時統(tǒng)業(yè)， 謝 井， 李 鼎

（海軍指揮學院浦口分院，江蘇南京 211800）

論泰勒中值定理“中間點”的性質(zhì)

時統(tǒng)業(yè)， 謝 井， 李 鼎

（海軍指揮學院浦口分院，江蘇南京 211800）

研究泰勒中值定理“中間點”的單調(diào)性、連續(xù)性及可導性.

泰勒中值定理；中間點；單調(diào)；連續(xù)；導數(shù)

1 前 言

文［1］研究了拉格朗日中值定理“中間點”ξ的單調(diào)性、連續(xù)性及可導性問題.本文利用文［1］的方法，研究泰勒中值定理“中間點”ξ的單調(diào)性、連續(xù)性及可導性問題，推廣了文［1］的部分結(jié)果.

2 引 理

引理1（拉格朗日中值定理） 設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，則對任意x∈（a，b］，至少存在一點ξ∈（a，x），使

引理2（泰勒中值定理） 設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上有直到n＋1階導數(shù)，則對任意x∈（a，b］，至少存在一點ξ∈（a，x），使

定義1對于在［a，b］上有直到k階導數(shù)的函數(shù)h（x），記關(guān)于x的一元函數(shù)（k僅看作參數(shù)）

由（2）式得

n

引理3對任意正整數(shù)k，有

引理4設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上有直到n＋1階導數(shù)，記

證 （i）l＝0時，由定義，（i）顯然成立.假設(shè)對某個自然數(shù)l＝m：0≤m≤n－2，有

對上式關(guān)于x求導并利用引理3，得

（ii）由定義1和結(jié)論（i）容易得證.

引理5［1］設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，且f′（x）在（a，b）內(nèi)嚴格單調(diào)，那么

（i）滿足（1）式的ξ是x的單值函數(shù)，記為ξ＝ξ（x）；

（ii）滿足（1）式的點ξ＝ξ（x）是x的單調(diào)增加的函數(shù).

引理6［1］設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)二階可導，且二階導數(shù)在（a，b）內(nèi)保號（恒正或恒負），則

（i）滿足（1）式的點ξ＝ξ（x）是x的連續(xù)函數(shù)；

（ii）滿足（1）式的點ξ＝ξ（x）是x的可導函數(shù)，其導數(shù)為

3 結(jié) 論

定理1設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上有直到n＋1階導數(shù)，且f（n＋1）（x）在（a，b）內(nèi)嚴格單調(diào)，則

（i）滿足（2）式的點ξ是x的單值函數(shù)，記為ξ＝ξ（x）；

（ii）滿足（2）式的點ξ是x單調(diào)增加的函數(shù).

證 結(jié)論（i）可由f（n＋1）（x）的單調(diào)性立得.下面證明結(jié)論（ii）.當n＝0時，由引理5知結(jié)論成立.當n≥1時，不妨假設(shè)f（n＋1）（x）在（a，b）內(nèi)嚴格單調(diào)增加，f（n＋1）（x）嚴格單調(diào)減少時類似可證.設(shè)

如果證得g（x）單調(diào)增加，則對于任意x1，x2∈（a，b］，就有g(shù)（x1）＜g（x2），由（3）式即有f（n＋1）（ξ（x1））＜f（n＋1）（ξ（x2））.由于f（n＋1）（x）在（a，b）內(nèi)嚴格單調(diào)增加，故ξ（x1）＜ξ（x2）.

為了證明g（x）單調(diào)增加，只要證明g′（x）＞0.

其中σ∈（a，x），從而g′（x）＞0，結(jié)論（ii）得證.

定理2設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上有直到n＋2階連續(xù)導數(shù)，且f（n＋2）（x）在（a，b）內(nèi)不變號，函數(shù)ξ＝ξ（x）滿足（2）式，則

［1］劉龍章，戴立輝，楊志輝.再論微分中值定理“中間點”的性質(zhì)［J］.大學數(shù)學，2007，23（4）：163－165.

［2］同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學（上冊）［M］.4版.北京：高等教育出版社，1996：173－174.

［3］裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法［M］.北京：高等教育出版社，2007：229－230.

Disscussion of the Properties of the Intermediate Point in Taylor Mean－Value Theorem

SHITong－ye，XIEJing，LIDing
（Pukou Institute of Naval Command College，Nanjing 211800，China）

We give properties of the intermediate point in Taylor mean－value theorem，such as monotony，continuous，derivative.

Taylor mean－value theorem；intermediate point；monotony；continuous；derivative

O172.1

C

1672－1454（2012）04－0120－04

2010－09－03