本、外幣貸款的一個(gè)基本標(biāo)準(zhǔn).

1 模型的基本假設(shè)

假設(shè)1（匯率） 設(shè)St為本幣兌外幣匯率，服從下列隨機(jī)微分方程：

式中：常數(shù)r，rF和σ1分別為本幣無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、外幣無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和匯率的波動(dòng)率；（W1）tt≥0為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

假設(shè)2（公司） 設(shè)貸款公司的資產(chǎn)Vt（以本幣計(jì)），服從下列隨機(jī)微分方程：

式中：常數(shù)σ2為公司資產(chǎn)的波動(dòng)率；（W2t）t≥0為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，且與（W1t）t≥0相關(guān)，即 Cov（dW1t，dW2t）＝ρdt

設(shè)貸款公司違約后的回收率為常數(shù)R，0≤R＜1.

假設(shè)3（貸款） 分別考慮公司以本幣貸款和外幣貸款的情況，公司除此之外不存在其他債務(wù).設(shè)兩者的到期日均為T，且以本幣計(jì)時(shí)，初始時(shí)刻的貸款額均為F.

（1）本幣貸款：本國(guó)公司在時(shí)刻0借入本幣F，在時(shí)刻T償還貸款，本幣還款額為FerT.若公司在貸款到期日之前違約，違約時(shí)刻貸款的回收值為部分到期本幣還款額，反之貸款的價(jià)值為全部到期本幣還款額.

（2）外幣貸款：本國(guó)公司在時(shí)刻0借入外幣FS0，在時(shí)刻T償還貸款，外幣還款額為FS0erFT.若公司在貸款到期日之前違約，違約時(shí)刻貸款的回收值為部分到期外幣還款額，反之貸款的價(jià)值為全部到期外幣還款額.

設(shè)U （X，S，t）和U1（X ，t）分別為t時(shí)刻以外幣計(jì)的外幣貸款價(jià)值和以本幣計(jì)的本幣貸款價(jià)值；以外幣和本幣貸款時(shí)，公司的違約概率分別為P （X，S，t）和P1（X ，t）.

假設(shè)4（公司違約） 設(shè)τ為公司采用外幣貸款情況下公司的違約時(shí)刻，采用結(jié)構(gòu)化模型中的首次通過(guò)模型來(lái)刻畫違約，公司資產(chǎn)需兌換成外幣用于還款，則違約時(shí)刻分別為

這里b1t為公司采用外幣貸款時(shí)的違約邊界，采用與Black ＆Cox［4］中對(duì)違約邊界的假設(shè)，設(shè)為公司負(fù)債值的貼現(xiàn)，即b1t＝FS0erFTe-rF（T-t）＝FS0erFt.

設(shè)τ2為公司采用本幣貸款情況下公司的違約時(shí)刻，則違約時(shí)刻分別為

這里b2t為公司采用本幣貸款時(shí)的違約邊界，設(shè)為公司本幣還款額的貼現(xiàn)值，即b2t＝Fert.

2 模型的建立

2.1 公司違約概率的數(shù)學(xué)模型

在按外幣貸款時(shí)，t時(shí)刻公司的違約概率滿足如下表達(dá)式：

P （X ，t）是以下終邊值問(wèn)題在區(qū)域｛ln b1t≤X＜∞，0＜t≤T｝上的解［6］.

公司采用外幣貸款時(shí)，t時(shí)刻公司的違約概率為P （V，S，t）有如下形式的顯示解：

式中：N（·）為正態(tài)分布累積函數(shù).

作奇開(kāi)拓，并由 Poisson公式［7］得

代回原來(lái)的變量即可得式（8）.

同理可得，采用本幣貸款時(shí)，t時(shí)刻公司的違約概率為Q2（X ，t）有如下形式的顯示解：

2.2 本、外幣貸款價(jià)值的數(shù)學(xué)模型

為給出公司采用外幣貸款時(shí)貸款的現(xiàn)金流，根據(jù)借款公司資產(chǎn)的不同情況，對(duì)貸款的價(jià)值進(jìn)行分析.從貸款者的角度，有：

（1）當(dāng)借款公司資產(chǎn)兌換成外幣后的價(jià)值大于外幣到期還款額的貼現(xiàn)，即＞b1t時(shí)，則t時(shí)刻貸款的價(jià)值為外幣到期還款額的貼現(xiàn)，即FS0erFt.

