盛 濤，施衛(wèi)星，謝異同

（1.同濟(jì)大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海 200092；2.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，陜西 西安 710055）

20世紀(jì)90年代，隨著兩水準(zhǔn)速度評價法的成熟，日本建筑界將能量分析方法與速度評價法相結(jié)合，提出了基于能量平衡的建筑結(jié)構(gòu)抗震、減震設(shè)計方法［1－4］.該方法給出了罕遇地震下的水平向和豎向能量反應(yīng)譜以及對應(yīng)的峰值速度，同時也規(guī)定時程反應(yīng)分析用的地震波應(yīng)是擬合了設(shè)計用偽加速度反應(yīng)譜或能量反應(yīng)譜的實際地震動記錄或人工波［2］.

國內(nèi)外學(xué)者對上述地震波的制作方法展開了大量研究.趙鳳新等［5］在應(yīng)用三角函數(shù)模擬地震波的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)了對偽加速度反應(yīng)譜及峰值速度的擬合.Hancock等［6］對已有地震動記錄疊加小波函數(shù)，實現(xiàn)了對偽加速度反應(yīng)譜及峰值加速度的擬合.Iyama［7－8］在推導(dǎo)了地震動的小波系數(shù)與傅里葉幅值譜定量關(guān)系的基礎(chǔ)上，給出了擬合能量反應(yīng)譜的人造地震動合成方法，但實際上不具有真實地震動的頻率非平穩(wěn)特性［9］，且不能同時擬合峰值速度.Yazdani［10］基于離散小波變換原理對相近特性的實測地震動記錄應(yīng)用Mallat算法分解后進(jìn)行組合，擬合平均化的非線性反應(yīng)譜及地震動的總輸入能量，但沒有給出相關(guān)峰值的調(diào)整方式.

為了將能量平衡原理準(zhǔn)確應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)多維地震作用下的動力反應(yīng)分析，本文首先基于時域疊加小波函數(shù)法對多維地震動記錄進(jìn)行初步調(diào)整，指出其存在的局限性；然后應(yīng)用小波分析方法模擬上述調(diào)整后的多維地震動場，通過調(diào)整特定頻率段小波系數(shù)實現(xiàn)對多維設(shè)計用能量反應(yīng)譜及各向峰值速度的同時擬合；該方法不僅保留了正確實測地震記錄的強(qiáng)度、頻率非平穩(wěn)特性，且彌補(bǔ)了傳統(tǒng)地震動調(diào)整方法應(yīng)用于能量反應(yīng)譜時的不足.

1 設(shè)計用多維能量反應(yīng)譜

基于能量平衡的建筑結(jié)構(gòu)抗震、減震設(shè)計方法，采用單自由度體系在10%阻尼比條件下的相對輸入能量換算值VE作為設(shè)計用能量反應(yīng)譜［1－3，11－12］.

VE的計算表達(dá)式如下：

式中：x為結(jié)構(gòu)體系相對地面運(yùn)動的位移；x·為相對速度；為地震動加速度時程；M 為結(jié)構(gòu)體系的質(zhì)量.

秋山宏根據(jù)一維波動理論提出了四類場地條件下的設(shè)計用能量反應(yīng)譜［1－3］；其仍采用速度評價法中的雙線型形式，且保留了罕遇地震時水平向峰值速度為0.50m·s－1的規(guī)定；同時通過大量統(tǒng)計分析指出豎向地震動的峰值速度約為水平向的1／2～2／3，本文取值為0.25m·s－1.

Benavent－Climent則根據(jù)震級的大小分析了設(shè)計用能量反應(yīng)譜VE與偽速度譜SV（T）之間的多種近似轉(zhuǎn)換關(guān)系［11－12］，其中罕遇地震下的常用表達(dá)式如下：

式中：SA（T）為結(jié)構(gòu)的偽加速度反應(yīng)譜，T為結(jié)構(gòu)自振周期；h為阻尼比.

2 已有時域校正法及其局限性

時域疊加小波函數(shù)法最早由Lilhanand和Tseng提出［13］，后來經(jīng)過 Hancock等人［6］的一系列改進(jìn)，使其成為了一種高效的地震動校正方法.該方法基于Duhamel積分原理，在時域內(nèi)直接修改原始地震動記錄，通過循環(huán)調(diào)整使其和目標(biāo)反應(yīng)譜及峰值加速度兼容.

