倪煥敏

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院常州建設(shè)分院，江蘇 南京 210024）

關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)有效教學(xué)的探究

倪煥敏

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院常州建設(shè)分院，江蘇 南京 210024）

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是高等數(shù)學(xué)求導(dǎo)的難點和重點，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，講解如何逐步推進，應(yīng)用法則解題及解題技巧

求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)；四關(guān)

在高等數(shù)學(xué)的知識體系中，微積分是一個重要的模塊，而導(dǎo)數(shù)是微積分中的重點內(nèi)容之一，在函數(shù)的求導(dǎo)中復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)是一個重點和難點。如何在有限的課堂教學(xué)時間內(nèi)讓我們的學(xué)生快速、準確的掌握求導(dǎo)方法呢？我認為應(yīng)該在教學(xué)中把形象思維和抽象思維有機結(jié)合，圍剿重點，突破難點，從而掌握知識，取得理想的教學(xué)效果。為此，針對我校學(xué)生的具體情況，我設(shè)立了“四關(guān)”。

一、第一關(guān)——復(fù)習(xí)關(guān)

（一）復(fù)合函數(shù)的概念復(fù)習(xí)

深刻理解掌握復(fù)合函數(shù)的概念及其本質(zhì)是學(xué)好復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基礎(chǔ)。設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u)，u∈B，而u是x的函數(shù)u=φ（x）,x ∈A。若 φ(x)的值域 M■B，那么 y=f[φ(x)]稱為 y=f(u)與 u=φ(x)的復(fù)合函數(shù)。U為中間變量。要教會學(xué)生通過文字概念看到復(fù)合函數(shù)的實質(zhì)是在基本初等函數(shù)的未知量x的位置，出現(xiàn)的不是自變量x，而是一個關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。這一點學(xué)生往往會掉以輕心，從而影響到函數(shù)的分解。我通過例題的講解和學(xué)生的實際練習(xí)相結(jié)合，采用頭腦風(fēng)暴法，強化理解記憶。復(fù)合函數(shù)的分解復(fù)習(xí)

二、第二關(guān)——公式關(guān)

（一）科學(xué)記憶

學(xué)好復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)首先必須讓學(xué)生熟練掌握基本函數(shù)的求導(dǎo)公式，我們的學(xué)生學(xué)習(xí)積極性普遍不是很高，特別對于記憶公式不太情愿。由于求導(dǎo)的公式比較多又特別容易忘記，因此平時的教學(xué)中我會讓學(xué)生巧記，注意各自的特點，公式之間的差異，并且要求學(xué)生每天5分鐘公式記憶的時間保證，每次上課之前我還要求學(xué)生默寫公式，先按照順序默寫，然后打亂順序默寫，反復(fù)訓(xùn)練，不斷強化，學(xué)生對求導(dǎo)公式基本上都能比較熟練的掌握。

（二）合理變化

在掌握公式的基礎(chǔ)上必須讓學(xué)生會正確、合理的運用公式，而其中的重點是學(xué)生會活用。使學(xué)生記住：只有基本初等函數(shù)才可以用求導(dǎo)公式進行求導(dǎo)。同時強調(diào)，求導(dǎo)公式中的變量x可以是用其它的字母來代替。不改變公式的實質(zhì)。例如公式(sinx)'=cosx，變量x可以換成變量u，即(sinu)'=cosu，也可以換成變量v，即(sinv)'=cosv，依次類推。這樣可以提高公式運用的靈活性，避免學(xué)生死用公式、用錯公式現(xiàn)象的出現(xiàn)。同時也拓寬了學(xué)生的思維空間，鍛煉了學(xué)生抽象思維的能力。

三、第三關(guān)——求解關(guān)

在對復(fù)合函數(shù)的分解和導(dǎo)數(shù)公式熟練掌握以后，可以進入復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的講解，在講解具體方法時還必須注意以下幾點：