（2）當(dāng)借款公司資產(chǎn)兌換成外幣后的價(jià)值不大于外幣到期還款額的貼現(xiàn)，即≤b1t時(shí)，借款公司因資不抵債而違約，則t時(shí)刻貸款的價(jià)值為部分外幣到期還款額的貼現(xiàn)，即RFS0erFt.

綜合上述所有情況，t時(shí)刻貸款的價(jià)值為

由Feynman-Kac公式，外幣貸款的價(jià)值（17）滿足如下偏微分方程終邊值問(wèn)題：

t時(shí)刻貸款價(jià)值的解析表達(dá)式如下：

針對(duì)劇本有集中尖銳的矛盾沖突，對(duì)話性格化，適于舞臺(tái)演出的特點(diǎn)，結(jié)合高年段學(xué)生的學(xué)情，可以采取這樣的教學(xué)策略：發(fā)現(xiàn)劇本秘密——剖析矛盾沖突——品析人物性格——嘗試表演劇本。如果分兩課時(shí)進(jìn)行的話，第一課時(shí)側(cè)重研、讀、品，第二課時(shí)側(cè)重于演、評(píng)、議。

作奇開(kāi)拓，并由 Poisson公式［7］得

代回原來(lái)的變量即可得式（19）.

相應(yīng)地可得以本幣計(jì)的本幣貸款的貸款價(jià)值如下：

3 數(shù)值計(jì)算及分析

計(jì)算得到數(shù)值結(jié)果包含：

（1）公司以本、外幣貸款時(shí)，違約概率的比較.

（2）公司以本、外幣貸款時(shí)，貸款價(jià)格的比較.

（3）公司以外幣貸款時(shí)，資產(chǎn)與匯率的相關(guān)性對(duì)公司違約概率的影響.

（4）公司以外幣貸款時(shí)，匯率對(duì)公司違約概率和貸款價(jià)值的影響.

本文的主要目的是通過(guò)比較本、外幣貸款情況下公司的違約概率，給出選擇本、外幣貸款時(shí)的基本標(biāo)準(zhǔn)，并分析匯率與貸款公司相關(guān)性對(duì)于外幣貸款的影響.為了能對(duì)初始時(shí)刻本、外幣貸款的價(jià)值進(jìn)行比較，設(shè)初始時(shí)刻的匯率S0＝1.選取的數(shù)據(jù)如下：

圖1為公司分別采用本、外幣貸款時(shí)，違約概率的比較.通過(guò)觀察可知，公司違約概率均隨時(shí)間的上升而上升.這是因?yàn)?，時(shí)間越長(zhǎng)，公司違約的可能性越大.當(dāng)匯率與公司資產(chǎn)呈正相關(guān)時(shí)，外幣貸款時(shí)公司違約概率高于本幣貸款時(shí)公司違約概率.這是因?yàn)樵谝酝鈳刨J款時(shí)，公司不僅存在著自身資產(chǎn)變動(dòng)的影響，同時(shí)面臨著匯率的風(fēng)險(xiǎn)，兩者的同向變化會(huì)加大貸款違約的可能性.

圖1 本、外幣貸款時(shí)公司違約概率的比較Fig.1 The comparison between default probability for domestic and foreign currency loan

圖2為公司分別采用本、外幣貸款時(shí)，貸款在初始時(shí)刻價(jià)值的比較.可以看到，貸款價(jià)值均隨時(shí)間的上升而下降.這是因?yàn)?，時(shí)間越長(zhǎng)，則公司違約的可能性越大，貸款的風(fēng)險(xiǎn)越大價(jià)值越低.且當(dāng)匯率與公司資產(chǎn)呈正相關(guān)時(shí)，外幣貸款時(shí)貸款價(jià)值低于本幣貸款時(shí)貸款價(jià)值.這是因?yàn)?，在以外幣貸款時(shí)，公司不僅存在著自身資產(chǎn)變動(dòng)的影響，同時(shí)面臨著匯率的風(fēng)險(xiǎn)，因而貸款價(jià)值小于本幣貸款時(shí)貸款價(jià)值.