盡管應(yīng)用時域疊加小波函數(shù)法擬合偽加速度譜時具有很高的精度，但是當(dāng)應(yīng)用于能量反應(yīng)譜時，由于兩者之間為近似轉(zhuǎn)換關(guān)系，收斂性無法控制，且不能同時擬合峰值速度.

3 小波函數(shù)模擬多維地震動場原理

本文應(yīng)用崔錦泰建立的二階基數(shù)B－樣條小波函數(shù)模擬多維地震動場，主要是考慮到該離散小波基的對稱性、緊支撐性和線性相位特性適合處理地震動這類非平穩(wěn)的能量有限信號.

首先使用二階基數(shù)B－樣條函數(shù)N2（t）作為尺度函數(shù)，構(gòu)造相應(yīng)的基數(shù)B－樣條小波函數(shù)ψ2（t），由 ｛2j／2ψ2（2jt －k），k∈Z｝ 線性張成尺度為j的小波空間Wj，根據(jù)多分辨分析的定義，Vj與Wj－1有如下關(guān)系：

式中：l為Vj分解的層數(shù).基于上述原理，j尺度下的多維地震動加速度時程an（t）（n＝1，2，3）具有如下唯一分解：

式中：gm（t）為第m 層的高頻成分；al（t）為第l層的低頻成分，其表達(dá)式為

式（5），（6）中：cl，dm分別為第l層、第m 層小波系數(shù)的集合；k為在時間軸上的移動尺度.

通過上述表達(dá)式即可實現(xiàn)將an（t）（n＝1，2，3）在時域和頻域同時展開的目的；通過引入雙尺度方程系數(shù)｛pk｝，｛qk｝可實現(xiàn)上述變換的逆過程［14］，即二階基數(shù)B－樣條小波變換的重構(gòu)算法.

4 調(diào)整方法及步驟

首先根據(jù)擬建場地，選擇一組與設(shè)計基準(zhǔn)期內(nèi)可能發(fā)生的地震震級、震中距等因素相近的兩水平向及豎向?qū)崪y地震動記錄an（t ）（n＝1，2，3） ，應(yīng)用時域積分及最小二乘法得到去除趨勢項后的速度時程vn（t ）（n ＝1，2，3），然后按目標(biāo)峰值速度作標(biāo)準(zhǔn)化處理［1－2］.

擬合設(shè)計用多維能量反應(yīng)譜及峰值速度的具體步驟如下：

（1）應(yīng)用近似轉(zhuǎn)換關(guān)系式（2）將設(shè)計用多維能量反應(yīng)譜VE（T）轉(zhuǎn)換為偽加速度反應(yīng)譜SA（T）作為目標(biāo)反應(yīng)譜，水平向和豎直向的目標(biāo)峰值速度分別取值為0.50m·s－1和0.25m·s－1.

（2）應(yīng)用時域疊加正、余弦小波函數(shù)法調(diào)整地震動記錄an（t）擬合目標(biāo)反應(yīng)譜，調(diào)整過程中無需控制峰值加速度，調(diào)整后的加速度時程記為（t）；應(yīng)用式（1）求出（t）的能量反應(yīng)譜（T）.

（3）根據(jù)能量反應(yīng)譜VE（T）的頻率下限，應(yīng)用二階基數(shù)B－樣條小波函數(shù)將（t）根據(jù)式（4）～（6）分解l層

式中：Tm1和Tm2分別為第m層小波分量所屬頻帶區(qū)間的初始周期值和結(jié)束周期值.

（6）將乘以調(diào)幅系數(shù)后的小波分量重構(gòu)，得到具有特定速度峰值的加速度時程（t）；由于影響地震動速度峰值的小波分量對能量反應(yīng)譜具有一定程度的影響，因此循環(huán)第4～6步，直到對設(shè)計用能量反應(yīng)譜及峰值速度的擬合均控制在所需精度范圍內(nèi)為止（例如10%）.

