孫　璐,　張法勇,　陳洪海,　王　春

(1.黑龍江科技學院 理學院, 哈爾濱 150027;2.黑龍江大學 數(shù)學科學學院, 哈爾濱 150080)

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Zakharov方程組全離散Fourier譜格式的穩(wěn)定性

孫璐1,張法勇2,陳洪海1,王春1

(1.黑龍江科技學院 理學院, 哈爾濱 150027;2.黑龍江大學 數(shù)學科學學院, 哈爾濱 150080)

Zakharov方程組; Fourier譜格式; 全離散; 穩(wěn)定性

0　引　言

在等離子物理學中出現(xiàn)如下方程組的周期初邊值問題:

iEt+Exx=NE,

(1)

(2)

E(x,0)=E0(x),

(3)

N(x,0)=N0(x),Nt(x,0)=N1(x),

(4)

E(x+L,t)=E(x,t),N(x+L,t)=N(x,t)。

(5)

其中,未知復值函數(shù)E(x,t)為高頻電場的包絡(luò)波解,N(x,t)為未知實值函數(shù)是離子數(shù)密度在平衡態(tài)附近的擾動。1979年,C.Sulem和P.L.Sulem對一維Zakharov方程組的弱解的存在性進行了研究,解決了方程組的真實解的存在性問題[1]。1992年,R.T.Glassey利用差分法給出了一維Zakharov方程組的近似方程組, 驗證了所給方程組具有守恒性質(zhì), 其收斂階達到了步長的O(h2)[2]。1996～1997年,張法勇、向新民等利用Fourier擬譜方法對Zakharov方程組[3-4]和Schrodinger方程[5]進行了誤差估計。2010～2012年,孫璐利用Fourier譜方法給出了半離散和全離散Fourier譜格式,證明了格式離散解的存在性和收斂性,得到了半離散Fourier譜格式解的穩(wěn)定性[6-8]。文中主要借助譜方法[9]在時間和空間方向研究已建立的全離散Fourier譜格式離散解的穩(wěn)定性。

文中所用符號說明同文獻[8]。

其中設(shè)

tn=nΔt≤T,En=E(·,tn),Nn=N(·,tn),

(6)

(7)

(8)

(9)

式(9)左邊第一項,得

式(9)左邊第二項,利用周期性,分部積分得

式(9)右端得

因為,

綜上可知,

證畢。

則有下面定理成立。

An-1+Bn-Bn-1)≤CΔt(Θn+Θn-1),

(10)

(11)

考慮式(11)等號左端第一項有

式(11)等號左端第二項,利用周期性,分部積分得

式(11)等號右端,

(12)

式(12)等號右端第一項:

(13)

式(13)等號右端第三項:

式(12)右端第二項:

(14)

式(14)右端第三項:

式(14)右端第四項:

綜上可知

Bn-Bn-1)≤CΔt(Θn+Θn-1)。

證畢。

(15)

(16)

式(16)等號左端第一項,利用PM性質(zhì),Uxx=ηMt,分部積分得

式(16)等號左端第二項,利用PM性質(zhì),分部積分得

式(16)等號右端

(17)

式(17)的第一項

式(17)的第二項,

C(Θn+Θn-1),

綜上可得

CΔt(Θn+Θn-1)。

證畢。

4　解的穩(wěn)定性

Θn≤CT。

證明設(shè)

由式(10)+(15)得

Hn+ΔtBn+ΔtAn≤Hn-1+ΔtBn-1+

ΔtAn-1+CΔt(Θn+Θn-1),

(18)

由Θn的定義可知

設(shè)

由定理1中式(8)以及式(18)可知

CΔt(Θn+Θn-1),

對于

利用young不等式,再利用柯西不等式,可得

從而有

再有Θn的定義,有

從而有

所以

證畢。

從而可得

所以全離散解是穩(wěn)定的。

5　結(jié)束語

文中研究Zakharov方程組全離散Fourier譜格式解的穩(wěn)定性。在Zakharov方程組全離散格式的先驗估計及誤差估計的基礎(chǔ)上,利用全離散格式所具有的守恒性質(zhì),驗證了方程組的全離散Fourier譜格式解的穩(wěn)定性,改進了Zakharov方程組半離散格式只在空間方向上討論半離散解穩(wěn)定性的不足,從而在時間和空間方向上得到了全離散格式的穩(wěn)定性,進一步完成了全離散格式的解適定性的判別。文中所用方法的優(yōu)點是全離散譜格式的解可以無限光滑,收斂階的收斂速度可以達到無窮階。該方法具有一定的普遍性,同樣適用于動力系統(tǒng)中其他偏微分方程,可對不同偏微分方程進行時間和空間方向上的全離散,建立全離散譜格式,進而研究離散解的適定性。由于文中是在有限時間[0,T]內(nèi)所做的研究,在無限時間區(qū)間內(nèi)尚需討論。

[1]SULEMC,SULEMPL.RegularitypropertiesfortheZakharovequations[M].Berlin:Springer, 1979: 123-149.

[2]GLASSEY R T. Convergence of energy-preserving scheme for the Zakharov equations in one space diminsion[J]. Mathematics of Computation, 1992, 1: 83-102.

[3]ZHANG FAYONG, XIANG XIMING. The global error estimate of the pseudospectral method for a class of generalized Zakharov equations(Ⅰ)[J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University, 1996, 13(2): 1-6.

[4]ZHANG FAYONG, XIANG XIMING. The global error estimate of the pseudospectral method for a class of generalized Zakharov equations(Ⅱ)[J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University, 1997, 14(3): 2-7.

[5]蘇在濱, 張法勇, 范廣慧. 帶有弱阻尼項的非線性Schrodinger方程全離散Fourier擬譜格式的長時間行為[J]. 黑龍江大學自然科學學報, 2010, 27(03): 296-303.

[6]孫璐. Zakharov方程組的Fourier譜方法[D].哈爾濱: 黑龍江大學, 2010.

[7]孫璐, 張法勇, 朱捷， 等. Zakharov方程組半離散Fourier譜格式解的存在性[J] . 科技導報， 2012， 30(01)： 73-75.

[8]孫璐, 張法勇， 朱捷， 等. Zakharov方程組半離散Fourier譜格式的穩(wěn)定性[J]. 黑龍江科技學院學報， 2011, 21(4)： 337-341.

[9]向新民. 譜方法的數(shù)值分析[M]. 北京： 科學出版社, 2000.

(編輯王冬)

Stability of full-discrete Fourier spectral scheme for Zakharov equations

SUNLu1,ZHANGFayong2,CHENHonghai1,WANGChun1

(1.College of Sciences, Heilongjiang Institute of Science & Technology, Harbin 150027, China; 2.School of Mathematical Science, Heilongjiang University, Harbin 150080, China)

Zakharov equations; Fourier spectral scheme; full-discrete; stability

1671-0118(2012)06-0640-05

2012-08-31

國家自然科學基金項目(19271025);黑龍江省教育廳科學技術(shù)研究項目(12523048)

孫璐(1980-),女,黑龍江省哈爾濱人,講師,碩士,研究方向:微分方程數(shù)值解法,E-mail:adams-lulu@126.com。

O241.1

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