陳艷秋， 王家正

（1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥 2300601；2.合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽合肥 2300601）

方形網(wǎng)格上的Stieltijes型混合有理插值

陳艷秋1， 王家正2

（1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥 2300601；2.合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽合肥 2300601）

文章基于Stieltijes型分叉連分式有理插值，結(jié)合Thiele型連分式及Newton多項(xiàng)式，構(gòu)造了一種方形網(wǎng)格上的二元混合有理插值函數(shù)，通過定義偏差商、偏逆差商和混合逆差商建立遞推算法。構(gòu)造的這種有理插值函數(shù)滿足有理插值問題中所給的插值條件，并給出了插值的特征定理及其證明，進(jìn)行了誤差分析，最后給出的數(shù)值例子，驗(yàn)證了所給算法的有效性。

連分式；有理插值；特征定理；誤差分析

1 引言

對(duì)稱型的連分式插值是由［1］、［2］A.Cuyt、B.Verdonk，［3］J.A.Murphy和M.R.O’Donohoe等人于上世紀(jì)八十年代中期提出的一種二元連分式插值格式。文［4］將Thiele型有理插值與Newton多項(xiàng)式插值結(jié)合起來構(gòu)造一種混合有理插值，并給出了相應(yīng)的性質(zhì)。［5］、［6］分別構(gòu)造了不同形式的對(duì)稱型混合有理插值格式。本文基于Stieltijes型分叉連分式，定義偏差商、偏逆差商和混合逆差商建立遞推算法，構(gòu)造了一種新的方形網(wǎng)格上的二元混合有理插值函數(shù)，所得的這種有理插值函數(shù)滿足有理插值問題中所給的插值條件，并給出了插值的特征定理及其證明，進(jìn)行了誤差分析，最后給出的數(shù)值例子，驗(yàn)證了所給算法的有效性。

2 二元混合有理插值

2.1 二元混合有理插值函數(shù)的構(gòu)造

將Stieltijes型分叉連分式與Thiele型有理插值及Newton多項(xiàng)式結(jié)合起來構(gòu)造如下形式的有理函數(shù)。

定義2 設(shè)有如下形式的有理函數(shù)：

其中（x i，y j）∈＝｛（x i，y j，j＝0，1，…，n｝，f（x，y）是定義在包含的區(qū)域D＝（a，b）×（c，d）上的二元函數(shù)，使R（x i，y j）＝f（x i，y j）＝f i，j，（x i，y j）∈，則稱有理函數(shù)（1）為二元函數(shù)f（x，y）在方形網(wǎng)格上的Stieltijes型混合有理插值函數(shù)。

從定義2可以看出，確定f（x，y）的Stieltijes型混合有理插值的關(guān)鍵是確定系數(shù)Bi，j，（i，j＝0，1…n），為此我們構(gòu)造如下的遞推算法。

定義3

2.2 插值定理

由上面定義的遞推算法（3）～（8），可得下面的插值定理：

定理1：對(duì)于i，j＝0，1，2，…，n，設(shè)Bij＝φ［x0，x1，…，x i；y0，y1，…，y j］，并假設(shè)所定義的差商、逆差商和混合逆差商都存在且不為0，則由（1）、（2）定義的R（x，y）滿足：R（x s，y t）＝f（x s，yt），（x s，y t）∈

證：不妨設(shè)s≤t

同理可證明當(dāng)t≤s時(shí)結(jié)論成立。

3 特征定理及誤差分析

故當(dāng)n＝2k＋2時(shí)，結(jié)論也成立.故（1）得證。同理可證（2）成立。

故特征定理得證。

此定理的證明可根據(jù)牛頓插值理論證得，這里不再證明。

4 數(shù)值例子

例：設(shè)f（x，y）在上的初始數(shù)據(jù)如下表：

f（xi，yj） y0＝0 y1＝1 y2＝2 x0＝0 2 3 2 4 3 x1＝1 5 7 2 3 x2＝2 16 21 2 26 3

，使之滿足插值條件R（x i，y j）＝f（x i，y j）（i，j＝0，1，2）

解 利用差商、逆差商和混合逆差商的遞推算法（3）～（8）式，列表計(jì)算如下：

表1

表2

表3

表4

表5

表6

容易驗(yàn)證R（x，y）滿足所給的插值條件，并且符合特征定理的結(jié)論。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過定義偏差商、偏逆差商和混合逆差商構(gòu)造了方形網(wǎng)格上的一種新的有理插值格式，并研究了插值函數(shù)的特征定理，分析了誤差，豐富了連分式理論。當(dāng)然本文的結(jié)果也可以推廣到二元向量值和矩陣值有理插值的情形。

［1］ A.Cuyt and B.Verdonk，Multivariate rational interpolation，Computing 1985（34）41－61.

［2］ A.Cuyt and B.Verdonk，Multivariate reciprocal differences for branched thiele continued fraction expansions［J］.J.Comput.Appl.Math，1988，21：145－160.

［3］ J.A.Murphy，M.R.O，Donohoe，A Two－variable generalization of the stieltjes－type continued fraction［J］.J.Comput.Appl.Math，1978，4（3）：181－190.

［4］ Jieqing Tan and Yi Fang Newton－Thiele’s rational inter Polants，Numevical Algorithms 24（2000）：141－157.

［5］ 王家正.Stieltijes—Newton型有理插值［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，20（2）：15－22.

［6］ 唐爍，鄭濤，鄭永明.Stieltijes－Thiele型有理插值公式［J］.魯東大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，26（2）：100－105.

Stieltijes’Blending Rational Interpolation on Square Grid

CHEN Yan－qiu1， WANG Jia－zheng2
（1.SchoolofMathematicalScience，AnhuiUniversity，Hefei230061，China；2.DepartmentofMathematics，HefeiNormalUniversity，Hefei230061，China）

In this paper，bivariate blending rational interpolation function was constructed based on stieltijes’branched continued fraction，Thiele rational interpolation and Newton polynomial.By defining the partial difference，the partial inverse difference and blending inverse difference building the recursive algorithm.The bivariate rational function which interpolates the given support points，and interpolating characteristic theorem and its proof is given，also error analysis..Numerical examples are given to show the effectiveness of the result.

continued fraction；rational interpolation；characteristic theorem；error analysis

O241.3

A

1674－2273（2012）03－0001－05

2012－01－20

安徽省教育廳自然科學(xué)基金，KJ2011Z300

陳艷秋（1987－），女，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士生，研究方向?yàn)閿?shù)值逼近；王家正（1964－），男，合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系教授，研究方向?yàn)閿?shù)值逼近。