由于時域疊加小波函數(shù)法本身就是基于能量改變最小原則［6］，而調(diào)整小波系數(shù)的過程對相位角也幾乎不會產(chǎn)生影響，因此該方法對地震波在時域上的能量分布改變也將較小.

考慮到上述方法多次用到積分及循環(huán)運(yùn)算，筆者采用了C語言與MATLAB混合編程的方式實現(xiàn)了程序的編制與調(diào)試工作，極大提高了計算效率.

5 算例分析

為評估某核反應(yīng)堆建筑多維地震作用下的安全性，本文根據(jù)擬建場地的地震危險性分析及其設(shè)計地震分組等資料，選取1999年臺灣7.2級集集地震中CHY034臺站記錄到的東西向、南北向和豎向加速度時程作為范例（采樣頻率為250Hz），擬合Ⅱ類場地條件、罕遇地震時的設(shè)計用多維能量反應(yīng)譜及峰值速度.

峰值速度標(biāo)準(zhǔn)化后的三向加速度時程如圖1所示；按第3步擬合能量反應(yīng)譜VE前后的速度時程如圖2所示；調(diào)整前后的能量反應(yīng)譜如圖3，4所示；峰值速度及能量反應(yīng)譜的相對誤差見表1.

表1 第3步調(diào)整前后的峰值速度相對誤差及VE相對誤差Tab.1 The relative errors of PGV and VEafter modification by step 3

由表1及圖4可知，僅應(yīng)用時域疊加小波函數(shù)法難以達(dá)到設(shè)計精度要求，且無法控制峰值速度.

表2 東西向各小波分量所屬頻帶范圍及峰值速度、對應(yīng)的時刻Tab.2 The frequency range values of PGV and corresponding moment of different wavelets in the horizontal direction

循環(huán)執(zhí)行第4～6步兩次后，能量反應(yīng)譜的最大相對誤差為7.13%，峰值速度則為0.52m·s－1，均控制在10%以內(nèi).

南北向和豎向地震動能量譜的最大相對誤差則分別為7.17%及9.36%，峰值速度則分別為0.52 m·s－1和0.25m·s－1，均符合設(shè)計精度要求.

按上述步驟調(diào)整后的速度時程、加速度時程及能量反應(yīng)譜分別如圖5～7所示.與圖1，2比較分析可知，本文方法較好地保留了原多維地震動場的局部時頻特性.

為了驗證本文方法對地震動能量分布的影響，繪 制調(diào)整前后的阿里亞斯強(qiáng)度IA［6，10，15］分布曲線，如圖8所示（為了便于對比，圖8僅給出南北分量和豎向分量）；由圖可見豎向分量基本沒有變化，而南北向在11～13s及24～26s之間有較大變化，其余部分與實測地震動記錄符合較好；東西向的分布也基本符合上述趨勢，這與時域疊加小波函數(shù)法的能量改變最小原則相適應(yīng)；但豎向地震動的調(diào)整效果要明顯優(yōu)于水平向，其與地震動的頻譜、幅值等特性之間的經(jīng)驗關(guān)系還有待進(jìn)一步展開研究.

圖8 本文方法調(diào)整前后的阿里亞斯強(qiáng)度分布Fig.8 The values of Arias Intensity pre－and postmodification by the proposed method

6 結(jié)論

本文基于小波變換原理提出了一種以多維能量反應(yīng)譜及各向峰值速度為目標(biāo)的地震動調(diào)整方法.該方法應(yīng)用基數(shù)B－樣條小波函數(shù)模擬實際多維地震動場，對已有的時域疊加小波函數(shù)法作出改進(jìn)，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)的地震動調(diào)整方法應(yīng)用于能量反應(yīng)譜時，在收斂性及擬合峰值速度方面的不足.算例分析結(jié)果表明，該方法能較好地保留原多維地震動場的局部時頻特性，對原地震動記錄的能量分布改變較小.

當(dāng)采用其他符合場地條件的不同實測地震動記錄時，按本文方法可得到多組時頻特性不同，但與多維能量反應(yīng)譜及各向峰值速度相兼容的地震動時程曲線.但應(yīng)該看到，由于地震動各分量之間的關(guān)系較為復(fù)雜，本文方法的廣泛應(yīng)用還有待于多維地震動相關(guān)性理論的進(jìn)一步完善.

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