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(浙江師范大學(xué)2007級(jí)教育碩士 浙江金華 321004)

基于數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

●陳晴

(浙江師范大學(xué)2007級(jí)教育碩士 浙江金華 321004)

“數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué)”,它能啟迪、培養(yǎng)、發(fā)展人的思維，而且數(shù)學(xué)在思維培養(yǎng)的深度、廣度、系統(tǒng)性等方面是其他學(xué)科或其他培養(yǎng)方式所無法比擬的．人們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，由于學(xué)習(xí)者個(gè)體的差異，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維水平的差異性，而這種思維水平的差異性是以數(shù)學(xué)思維品質(zhì)為標(biāo)志的．如果人們有意識(shí)地強(qiáng)化學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)思維，相應(yīng)地，作為數(shù)學(xué)思維水平標(biāo)志的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)也會(huì)隨之發(fā)展．

新教材將許多數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)成“三步曲”模式(直觀圖形感知、自然文字描述、符號(hào)形式證明)，其實(shí)就是數(shù)形結(jié)合思想的滲透．?dāng)?shù)形結(jié)合思想在知識(shí)形成與問題解決中顯示出的直觀性、簡(jiǎn)潔性，為培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)打下了基礎(chǔ)．通過數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，具體表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面．

1 數(shù)學(xué)思維的廣闊性

數(shù)學(xué)對(duì)象是復(fù)雜的，它既不像一個(gè)球，因?yàn)閺母鱾€(gè)角度觀察都是不同的形狀，也不像一張紙只有一個(gè)平面而無層次．因此，數(shù)學(xué)思維需要有不同的角度和豐富的層次．

例1已知平面向量α，β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是____________．

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

由模長(zhǎng)與夾角的已知條件，首先想到的就是利用數(shù)量積這一代數(shù)方法對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但是過程較繁，容易出錯(cuò).此時(shí)，如果增加視覺廣角，注意到向量是集數(shù)形于一體，它天生就具有代數(shù)與幾何的雙重屬性的特征，那么接下來用數(shù)形結(jié)合思想來解決這個(gè)問題的想法就呼之欲出了！

方法1構(gòu)造三角形

圖1 圖2

方法2構(gòu)造圓

事實(shí)上，正是數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用才將該題從抽象的向量問題轉(zhuǎn)化成為幾何問題，從而克服了代數(shù)方法求解該題的復(fù)雜，使抽象問題形象化、具體化、簡(jiǎn)單化．這實(shí)在是一種直觀且又具有挑戰(zhàn)性的精妙之法！

2 數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維的獨(dú)創(chuàng)性是人類思維的高級(jí)形態(tài)，它是指在新異的情境中，在一定目標(biāo)的指引下，調(diào)動(dòng)一切已知信息，獨(dú)特、新穎且有價(jià)值地解決問題所表現(xiàn)出來的智力品質(zhì)．

如圖3所示，在圓O中，AB是直徑，M是圓上任意一點(diǎn)，MC⊥AB交于點(diǎn)C，CA=a,CB=b．

圖3 圖4

正當(dāng)學(xué)生沉浸在成功的喜悅中時(shí)，為了讓學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)性思維得到培養(yǎng)，筆者又乘勝追擊,提出了更高的要求：“還能構(gòu)造出另外的圖形來說明這個(gè)不等式成立嗎？”經(jīng)過一段時(shí)間的思考，有部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)是Rt△AMB，因此可構(gòu)造如圖5所示的圖形，其中NC=a,NB=b．

圖5

由此得到基本不等式的幾何解釋：在同一圓中，半徑不小于半弦(直徑是最長(zhǎng)的弦)，或者直角三角形斜邊的一半不小于斜邊的高．

幾何圖形的直觀解釋和證明，真正體現(xiàn)了代數(shù)和幾何的有機(jī)統(tǒng)一，可謂“無字的證明”．

3 數(shù)學(xué)思維的批判性

思維的批判性也叫思維的獨(dú)立性，就是善于發(fā)現(xiàn)問題、提出疑問、辨別是非、評(píng)價(jià)優(yōu)劣的一種思維品質(zhì)．批判性的思維是一種實(shí)事求是、周到、縝密的思維．培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，教師可以在課堂上利用反例，引起矛盾沖突，并在矛盾沖突中使學(xué)生所學(xué)知識(shí)逐步完善．