圖2 本、外幣貸款時(shí)貸款價(jià)值的比較Fig.2 The comparison of loan value between the domestic and the foreign currency loan

圖3為公司以外幣貸款時(shí)，資產(chǎn)與匯率的相關(guān)性對(duì)公司違約概率的影響.可以看到，隨著借款者公司資產(chǎn)與匯率相關(guān)性的下降，公司的違約概率下降.當(dāng)兩者具有較大負(fù)相關(guān)性時(shí)，公司采用外幣借款時(shí)的違約概率要小于本幣借款時(shí)的違約概率.這是因?yàn)?，?dāng)公司資產(chǎn)與匯率為正相關(guān)時(shí)，兩者同向的變化可能導(dǎo)致資產(chǎn)兌換成外幣后的價(jià)值更低，使得公司違約的可能性更大.且隨著相關(guān)性的下降，兩者同向變化的可能性下降，因而公司違約概率下降.反之，當(dāng)兩者為負(fù)相關(guān)時(shí)，盡管公司資產(chǎn)下降，但匯率上升的可能性增加，使得資產(chǎn)兌換成外幣后的價(jià)值上升，反而使得公司違約概率下降.且隨著負(fù)相關(guān)程度的上升，這種負(fù)相關(guān)對(duì)公司違約概率的下降的影響更顯著，特別當(dāng)負(fù)相關(guān)程度較大時(shí)，公司外幣貸款時(shí)的違約概率將小于本幣貸款時(shí)的違約概率.所以認(rèn)為本國(guó)公司在選擇貸款者時(shí)，通常情況下采用本幣貸款可以規(guī)避匯率的風(fēng)險(xiǎn).但當(dāng)某外國(guó)的利率較低，且兩國(guó)匯率與本國(guó)公司資產(chǎn)存在負(fù)相關(guān)程度較大的外國(guó)貸款者，則此時(shí)采用外幣貸款要優(yōu)于本幣貸款.

圖3 資產(chǎn)和匯率相關(guān)性對(duì)外幣貸款時(shí)公司違約概率的影響Fig.3 The impact of correlation between firm asset and exchange rate on default probability

圖4 公司違約概率和貸款價(jià)值與匯率的關(guān)系Fig.4 The relationship among exchange rate，default probability and the value of the loan

圖4為公司以外幣貸款時(shí)，公司違約概率以及貸款價(jià)值與匯率的關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn)，隨著匯率的上升，公司違約概率下降，且貸款的價(jià)值上升.這是因?yàn)?，外幣隨著匯率的上升而相應(yīng)地貶值，公司采用外幣貸款的貸款成本下降，則其違約概率下降，外幣貸款的價(jià)值上升.

4 結(jié)論

針對(duì)本、外幣貸款，分別建立了公司違約概率和貸款價(jià)值模型，并給出了顯示解.通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，公司本、外幣貸款時(shí)公司的違約概率和貸款價(jià)值的相對(duì)大小依賴于公司資產(chǎn)和匯率相關(guān)性.當(dāng)兩者存在正相關(guān)或負(fù)相關(guān)程度較小時(shí)，公司采用外幣貸款時(shí)的違約概率相對(duì)較大；當(dāng)兩者負(fù)相關(guān)程度較大時(shí)，采用外幣貸款的違約概率相對(duì)較小.因而以公司違約概率為衡量本、外幣貸款的標(biāo)準(zhǔn)之一，認(rèn)為當(dāng)某外國(guó)的利率較低，且兩國(guó)匯率與本國(guó)公司資產(chǎn)存在負(fù)相關(guān)程度較大時(shí)，從違約概率的角度出發(fā)，本國(guó)公司采用外幣貸款要優(yōu)于本幣貸款，公司可結(jié)合自身情況和需求進(jìn)行選擇.

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