（一）對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的理解，即“鏈式法則”。

“鏈式法則”是求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的核心知識點，是重點也是難點，學(xué)生比較難掌握。法則：如果函數(shù)u=φ(x)在點x處可導(dǎo)，而函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)點u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點x處也可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)y=f(u)對中間變量u的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量u＝φ(x)對自變量x的導(dǎo)數(shù)。

通過法則講解讓學(xué)生明白求導(dǎo)時的“分”與“合”的關(guān)系，“局部”與“整體”的關(guān)系。做到心中有數(shù)。

（二）對求解步驟的理解，

在具體實施過程中，我總結(jié)為“三步法”——分解、求導(dǎo)、相乘。

例如求函數(shù)y=sin(x2+3)的導(dǎo)數(shù)

第一步：分解成基本初等函數(shù)y=sinu,u=x2+3

第二步：分別求導(dǎo)y'u=(sinu)'=cosu,u'x=(x2+3)'=2x第三步：相乘：y'x=y'u·u'x=cosu·2x=cos(x2+3)·2x

第三步：相乘

對于學(xué)生而言，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法的理解是解題關(guān)鍵所在，由于我校高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，相當一部分學(xué)生初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)較差，在分層時經(jīng)常出現(xiàn)簡單化和復(fù)雜化的現(xiàn)象，求導(dǎo)公式也會經(jīng)常用錯，因此在教學(xué)中我總結(jié)出讓學(xué)生記住十字口訣“公式是基礎(chǔ)，分層是關(guān)鍵”。在課堂教學(xué)中應(yīng)該注意講練結(jié)合，互相討論，及時指導(dǎo)的原則。由于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)題目數(shù)量繁多，因此選擇題目不在于多，而在于精，要有代表性、目的性。當然必要的課后練習(xí)也是不可或缺的。

（三）解題時的一些技巧

2.學(xué)完復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)之后切忌簡單問題復(fù)雜化，例如求函數(shù)y=(x3-1)2的導(dǎo)數(shù)時，仔細想一想，不需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，找中間變量u，只需要把函數(shù)用完全平方公式展開為y=x6-2x3+1然后用求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式求解即可。因此要讓學(xué)生根據(jù)題目的具體情況具體分析對待，從而做到張弛有度，不盲目。

四、第四關(guān)——飛躍關(guān)

在熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的三步法以后，可以讓學(xué)生嘗試用直接法求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（做到心中有u但無u的最高境界），雖然對學(xué)生的要求有點高，但我們的學(xué)生也是應(yīng)該能夠到達的。例如求函數(shù)y=sin(2-x3)的導(dǎo)數(shù)時，可以用直接法y'=cos(2-x3)·(2-x3)'=cos(2-x3)·（-3x2），真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)的精妙之處，讓我們的學(xué)生體會到跳一跳就能摘到果實的成就感。

通過在不同班級的教學(xué)實踐，學(xué)生對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)基本都能較好的掌握和運用，這一以往導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的重點和難點比較順利的被突破。我相信，數(shù)學(xué)教學(xué)中只要教學(xué)方法得當，在課堂中真正體現(xiàn)以學(xué)生為主體的原則，那么數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效果一定會不斷提升，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的未來一定會更加美好。

[1]張月華復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)探析[J]漯河職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報 2011（3）

[2]李開萱復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)中的形象思維和抽象思維[J]四川師范學(xué)院學(xué)報 1996（12）

Research on the Composite Function Derivation of Effective Teaching

NI Huan-min
（Changzhou High Occupational Technique School ofConstruction，Nanjing210024 Jiangsu）

The composite function derivation is the derivation of higher mathematics difficult and key derivation method according to the composite function,and explaininghowtostep bystep,the application ofrules ofproblemsolvingand problem-solvingskills.

derivation;compound function;four passes

G623.5

A

1671-5004（2012） 03-0116-02

2012-6-16

倪煥敏（1971- ），男，江蘇常州人，江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院常州建設(shè)分院數(shù)學(xué)教研室主任，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)。