例2判斷方程lnx-x+1=0的實(shí)根個(gè)數(shù)．

高三學(xué)生對(duì)這類高考題型早已經(jīng)駕輕就熟，筆者在黑板上一寫出，就引來學(xué)生異口同聲地回答“作圖像”．因?yàn)閷W(xué)生明白，與方程根個(gè)數(shù)有關(guān)的問題往往可以用數(shù)形結(jié)合的方法來解決．筆者讓學(xué)生思考了一會(huì)兒后，故意在課堂上給出了一種有問題的分析：

圖6 圖7 圖8

將原方程化為lnx=x-1，令f(x)=lnx,g(x)=x-1,在同一直角坐標(biāo)系中作出f(x)和g(x)的圖像，如圖6所示．因?yàn)閳D像有2個(gè)交點(diǎn)，因此判斷原方程有2個(gè)實(shí)根．

短暫的沉寂，一個(gè)學(xué)生發(fā)表不同看法：“老師，我畫的圖像也是2個(gè)交點(diǎn)，但是我的圖像與你畫的不一樣.”該學(xué)生畫的圖像如圖7所示．

筆者順勢(shì)引發(fā)學(xué)生思考：“易見這個(gè)方程其中一個(gè)根是1，那另一個(gè)根是比1大還是比1小呢？”

不料又一個(gè)學(xué)生提出了新的看法：“我感覺沒有其他根了，我用計(jì)算器試了好多次呢！”這是一個(gè)基礎(chǔ)比較差的學(xué)生，他用計(jì)算器求根的行為引發(fā)了其他學(xué)生的笑聲，但笑過之后更多學(xué)生進(jìn)入了探究這3種想法孰真孰偽的思考中……

分析其實(shí)數(shù)形結(jié)合的思想分2個(gè)方面：以形助數(shù)和以數(shù)解形,兩者是并不是孤立的.“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”華羅庚先生的這句話就是對(duì)數(shù)與形不可分割關(guān)系的精辟概括．因此當(dāng)單純從“形”的角度去分析探求很難精確描述時(shí)，就必須要利用“數(shù)”的精確性才能得到精確的結(jié)論．

(學(xué)生一片嘩然，感覺結(jié)果實(shí)在太意外了！)

至此，問題完美解決.通過這樣的故意出錯(cuò)，巧用反例，給學(xué)生留下了難以忘懷的印象，余音裊裊，繞梁數(shù)日，經(jīng)久不息．

4 數(shù)學(xué)思維的靈活性

思維的靈活性是指依據(jù)客觀條件的變化及時(shí)調(diào)整思維的方向．思維的靈活性表現(xiàn)在不受思維模式和固定模式的束縛，善于發(fā)現(xiàn)新的條件和新的因素，在思維受阻時(shí)能及時(shí)改變?cè)伎悸肪€，修改原定方案，從而找到新的方案與新的途徑．

例3實(shí)數(shù)m滿足|m|<2,求使x2+mx+1>2x+m恒成立的x的取值范圍．

分析該題主元是x，參數(shù)是m，按照慣例將不等式變形為(x-1)2>m(x-1)，再設(shè)y1=(x-1)2，y2=m(x-1),構(gòu)造曲線與直線相關(guān)問題求參數(shù)．這種數(shù)形結(jié)合方式的運(yùn)算勢(shì)必引發(fā)討論，導(dǎo)致過程繁瑣還容易出錯(cuò).這時(shí)，如果能善于變通，調(diào)整主元，變換思維角度，視m為主元，那么問題即變?yōu)榍髕的取值范圍，使原不等式在m∈(-2,2)上恒成立.原問題轉(zhuǎn)化為一條直線(圖略)，非常簡(jiǎn)潔．曲線轉(zhuǎn)化為直線，高次轉(zhuǎn)化為低次，數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想在這里體現(xiàn)得淋漓盡致．

解要使當(dāng)-20恒成立，只須滿足

解得x≤-1或x≥3.

數(shù)形結(jié)合不僅是高中新教材編排的一個(gè)重要特點(diǎn)，更是高中學(xué)生解決問題常用的方法之一，同時(shí)又是一種重要的數(shù)學(xué)思想．在教學(xué)過程中，教師應(yīng)做有心人，充分利用“一圖抵百語”的優(yōu)勢(shì)，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，從而激發(fā)和培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．