程海來(lái)

（合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230009）

關(guān)于一道考研數(shù)學(xué)試題

程海來(lái)

（合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230009）

針對(duì)2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試的一道試題，從問(wèn)題的多種解法，問(wèn)題的推廣，相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用等多個(gè)方位進(jìn)行了討論，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)散思維的過(guò)程.

函數(shù)不等式；一題多解；應(yīng)用及推廣；考研試題

2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)（一）、（二）有這樣一道試題：

這道試題是一道陳題，不少教材或參考書(shū)均可找到，例如［1－3］.本文將圍繞這道試題談幾個(gè)相關(guān)問(wèn)題：試題的多種解法、問(wèn)題的推廣、數(shù)列｛an｝的收斂速度及相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用.這些內(nèi)容展現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)散思維的一個(gè)過(guò)程，在教學(xué)中若能給學(xué)生講授這一典型案例，這對(duì)開(kāi)拓學(xué)生的視野，引導(dǎo)學(xué)生不斷探索，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)應(yīng)該是大有益處的.

1 問(wèn)題（Ⅱ）的多種解法

這道試題的主要目的是證明（Ⅱ），而問(wèn)題（Ⅰ）是為了證明（Ⅱ）所設(shè)的臺(tái)階，所以我們重點(diǎn)討論（Ⅱ）的不同解法.

解法1利用拉格朗日中值定理可證（Ⅰ），過(guò)程從略.

所以數(shù)列｛an｝單調(diào)下降且有下界，故數(shù)列｛an｝收斂.

2 問(wèn)題的推廣

問(wèn)題（Ⅱ）的一般性結(jié)論為如下的

命題［4］設(shè)f（x）是［0，＋∞）上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，

則數(shù)列｛an｝的極限存在.（1999年全國(guó)碩士研究生入學(xué)試題）

證由題設(shè)可得

即數(shù)列｛an｝有下界.又

即數(shù)列｛an｝單調(diào)下降.故由單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則知數(shù)列｛an｝的極限存在.

3 數(shù)列｛an｝的收斂速度

其中εn→0（n→∞）.

（1）式可用來(lái)求解某些微積分問(wèn)題，下面介紹幾個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的例子：

注 利用（1）可得更一般的結(jié)果：若m為自然數(shù)，則有

（1）式應(yīng)用的更多例子可參見(jiàn)［6］.

［1］陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）［M］.2版.北京：高等教育出版社，2004：59－60.

［2］吳良森，毛羽輝，宋國(guó)棟，等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解（單變量部分）［M］.北京：科學(xué)出版社，2002：32.

［3］裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法［M］.2版.北京：高等教育出版社，2007：25，49.

［4］《大學(xué)數(shù)學(xué)》編輯部.碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題精解［M］.合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2010：101.

［5］菲赫金哥爾茨ГМ.微積分學(xué)教程（第二卷第三部分）［M］.徐獻(xiàn)瑜，冷生明，莫文騏，等譯.北京：人民教育出版社，1954：722.

［6］孫本旺，汪浩.數(shù)學(xué)分析中的典型例題和解題方法［M］.長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1981：154－169.

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1672－1454（2012）04－0129－04

2011－07－19